Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

sabato 17 marzo 2012

Il minimo comune multiplo (m.c.m.)

Mentre l’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito, l’insieme dei multipli di un numero, escluso zero, è un insieme infinito.
Consideriamo ad esempio i numeri 4, 5, 6.
I multipli di 4 sono: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, …….}
I multipli di 5 sono: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, ……….}
I multipli di 6 sono: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, ……….}

Notiamo che ci sono dei multipli comuni ai tre numeri: 60, 120, …..
Il minimo comune multiplo è il minore tra i multipli comuni perciò possiamo dire che
m.c.m. (4; 5; 6) = 60

Possiamo quindi dire che il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati, escludendo lo zero.

Esistono diversi metodi per il calcolo del m.c.m.

·     Cominciamo, anche in questo caso, dal metodo insiemistico
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 8 e 12.
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 8.
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ….}
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 12.
M (12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ….}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei due insiemi precedenti.
M (8) ÇM (12)  = {24, 48, 72, 96, 120, ……}
m.c.m. (8, 12) = 24

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 15, 20, 30.
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 15.
M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, ……..}
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 20.
M (20) = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, …….}
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 30.
M (30) = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, ……}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.
M (15) ÇM (20)  ÇM (30)  = {60, 120, 180 ……}
m.c.m. (15, 20, 30) = 60

Possiamo quindi dire che con il metodo insiemistico, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei multipli dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione e il m.c.m sarà l’elemento minore dell’insieme intersezione.

·     Esaminiamo ora il metodo della scomposizione in fattori primi,
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 14, 18 e 20.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri
Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.
14 = 2 x 7
18 = 2 x 32
20 = 22 x 5
m.c.m (14, 18, 20) = 22 x 32 x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 150, 400, 500.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.
150 = 2 x 3 x 52
400 = 24 x 52
500 = 22 x 53
m.c.m (150, 400, 500) = 24 x 3 x 53  = 16 x 3 x 125 = 6 000

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri,  si scompongono i numeri dati in fattori primi  e il m.c.m. sarà il prodotto dei fattori comuni e non comuni considerati con il maggiore esponente.

ESERCIZI

·        Che cos’è il m.c.m. fra due o più numeri?
·     Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:
a) 12, 24, 36;                                      b) 12, 15, 60;
c) 15, 30, 45;                                      d) 16, 32, 40;
·     Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 25, 40;                                b) 135, 315;
c) 350, 550, 770;                    d) 315, 216, 504;
·     Calcola il M.C.D. ed il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 360, 450, 720;                                b) 270, 405, 540;

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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca