Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Radici quadrate approssimate



Esaminiamo l’estrazione della radice quadrata eseguita nel precedente post e riferita ad un numero intero che non sia un quadrato perfetto.

Abbiamo in questo caso una radice quadrata approssimata per difetto a meno di una unità.
Possiamo proseguire il calcolo della radice quadrata non fermandoci alla parte intera e raggiungendo quindi un’approssimazione più precisa.
Possiamo approssimare per difetto a meno di 0,1 (cioè a meno di un decimo), a meno di 0,01 (cioè a meno di un centesimo), a meno di 0,001 (cioè a meno di un millesimo) …..
Proviamo ad approssimare per difetto a meno di 0,1.
E’ sufficiente aggiungere due zeri all’ultimo resto e mettere la virgola nella radice e quindi si procede come già sappiamo.

Continuando e aggiungendo due zeri all’ultimo resto otterremo un’approssimazione per difetto a meno di 0,01.

Continuando e aggiungendo due zeri all’ultimo resto otterremo un’approssimazione per difetto a meno di 0,001.

In questo caso possiamo dire che:

ESERCIZI

·      Calcola la radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 dei seguenti numeri
2 937 – 10 721 – 89 759



·      Calcola la radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,01 dei seguenti numeri
747 – 5 721 – 55 381



·      Calcola la radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,001 dei seguenti numeri
135 – 451

La radice quadrata

L’estrazione di radice è il procedimento che ci permette di trovare la base, conoscendo l’esponente ed il valore di una potenza. Si tratta quindi dell’operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza.
Come l’elevamento a potenza può essere alla seconda, alla terza, alla quarta ……, così l’estrazione di radice può essere quadrata, cubica, ecc.
Per ora consideriamo l’estrazione di radice quadrata (per convenzione si omette l’indice 2 sopra il segno di radice)
Dovrebbe essere evidente che
Vediamo il nome dei termini di questa operazione

Possiamo dunque dire che l’estrazione della radice quadrata di un numero (radicando) consiste in un’operazione che permette di individuare un altro numero che, elevato al quadrato, dà come risultato il radicando.
I quadrati perfetti

Osserviamo alcuni casi:



I numeri per cui esiste la radice quadrata perfetta si dicono quadrati perfetti e la loro radice quadrata è esatta.

Come possiamo fare per riconoscere se un numero è un quadrato perfetto? Scomponiamo in fattori primi alcuni dei numeri che abbiamo visto o che sappiamo essere quadrati perfetti.



49
7
7
7
1








81
3
27
3
9
3
3
3
1


64
2
32
2
16
2
8
2
4
2
2
2
1












100
2
50
2
25
5
5
5
1


49 = 72
81 = 34
64 = 26
100 = 22 x 52

Ci accorgiamo che tutti questi numeri sono uguali al prodotto di tutti fattori con esponenti pari. Possiamo dunque affermare che un numero è un quadrato perfetto quando è uguale al prodotto di fattori primi tutti con esponenti pari.

I numeri non quadrati perfetti

E i numeri che non sono quadrati perfetti? Di essi non possiamo trovare la radice quadrata esatta, ma possiamo calcolare la radice quadrata approssimata per difetto o per eccesso.

Consideriamo, ad esempio, 

Qual è il numero più grande che, elevato al quadrato, ci dà un numero inferiore a 55? E’ 7 perché 72 = 49 < 55
Qual è il numero più piccolo che, elevato al quadrato, ci dà un numero superiore a 55? E’ 8 perché 82 = 64 > 55
Quindi 7 è la radice quadrata di 55 approssimata per difetto a meno di una unità, invece 8 è la radice quadrata di 55 approssimata per eccesso a meno di una unità.

Estrazione di una radice quadrata
Passiamo ora ad illustrare il procedimento per l’estrazione di una radice quadrata.
Estraiamo la radice quadrata di 33 856.


Estraiamo ora la radice quadrata di 651 432

In questo caso, poiché l’ultimo resto è diverso da zero, non abbiamo una radice quadrata esatta, bensì una radice quadrata approssimata per difetto a meno di una unità.

ESERCIZI

·      Verifica, con la scomposizione in fattori primi, se i seguenti numeri sono quadrati perfetti.
1 440 – 1 444 - 3 240 –  5 184 - 12 348 – 14 400

·      Calcola la radice quadrata esatta dei seguenti numeri:
2 601 – 11 025 – 158 404

·      Calcola la radice quadrata approssimata per difetto a meno di una unità dei seguenti numeri:
1029 – 11 235 – 516 986


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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca