Consideriamo questa situazione in cui ci vengono presentati
due dati.
La popolazione della
Campania è di 5 790 187 abitanti; la superficie della Campania è di 13 590 km2.
Possiamo mettere in relazione questi due dati, cioè
rapportarli tra di loro per calcolare la densità di popolazione della Campania.
5 790 187 ab : 13 590 km2 = 426 abitanti per ogni
km2
Vediamo che la ricerca del rapporto tra i due dati di
partenza si è concretizzato in una divisione ed il quoziente tra i due dati è
il loro rapporto numerico.
Possiamo dunque generalizzare affermando che il rapporto tra due numeri a e b
è il quoziente di a : b.
Il rapporto tra due numeri, ad esempio 7 e 8 può essere
indicato in modo diverso:
-
con una divisione 7 : 8 (si legge “rapporto 7 a 8”)
-
con una frazione 7/8 (si legge “rapporto sette ottavi”)
-
con un numero decimale 7 : 8 = 0,875 (si legge
“rapporto 0,875”)
I due numeri 7 e 8 si chiamano termini del rapporto: il primo termine prende il nome di antecedente, il secondo termine di conseguente.
Consideriamo ora questa situazione.
In una serie di tiri liberi a canestro Giorgio realizza 15
canestri in 20 tiri mentre Paolo realizza 12 canestri su 16 tiri.
Chi è stato il miglior tiratore? Non lasciamoci ingannare
dal fatto che Giorgio ha fatto più canestri di Paolo, dobbiamo considerare per
ogni giocatore il rapporto canestri fatti/tiri effettuati.
Per Giorgio il rapporto è 15 : 20 = 0,75
Per Paolo il rapporto è 12 : 16 = 0,75
I due rapporti sono uguali, quindi i due giocatori hanno
dimostrato uguale bravura.
Possiamo dunque scrivere così
15 : 20 = 12 : 16
Abbiamo scritto un’uguaglianza fra due rapporti. Questa
uguaglianza si chiama proporzione, che possiamo dunque definire come l’uguaglianza
di due rapporti.
La proporzione sopra indicata si legge: 15 sta a 20 come 12
sta a 16.
Impariamo la nomenclatura corretta delle proporzioni:
-
i quattro numeri sono i termini della proporzione
-
il 1° ed il 3° numero sono gli antecedenti
-
il 2° ed il 4° numero sono i conseguenti
-
il 1° ed il 4° numero sono gli estremi
-
il 2° ed il 3° numero sono i medi
Tutte le proporzioni godono di alcune proprietà. Cominciamo
ad esaminare la proprietà fondamentale.
La proprietà
fondamentale delle proporzioni afferma che in ogni proporzione il prodotto dei
medi è sempre uguale al prodotto degli estremi. Se la proporzione è a : b = x : y avremo che a . y = b . x.
Nella proporzione 15 :
20 = 12 : 16 avremo che 15 .
16 = 20 . 12
Questa proprietà è utile per controllare se due rapporti
possono formare una proporzione.
Esempio:
I rapporti 1,5 : 0,3 e 2,5 : 0,5 possono formare una
proporzione?
Moltiplichiamo gli estremi: 1,5 . 0,5 = 0,75
Moltiplichiamo i medi: 0,3 . 2,5 = 0,75
Sì, i due rapporti possono formare una proporzione.
Vediamo un altro esempio:
No, i due rapporti non formano
una proporzione.
Passiamo ad esaminare un’altra proprietà, la cosiddetta proprietà dell’invertire.
La proprietà dell’invertire
afferma che, in ogni proporzione, scambiando ogni antecedente con il proprio
conseguente si ottiene ancora una proporzione.
Se la proporzione è a
: b = c : d sarà una proporzione anche b
: a = d : c.
Vediamo un esempio:
se è vero che 50 : 5 = 20 : 2 sarà anche vero che 5 : 50 = 2
: 20
Vediamo ora la proprietà
del permutare.
La proprietà del
permutare afferma che, in ogni proporzione, scambiando tra loro gli estremi o i
medi o entrambi si ottengono altre proporzioni.
Se la proporzione è a
: b = c : d saranno proporzioni anche
Un’altra proprietà delle proporzioni è la proprietà del comporre.
La proprietà del comporre
afferma che, in ogni proporzione, la somma del 1° e 2° termine sta al 1° o al
2° termine come la somma del 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.
Se è vera la proporzione a
: b = c : d saranno proporzioni vere anche
(a + b) : a = (c + d)
: c
(a + b) : b = (c + d)
: d
Vediamo un esempio numerico. Se
Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò
che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.
Applichiamo la proprietà del comporre nel secondo modo.
Vediamo infine la proprietà
dello scomporre.
La proprietà dello scomporre
afferma che, in ogni proporzione che abbia gli antecedenti maggiori dei
rispettivi conseguenti, la differenza tra il 1° e 2° termine sta al 1° o al 2°
termine come la differenza tra il 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.
Se è vera la proporzione a
: b = c : d saranno proporzioni vere anche
(a - b) : a = (c - d)
: c
(a - b) : b = (c - d)
: d
Vediamo un esempio numerico. Se
Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò
che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.
Applichiamo la proprietà dello scomporre nel secondo modo.
ESERCIZI
·
Quali,
tra questi rapporti, possono costituire una proporzione?
12 : 3 e 14 : 2
36 : 6 e 30 : 5
200 : 20 e 30 : 3
100 : 2 e 200 : 20
·
Data la
proporzione 25 : 20 = 30 : 24 rispondi alle domande:
- Quali
sono gli antecedenti?
- Quali
sono i conseguenti?
- Quali
sono gli estremi?
- Quali
sono i medi?
- Qual
è il valore del rapporto?
·
Ad ogni
proporzione applica le proprietà dell’invertire, del permutare, del comporre e
dello scomporre (quando possibile)
Proprietà dell’invertire
|
Proprietà del permutare
|
Proprietà del comporre
|
Proprietà dello scomporre
|
|
5 : 7 = 15 : 21
|
||||
54 : 6 = 18 : 2
|
||||
72 : 12 = 36 : 6
|
||||
3 : 4 = 9 : 12
|
