sabato 31 marzo 2012

Caratteristiche dei triangoli e criteri di congruenza

Consideriamo alcune caratteristiche del triangolo isoscele:
·      Gli angoli alla base sono congruenti
·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base coincidono in un unico segmento
·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) sono punti che si trovano su questo unico segmento.
 Vediamo ora le caratteristiche del triangolo equilatero:
·      Ha i tre lati congruenti e gli angoli stessa ampiezza (60°): è quindi un poligono regolare
·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato coincidono in un unico segmento
·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) coincidono in un unico punto , detto centro del triangolo equilatero.
Passiamo alle caratteristiche del triangolo rettangolo
·      Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° ed un angolo è retto, gli atri due angoli sono complementari, la loro somma è cioè 90°
·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 45° anche l’altro angolo acuto quindi sarà di 45°: il triangolo rettangolo sarà anche isoscele con i due cateti congruenti.
·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30°, l’altro angolo acuto sarà di 60°: possiamo considerare questo triangolo come la metà di in triangolo equilatero che ha i lati della stessa lunghezza dell’ipotenusa. Nel triangolo equilatero l’altezza BA è anche mediana e bisettrice, quindi A è il punto medio di DC: ne deriva che il cateto AC opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa BC

Sappiamo che due triangoli sono congruenti se, sovrapponendoli, coincidono perfettamente.
Esistono però dei criteri per riconoscere la congruenza tra triangoli senza la necessità di procedere a sovrapposizioni.
Il I criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.

Il II criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato ed i due angoli ad esso adiacenti.


Il III criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati.


ESERCIZI

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo rettangolo
I due angoli acuti sono …………………………..
Se un angolo acuto è ampio 45°, l’altro angolo acuto misurerà …….. ° e quindi il triangolo è anche ………………………
Se un angolo acuto è ampio 30°, l’altro angolo acuto misurerà ………. ° ed il cateto opposto all’angolo di 30° ………………………………………………………………………………
·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo isoscele
I lati obliqui sono …………………….
Gli angoli alla base sono …………………………..
L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base …………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro sono punti che si trovano ……………………
…………………………………………………………………………………………………

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo equilatero
I tre lati sono ………………………….
I tre angoli sono …………………………. e misurano ciascuno ……….. °
E’ un poligono regolare perché ……………………………………………………………
L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato ……………………
…………………………………………………………………………………………………
Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro coincidono ………………………………, detto ………… del triangolo equilatero.

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:
triangolo ABC: AB = 8 cm – BC = 10 cm - angolo in B = 52°
triangolo FGH: FG = 8 cm – GH = 10 cm - angolo in G = 52°

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli rettangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:
triangolo ABC: cateto AB = 12 cm – cateto BC = 15 cm
triangolo DEF: cateto DE = 12  cm – cateto EF = 15 cm

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:
triangolo ABC: AB = 16 cm – BC = 21 cm - AC = 29 cm
triangolo CDE: CD = 16 cm – DE = 21 cm - CE = 29 cm

·    Di un triangolo ottusangolo ABC con BH altezza relativa al lato AC, conosciamo questi dati:
BC = 20 cm
AB = 6,2 cm
AH = HC – 15
P = 50,2 cm
b =  125 °
g = 10°

a)      Trova l’ampiezza dell’angolo a
b)      Trova l’ampiezza degli angoli interni del triangolo HBA e del triangolo BCH
c)      Che tipo di triangolo è HBA?
d)      Calcola il perimetro del triangolo HBA e del triangolo BCH
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sabato 17 marzo 2012

Il minimo comune multiplo (m.c.m.)

Mentre l’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito, l’insieme dei multipli di un numero, escluso zero, è un insieme infinito.
Consideriamo ad esempio i numeri 4, 5, 6.
I multipli di 4 sono: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, …….}
I multipli di 5 sono: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, ……….}
I multipli di 6 sono: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, ……….}

Notiamo che ci sono dei multipli comuni ai tre numeri: 60, 120, …..
Il minimo comune multiplo è il minore tra i multipli comuni perciò possiamo dire che
m.c.m. (4; 5; 6) = 60

Possiamo quindi dire che il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati, escludendo lo zero.

Esistono diversi metodi per il calcolo del m.c.m.

·     Cominciamo, anche in questo caso, dal metodo insiemistico
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 8 e 12.
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 8.
M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ….}
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 12.
M (12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ….}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei due insiemi precedenti.
M (8) ÇM (12)  = {24, 48, 72, 96, 120, ……}
m.c.m. (8, 12) = 24

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 15, 20, 30.
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 15.
M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, ……..}
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 20.
M (20) = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, …….}
Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 30.
M (30) = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, ……}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.
M (15) ÇM (20)  ÇM (30)  = {60, 120, 180 ……}
m.c.m. (15, 20, 30) = 60

Possiamo quindi dire che con il metodo insiemistico, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei multipli dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione e il m.c.m sarà l’elemento minore dell’insieme intersezione.

·     Esaminiamo ora il metodo della scomposizione in fattori primi,
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 14, 18 e 20.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri
Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.
14 = 2 x 7
18 = 2 x 32
20 = 22 x 5
m.c.m (14, 18, 20) = 22 x 32 x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il m.c.m. fra 150, 400, 500.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.
150 = 2 x 3 x 52
400 = 24 x 52
500 = 22 x 53
m.c.m (150, 400, 500) = 24 x 3 x 53  = 16 x 3 x 125 = 6 000

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri,  si scompongono i numeri dati in fattori primi  e il m.c.m. sarà il prodotto dei fattori comuni e non comuni considerati con il maggiore esponente.

ESERCIZI

·        Che cos’è il m.c.m. fra due o più numeri?
·     Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:
a) 12, 24, 36;                                      b) 12, 15, 60;
c) 15, 30, 45;                                      d) 16, 32, 40;
·     Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 25, 40;                                b) 135, 315;
c) 350, 550, 770;                    d) 315, 216, 504;
·     Calcola il M.C.D. ed il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 360, 450, 720;                                b) 270, 405, 540;

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sabato 10 marzo 2012

Metodi per calcolare il M.C.D.

Che cos’è il Massimo Comune Divisore?
Il Massimo Comune Divisore fra due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. Il Massimo Comune Divisore si abbrevia con M.C.D.
Es: qual è il M.C.D.  tra 24 e 16?
Cerchiamo tutti i divisori di 24
D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
Cerchiamo tutti i divisori di 16
D (16) = {1, 2, 4,  8, 16}
I due numeri 24 e 16 hanno dei divisori comuni: 1, 2, 4, 8. Il maggiore di questi divisori è 8, quindi il M.C.D. (24, 16) = 8

Esistono sistemi diversi per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri. Noi qui ne presentiamo due.
·          Cominciamo ad esaminare il cosiddetto metodo insiemistico.
Vogliamo trovare il M.C.D. fra 65, 140 e 90.
Elenchiamo tutti i divisori di 65.
D (65) = {1, 5, 13, 65}
Elenchiamo tutti i divisori di 140.
D (140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}
Elenchiamo tutti i divisori di 90.
D (90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}
Calcoliamo l’insieme dei divisori comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.
D (65) ÇD (140) ÇD (90) = {1, 5,}
M.C.D. (65, 140, 90) = 5

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il M.C.D. fra 140, 105 e 35.
Elenchiamo tutti i divisori di 140.
D (140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}
Elenchiamo tutti i divisori di 105.
D (105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}
Elenchiamo tutti i divisori di 35.
D (35) = {1, 5, 7, 35}
Calcoliamo l’insieme dei divisori comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.
D (140) ÇD (105) ÇD (35) = {1, 5, 7, 35}
M.C.D. (140, 105, 35) = 35

Possiamo quindi dire che con il metodo insiemistico, per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei divisori dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione e il M.C.D. sarà l’elemento maggiore dell’insieme intersezione.

·          Esaminiamo ora il cosiddetto metodo della scomposizione in fattori primi, raccomandabile soprattutto se i numeri sono grandi.
Vogliamo trovare il M.C.D. fra 288, 360 e 186.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri
288
2
144
2
72
2
36
2
18
2
9
3
3
3
1


288 = 25 x 32

360
2
180
2
90
2
45
3
15
3
5
5




360 = 23 x 32 x 5

186
2
93
3
31
31
1



186 = 2 x 3 x 31

Vediamo ora se ci sono fattori primi comuni ai tre numeri e consideriamoli col minore esponente.
288 = 25 x 32
360 = 23 x 32 x 5
186 = 2 x 3 x 31
I fattori comuni, presi con il minore esponente, sono 2 e 3, quindi
M.C.D. (288, 360, 186) = 2 x 3 = 6

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il M.C.D. fra 528, 624, 768.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri
528
2
264
2
132
2
66
2
33
3
11
11
1


528 = 24 x 3 x 11

624
2
312
2
156
2
78
2
39
3
13
13
1



624 = 24 x 3 x 13

768
2
384
2
192
2
96
2
48
2
24
2
12
2
6
2
3
3
1



768 = 28 x 3

Vediamo ora se ci sono fattori primi comuni ai tre numeri e consideriamoli col minore esponente.
528 = 24 x 3 x 11
624 = 24 x 3 x 13
768 = 28 x 3
I fattori comuni, presi con il minore esponente, sono 24 e 3, quindi
M.C.D. (288, 360, 186) = 24 x 3 = 16 x 3 = 48

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri,  si scompongono i numeri dati in fattori primi  e il M.C.D. sarà il prodotto dei fattori comuni considerati con il minore esponente.

Vediamo un altro esempio
Vogliamo trovare il M.C.D. fra 9, 12, 14.
Scomponiamo in fattori primi i tre numeri
9
3
3
3
1


9 = 32

12
2
6
2
3
3
1



12 = 22 x 3

14
2
7
7
1



14 = 2 x 7

Vediamo ora se ci sono fattori primi comuni ai tre numeri e consideriamoli col minore esponente.
9 = 32
12 = 22 x 3
14 = 2 x 7
I tre numeri non hanno altri divisori comuni, oltre ad 1, quindi il M.C.D. è 1 e questi numeri si dicono primi tra loro.

ESERCIZI
·     Che cos’è il M.C.D. fra due o più numeri?
·     Quando due o più numeri si dicono primi tra loro?
·     Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:
a) 70, 42, 98;                                     b) 56, 42, 24;
c) 32, 30;                                             d) 18, 20, 30

                       
                                   
·     Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:
a) 60, 75;                                b) 252, 270;
c) 3 150, 3 675;                      d) 72, 128, 216;
e) 324, 729, 486;                    f) 190, 380, 684;
g) 180, 300, 528, 672;            h) 128, 220, 286, 308;           

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca