Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Prova nazionale classe terza

Dal sito dell'Invalsi ecco i link per scaricare i fascicoli della prova nazionale per la classe terza di italiano e matematica. E' presente anche il link per visualizzare e scaricare la griglia di correzione e di attribuzione del voto.

Numeri decimali periodici

Vediamo quali sono le situazioni che possiamo incontrare calcolando il valore di una frazione, cioè il quoziente tra il numeratore ed il denominatore.
Vediamo il caso in cui la frazione è apparente.
14/7 = 2                      40/5 = 8
Se la frazione è apparente si trasformerà in un numero intero.

Consideriamo ora le frazioni decimali.
32/100 = 0,32             53/10 = 5,3                 165/1000 = 0,165
Se la frazione è decimale si trasforma in un numero decimale limitato, perché ha un numero di cifre decimali limitato.
  
Consideriamo ora frazioni non decimali, cioè frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10 o da una potenza di 10

3/8 = 0,375                                         7/20 = 0,35                             135/50 = 2,7

4/11 = 0,36363636…….                    8/15 = 0,533333333…..         6/13 = 0,461538461538…….

Possiamo osservare come il primo gruppo di frazioni ordinarie si trasformi in numeri decimali limitati mentre il secondo gruppo dà origine a numeri decimali illimitati perché la divisione tra numeratore e denominatore, anche se proseguita, non avrà mai resto zero, quindi il numero delle cifre decimali del quoziente è illimitato.

Come possiamo sapere se una frazione ordinaria darà origine ad un numero decimale limitato o illimitato? E’ semplice, basta scomporre in numeri primi il suo denominatore.
Facciamolo per il primo gruppo di frazioni:
8 =  23                 20 = 22 x 5                  50 = 2 x 52
Scomponiamo ora il denominatore del secondo gruppo di frazioni:
11 = 11           15 = 3 x 5                   13 = 13

Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato solo nei casi in cui la scomposizione in fattori primi del denominatore contenga esclusivamente il fattore 2, il fattore 5 o entrambi i fattori.

Bene, centriamo ora la nostra attenzione sui numeri decimali illimitati.

Consideriamo queste frazioni e calcoliamone il valore: 5/9, 10/3, 3/11, 2/27, 5/12, 11/45, 11/12
5/9 = 0,55555……
10/3 = 3,333333…..
3/11 = 0,27272727……
2/27 = 0,074074074……
5/12 = 0,41666666….
11/45 = 0,24444444….
11/12 = 0,91666666….
Vediamo che tutte queste frazioni si trasformano in numeri decimali illimitati. Consideriamo le prime quattro frazioni.
5/9 = 0,55555……
10/3 = 3,333333…..
3/11 = 0,27272727……
2/27 = 0,074074074……
Possiamo vedere come, subito dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre si ripete all’infinito: la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo ed i numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici semplici. Per indicare il periodo si mette una lineetta sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripete.
Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se nella scomposizione in fattori primi del denominatore non è presente né il fattore 2 né il fattore 5.
Consideriamo ora le altre tre frazioni.
5/12 = 0,41666666….
11/45 = 0,24444444….
11/12 = 0,91666666….
Vediamo come, in questi casi, il periodo non inizi subito dopo la virgola in quanto tra la virgola ed il periodo è presente una cifra o un gruppo di cifre. Questi numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici misti.
La cifra o il gruppo di cifre tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo e si scrive in questo modo

Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se nella scomposizione in fattori primi del denominatore è presente il fattore 2 o  il fattore 5 o entrambi oltre ad altri fattori primi.

Possiamo quindi rappresentare così l’insieme Q+
Possiamo sintetizzare così ciò che si ottiene nelle varie possibilità di trasformazione di una frazione in numero:
La frazione è apparente
Numero naturale
La frazione è ordinaria

Il denominatore contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi
Numero decimale limitato
Il denominatore non contiene i fattori 2 e 5
Numero decimale periodico semplice
Il denominatore contiene i fattori 2, 5 o entrambi insieme ad altri fattori
Numero decimale periodico misto

ESERCIZI

·        Quando un numero decimale si può definire limitato?
·        Quando una frazione ordinaria irriducibile può essere trasformata in un numero decimale limitato?
·        Quando un numero si dice decimale illimitato periodico semplice?
·        Quando un numero si dice decimale illimitato periodico misto?
·        Per ogni numero indica se è un numero decimale limitato, illimitato periodico semplice o illimitato periodico misto. 
·        Individua, tra le seguenti frazioni, quali possono essere trasformate in numeri decimali limitati ed esegui la trasformazione
4/21, 11/25, 51/50, 13/20, 18/100, 27/70, 19/30, 2/5
·        Individua, tra le seguenti frazioni, quali possono essere trasformate in numeri decimali illimitati periodici semplici ed esegui la trasformazione
22/15; 5/9; 6/11; 11/18; 32/3; 25/12; 25/9; 7/100
·        Individua, tra le seguenti frazioni, quali possono essere trasformate in numeri decimali illimitati periodici misti ed esegui la trasformazione
5/8; 5/12; 13/45; 6/5; 13/6; 7/3; 5/18; 11/12

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Griglie di correzione prova Invalsi 2013

Ecco i links per scaricare le griglie di correzione complete delle prove Invalsi assegnate nell'a. s. 2012/13.

Griglia di correzione Prova di Italiano classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1.

Griglia di correzione Prova di Matematica classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1.

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca