Dal numero decimale alla frazione generatrice

Dobbiamo capire come, dato qualsiasi numero decimale, si debba operare per risalire alla frazione generatrice del numero stesso. Vediamo vari casi:

1) Cominciamo a considerare un numero decimale limitato, ad esempio 14,76. Esso è formato da 14 unità, 7 decimi e 6 centesimi; proviamo a trasformare in frazioni:

Altro esempio: trasformiamo 0,14

Il numero è formato da 0 unità, 1 decimo e 4 centesimi. Trasformiamo

In entrambi i casi ci accorgiamo di aver seguito una regola comune che ci può aiutare tutte le volte in cui dobbiamo trasformare un numero decimale limitato. E’ sufficiente scrivere una frazione che ha al numeratore il numero di partenza ottenuto togliendo la virgola e al denominatore 10, 100, 1000, ….. a seconda che che le cifre decimali siano 1, 2, 3, ……

2) Consideriamo ora un numero decimale periodico semplice.

La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per denominatore la differenza tra il numero considerato senza virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Vediamo alcuni esempi

3) Consideriamo ora un numero decimale periodico misto.

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per denominatore la differenza tra il numero considerato senza virgola e la parte che precede il periodo(sempre senza virgola) e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. Vediamo alcuni esempi

ESERCIZI

Calcola le frazioni generatirici dei seguenti numeri decimali

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Operazioni con i polinomi: addizione e moltiplicazione

Addizione algebrica

Vediamo quali regole bisogna seguire per risolvere un’addizione algebrica fra polinomi.

1) togliere le parentesi tra un polinomio e l’altro ricordando che se la parentesi è preceduta dal segno +  si trascrivono i numeri in essa contenuti con lo stesso segno, se invece la parentesi è preceduta dal segno – si trascrivono i numeri cambiandoli di segno.

2) Si opera la riduzione dei termini simili del polinomio, cioè si esegue la somma fra i monomi eventualmente simili.

Consideriamo questo esempio:

Moltiplicazione

Possiamo avere il caso della moltiplicazione di un polinomio per un monomio (o viceversa) ed il caso della moltiplicazione di un polinomio per un altro polinomio. Vediamo il primo caso. 

Vediamo ora il secondo caso, quello della moltiplicazione fra polinomi.

(2a² – ab + 4b²) (2a + b)

E’ sufficiente moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

 

Vediamo ancora un esempio: 

 

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L'area dei poligoni regolari

Sappiamo che ogni poligono regolare può essere diviso in tanti triangoli congruenti quanti sono i lati del poligono (un pentagono in 5 triangoli, un esagono in 6 e così via).

La base di ognuno di questi triangoli coincide con il lato del poligono mentre l’altezza è detta  apotema (a).

Consideriamo un poligono regolare, ad esempio un quadrato, con il lato di 4 cm e misuriamo la sua apotema. Otteniamo a = 2 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2 : 4 = 0,5

Vediamo poi che un quadrato con il lato di 5 cm ha l’apotema lunga 2,5 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2,5: 5 = 0,5

Vediamo anche un quadrato con il lato di 6 cm ha l’apotema lunga 3 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 3 : 6 = 0,5

C’è un rapporto costante tra la misura dell’apotema e quella del lato del quadrato.  Provando anche con altri poligoni regolari constateremo sempre un rapporto costante (dipendente dal numero dei lati del poligono) tra la misura dell’apotema e quella del lato. Possiamo indicare questa costante con f.

Ecco le costanti di alcuni poligoni regolari, arrotondate a tre cifre decimali (quella del quadrato è esatta):

POLIGONO	COSTANTE
Triangolo equilatero	f = 0,289
Quadrato	f = 0,5
Pentagono regolare	f = 0,688
Esagono regolare	f = 0,866
Ettagono regolare	f = 1,038
Ottagono regolare	f = 1,207
Ennagono regolare	f = 1,374
Decagono regolare	f = 1,539
Dodecagono regolare	f = 1,866

Di conseguenza, conoscendo la misura del lato del poligono si può calcolare anche l’apotema:

a = l x f

Conoscendo l’apotema si può calcolare la misura del lato

l = a/f

Vediamo ora come si può calcolare l’area di un poligono regolare.

Ricordando che un poligono regolare di n lati si può scomporre in n triangoli congruenti, per calcolare l’area sarà sufficiente calcolare l’area di uno dei triangoli e moltiplicare il risultato per n (nel pentagono regolare l’area di un triangolo x 5, nell’esagono regolare l’area di un triangolo per 6, ecc.). Vediamo un esempio con l’ettagono regolare:

Constatiamo come 7 x l corrisponda al perimetro dell’ettagono, quindi la formula può diventare valida per ogni poligono regolare:

da cui possiamo ricavare le formule inverse

p = A x 2/a

a = A x 2/p

ESERCIZI

·        Completa la seguente tabella

poligono	lato	apotema	perimetro	area
Pentagono regolare			60 cm
Esagono regolare		34,64 cm
Ettagono regolare	6 dm
Decagono regolare			60 m

·        Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area.

·        Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie?

·        Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m² e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura di un suo lato.

·        Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm.

·        I seguenti due decagoni regolari hanno i lati, paralleli, lunghi rispettivamente 30 cm e 15 cm. Calcola l’area della parte colorata.

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