Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Prove Invalsi 2013

Finalmente l'Invalsi ha pubblicato i testi delle prove assegnate a maggio 2013. Ecco i link per un accesso diretto ai fascicoli.

Prova di Italiano classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1

Prova di Matematica classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1  

Problemi con le frazioni


Cominciamo con l’esame dei problemi diretti che riguardano il calcolo del valore della frazione di un numero. Vediamo questo esempio: i ciclisti hanno già percorso i 3/5 di una tappa lunga 215 km. Quanti km hanno già percorso?
In questo problema dobbiamo operare sul numero 215 con la frazione 3/5, perciò dobbiamo dividere 215 per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore.
(215 : 5) x 3
Si ottiene lo stesso risultato moltiplicando il numero dato per la frazione






Vediamo ora i problemi di tipo inverso nei quali, conosciuto il valore di una frazione di un numero, occorre calcolare quel numero.
Vediamo un esempio: in un teatro sono occupati dagli spettatori i 3/5 dei posti, cioè 252 posti. Quanti sono tutti i posti del teatro?
Rappresentiamo il numero da trovare con un segmento e su di esso individuiamo i 3/5 corrispondenti a 252 posti.
Dividendo 252 in 3 parti troviamo il valore di 1/5.
Moltiplicando il risultato per 5 troviamo il valore di 5/5, cioè il numero dei posti del teatro.
(252 : 3) x 5 = 420
Abbiamo diviso per il numeratore e moltiplicato il risultato per il denominatore.
Si ottiene lo stesso risultato dividendo il numero dato per la frazione
Consideriamo ora i problemi che ci chiedono di calcolare due numeri sapendo la loro somma e che uno è una frazione data dell’altro.
Vediamo un esempio: Luigi compie un viaggio percorrendo in totale 2600 km. Sapendo che i km che ha percorso in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, quanti chilometri ha percorso con ciascuno dei due mezzi di trasporto?
Se i chilometri percorsi in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, questi ultimi saranno i 5/5. Rappresentiamo graficamente.

Vediamo che la somma è rappresentata da 8 segmenti uguali, ciascuno dei quali è 1/8 di 2600, per cui:
(2600 : 8) x 3 = 975 km
(2600 : 8) x 5 = 1 625 km
Possiamo quindi dire che, in casi come questo, occorre dividere la somma per la somma tra numeratore e denominatore della frazione e poi moltiplicare il quoziente ottenuto una volta per il numeratore ed una volta per il denominatore.


Vediamo infine i problemi che ci chiedono di calcolare due numeri sapendo la loro differenza e che uno è una frazione data dell’altro.
Vediamo un esempio: In un parcheggio il numero dei posti per le auto è i 5/2 del numero dei posti per i camper. Se il numero dei posti per le auto supera di 30 unità il numero dei posti per i camper, quale sarà rispettivamente il numero dei posti per le auto e quello dei posti per i camper?
Se i posti per le auto sono i 5/2 dei posti per i camper, questi ultimi saranno i 2/2. Rappresentiamo graficamente.
Vediamo che la differenza è formata da 3  parti uguali, ciascuna delle quali è 1/3 di 30, per cui:
(30 : 3) x 2 = 20 posti per i camper
(30: 3) x 5 = 50 posti per le auto
Possiamo quindi dire che, in casi come questo, occorre dividere la differenza per la differenza tra i termini della frazione e poi moltiplicare il quoziente ottenuto una volta per il numeratore ed una volta per il denominatore.

ESERCIZI

·        L’età di Marco è i 3/7 di quella del padre che ha 42 anni. Quanti anni ha Marco?
·        In una classe di 25 alunni i 3/5 sono maschi, i 2/5 delle ragazze hanno gli occhiali. Quante sono le ragazze senza occhiali?
·        Il papà di Luca ha uno stipendio mensile di € 1 660. Se ogni mese spende i 2/5 per l’affitto ed i 2/3 di ciò che rimane per il vitto, quanto gli rimane per le altre spese?
·        Per l’acquisto di un appartamento la famiglia di Giorgio versa come acconto € 45 000, corrispondenti ai 3/14 del prezzo totale. Quanto costa l’appartamento?
·        In una teatro vi sono 255 posti in platea, che rappresentano i 5/7 di tutti i posti del teatro. Se sono occupati da spettatori i 4/7 di tutti i posti del teatro, quanti sono i posti rimasti liberi?
·        In un terreno sono stati piantati complessivamente 234 alberi, tra peschi ed albicocchi. Se gli albicocchi sono i 5/8 dei peschi, quanti sono rispettivamente gli alberi di pesco e di albicocco?
·        Tra Giorgio e Luca ci sono 15 anni di differenza. L’età di Giorgio è i 5/2 di quella di Luca. Quanti anni hanno rispettivamente Giorgio e Luca?
·        Il segmento AB misura 18 cm ed è pari ai 3/7 del segmento CD. Quale sarà la lunghezza di un altro segmento EF pari ai 5/6 della differenza fra le lunghezze dei segmenti AB e CD?




Griglia correzione domande aperte matematica - classe prima

Sul sito dell'Invalsi è disponibile la griglia per la correzione delle domande aperte di matematica per la classe prima. Ecco il link per accedervi:
Prima Secondaria Primo Grado Griglia Domande Aperte Matematica 

I polinomi


Abbiamo già visto, parlando dei monomi, che se i monomi non sono simili non si eseguono i calcoli ma si lascia indicata la somma algebrica.
Esempio: +3 ab3 – 5a2b + ab  
Questa espressione algebrica si dice polinomio ed è formata da vari monomi che si dicono termini del polinomio. Possiamo dunque definire il polinomio come la somma algebrica di monomi non simili tra loro.

Ricordate che abbiamo già visto che un monomio può essere intero o frazionario. E’ intero se non sono presenti lettere al denominatore, quindi come divisori. E’ frazionario se invece sono presenti lettere come divisori al denominatore.
Bene, anche il polinomio è considerato intero se tutti i monomi sono interi, mentre è un polinomio frazionario se anche solo uno dei suoi monomi è frazionario.

Un polinomio con due soli termini è detto binomio, con tre termini trinomio, con quattro termini quadrinomio; se il polinomio ha più di 4 termini si dice polinomio di 5, 6, n, termini.

Consideriamo ora questo polinomio:

Il primo monomio ha un grado complessivo di 4, il secondo monomio ha un grado complessivo di 5, mentre il terzo monomio ha un grado complessivo di 6.
Il grado complessivo maggiore tra essi si dice grado complessivo del polinomio, quindi possiamo dire che questo polinomio è di 6° grado.
Se invece consideriamo il grado del polinomio rispetto ad una lettera, dobbiamo individuare il massimo esponente con cui quella lettera è presente nei suoi termini. Nel polinomio sopra indicato il grado rispetto alla lettera a è 3, rispetto alla lettera b è 3, rispetto alla lettera c è 1.

Un polinomio è ordinato secondo le potenze crescenti (o decrescenti) di una lettera se gli esponenti di quella lettera sono in successione crescente (o decrescente). Un polinomio si può sempre ordinare secondo una lettera.
Consideriamo il seguente polinomio:






Si tratta di un polinomio non ordinato. Proviamo ad ordinarlo secondo le potenze crescenti della lettera a.





Proviamo ad ordinarlo secondo le potenze decrescenti della lettera a.





Osserviamo ora quest’altro polinomio ed ordiniamolo poi secondo le potenze crescenti della lettera c.


















ESERCIZI

  • Che cos’è un polinomio?
  • Individua tra le seguenti espressioni algebriche quali sono monomi e quali polinomi
-6a2b – 4a
4a3 . 6b2











  • Di ogni polinomio indica il grado rispetto ad ogni sua lettera










  • Indica il grado complessivo di ciascun polinomio











  • Ordina i seguenti polinomi secondo le potenze crescenti della lettera a










  • Stabilisci quali, tra i seguenti polinomi, sono completi rispetto alla lettera y




















Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca