giovedì 21 febbraio 2013

Le aree dei quadrilateri


Ricordiamo alcuni concetti fondamentali, prima di procedere oltre:
- L’area di una figura piana è la misura della superficie occupata dalla figura stessa
- Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa area
- Se due figure sono congruenti, sono anche equivalenti
- Se due figure sono equivalenti, possono anche non essere congruenti
- L’unità di misura convenzionale per le superfici è il metro quadrato (m2) con i suoi multipli e sottomultipli.

Consideriamo, tra i poligoni quadrilateri, un rettangolo con la base di 5 cm e l’altezza di 4 cm e scegliamo come unità di misura il cm2.

Osserviamo che sulla base di 5 cm possiamo riportare 5 cm2 mentre sull’altezza di 4 cm possiamo riportare 4 cm2. In totale possiamo riportare sulla figura 20 cm2, cioè la misura della base per l’altezza. Da qui la formula
A = b x h da cui possiamo ricavare le formule inverse
b = A/h
h = A/b

Consideriamo ora un quadrato con la base di 5 cm e l’altezza di 5 cm e scegliamo come unità di misura il cm2.
Siccome il quadrato è un rettangolo con base ed altezza congruenti, possiamo applicare la medesima regola usata per calcolare l’area del rettangolo, cioè A = b x h ma siccome base ed altezza sono congruenti possiamo trasformare la formula A = b x h  in questa
A = l x l= l2 da cui possiamo ricavare la formula inversa (ricordando che l’operazione inversa della potenza al quadrato è la radice quadrata)
l =  

Passiamo ora ad esaminare un parallelogramma con la base di 4 cm e l’altezza di 2 cm e scegliamo come unità di misura il cm2.
Notiamo come il parallelogramma sia equivalente ad un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza e quindi possiamo usare per calcolare l’area la stessa formula del rettangolo. Quindi:
A = b x h da cui possiamo ricavare le formule inverse
b = A/h
h = A/b

Consideriamo ora un rombo con la diagonale maggiore di 6 cm e la diagonale minore di 4 cm e scegliamo come unità di misura il cm2.
Osserviamo che il rombo corrisponde alla metà di un rettangolo avente come base ed altezza le due diagonali del rombo (infatti il rombo è composto da 4 triangoli congruenti, mentre il rettangolo da 8 triangoli congruenti).
Per trovare l’area del rettangolo moltiplichiamo la base per l’altezza, quindi la diagonale maggiore per la diagonale minore. Per trovare l’area del rombo dividiamo per 2 l’area del rettangolo. In sintesi








Passiamo al trapezio, proponendo un’esemplificazione con un trapezio isoscele che si può estendere a qualunque tipo di trapezio.
Osserviamo il trapezio T

Il lato AD è la base maggiore che indichiamo con b1, il lato BC è la base minore che indichiamo con b2, h è l’altezza.
Costruiamo un trapezio congruente ed equivalente a quello dato e chiamiamolo T’ed operiamo un ribaltamento del trapezio T’.
Uniamo il trapezio T ed il trapezio T’: notiamo che otteniamo un parallelogramma formato dai due trapezi equivalenti T e T’. 

La base del parallelogramma è il segmento AC’ costituito dalla somma delle due basi del trapezio T (b1 + b2).
L’altezza h del parallelogramma corrisponde all’altezza del trapezio T.
L’area del parallelogramma si trova:
b x h e quindi
(b1 + b2) x h
Poiché l’area del parallelogramma corrisponde all’area di 2 trapezi equivalenti, è ora sufficiente dividere l’area per 2 e troviamo l’area del trapezio. Quindi









ESERCIZI

In un rettangolo l’altezza misura 9 m e la misura della sua superficie è di 117 m2. Qual è la misura della base del rettangolo

Calcola l’area di un rettangolo, sapendo che la base misura 35 m e che l’altezza è i 4/5 della base.

In un rettangolo la base misura 24 cm mentre l’altezza supera di 3 cm il doppio della base. Calcola l’area della figura.

Calcola l’area di un quadrato avente il perimetro di 72 m.

Calcola il perimetro di un quadrato avente l’area di 196 m2.

Un quadrato con il perimetro di 144 m è equivalente ai 3/5 di un rettangolo. Conoscendo che l’altezza del rettangolo misura 80 m, calcola il suo perimetro.

In un parallelogramma l’area misura 1 027,95 dam2 e l’altezza è di 26,7 dam. Calcola la base.

In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza misura 96 cm e una è i 3/5 dell’altra. Calcola l’area.

Un quadrato ha il perimetro di 168 cm. Calcola la misura dell’altezza di un parallelogramma con la superficie equivalente a quella del quadrato e con la base corrispondente ai 2/3 del lato del quadrato

In un rombo la diagonale maggiore misura 42 cm mentre la diagonale minore è i 5/6 della maggiore. Calcola l’area del rombo.

L’area di un rombo è di 112,095 m2, la diagonale minore misura 5,3 m. Calcola la diagonale maggiore.

Un rombo è equivalente ad un rettangolo avente il perimetro di 160 cm e la base lunga 60 cm. Calcola la misura della diagonale maggiore sapendo che la diagonale minore misura 30 cm.

In un trapezio le due basi misurano rispettivamente 50 cm e 30 cm. Sapendo che l’altezza è la terza parte della base minore, calcola la sua area.

In un trapezio la differenza delle lunghezze delle basi è di 16 cm e una è i 1/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza misura 11 cm, calcola l’area.

Un trapezio, avente l’area di 1 100 m2, ha le due basi lunghe rispettivamente 54 m e 46 m. Calcola il perimetro e l’area di un quadrato con il lato congruente all’altezza del trapezio.


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca