Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Rapporti e proporzioni



Consideriamo questa situazione in cui ci vengono presentati due dati.
La popolazione della Campania è di 5 790 187 abitanti; la superficie della Campania è di 13 590 km2.
Possiamo mettere in relazione questi due dati, cioè rapportarli tra di loro per calcolare la densità di popolazione della Campania.
5 790 187 ab : 13 590 km2 = 426 abitanti per ogni km2
Vediamo che la ricerca del rapporto tra i due dati di partenza si è concretizzato in una divisione ed il quoziente tra i due dati è il loro rapporto numerico.
Possiamo dunque generalizzare affermando che il rapporto tra due numeri a e b è il quoziente di a : b.
Il rapporto tra due numeri, ad esempio 7 e 8 può essere indicato in modo diverso:
-         con una divisione 7 : 8 (si legge “rapporto 7 a 8”)
-         con una frazione 7/8 (si legge “rapporto sette ottavi”)
-         con un numero decimale 7 : 8 = 0,875 (si legge “rapporto 0,875”)

I due numeri 7 e 8 si chiamano termini del rapporto: il primo termine prende il nome di antecedente, il secondo termine di conseguente.

Consideriamo ora questa situazione.
In una serie di tiri liberi a canestro Giorgio realizza 15 canestri in 20 tiri mentre Paolo realizza 12 canestri su 16 tiri.
Chi è stato il miglior tiratore? Non lasciamoci ingannare dal fatto che Giorgio ha fatto più canestri di Paolo, dobbiamo considerare per ogni giocatore il rapporto canestri fatti/tiri effettuati.
Per Giorgio il rapporto è 15 : 20 = 0,75
Per Paolo il rapporto è 12 : 16 = 0,75
I due rapporti sono uguali, quindi i due giocatori hanno dimostrato uguale bravura.
Possiamo dunque scrivere così
15 : 20 = 12 : 16
Abbiamo scritto un’uguaglianza fra due rapporti. Questa uguaglianza si chiama proporzione, che possiamo dunque definire come l’uguaglianza di due rapporti.
La proporzione sopra indicata si legge: 15 sta a 20 come 12 sta a 16.
Impariamo la nomenclatura corretta delle proporzioni:



-         i quattro numeri sono i termini della proporzione
-         il 1° ed il 3° numero sono gli antecedenti
-         il 2° ed il 4° numero sono i conseguenti
-         il 1° ed il 4° numero sono gli estremi
-         il 2° ed il 3° numero sono i medi

Tutte le proporzioni godono di alcune proprietà. Cominciamo ad esaminare la proprietà fondamentale.
La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi. Se la proporzione è a : b = x : y avremo che a . y = b . x.
Nella proporzione 15 : 20 = 12 : 16 avremo che 15 . 16 = 20 . 12
Questa proprietà è utile per controllare se due rapporti possono formare una proporzione.
Esempio:
I rapporti 1,5 : 0,3 e 2,5 : 0,5 possono formare una proporzione?
Moltiplichiamo gli estremi: 1,5 . 0,5 = 0,75
Moltiplichiamo i medi: 0,3 . 2,5 = 0,75
Sì, i due rapporti possono formare una proporzione.
Vediamo un altro esempio:

No, i due rapporti non formano una proporzione.

Passiamo ad esaminare un’altra proprietà, la cosiddetta proprietà dell’invertire.
La proprietà dell’invertire afferma che, in ogni proporzione, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.
Se la proporzione è a : b = c : d sarà una proporzione anche b : a = d : c.
Vediamo un esempio:
se è vero che 50 : 5 = 20 : 2 sarà anche vero che 5 : 50 = 2 : 20


Vediamo ora la proprietà del permutare.
La proprietà del permutare afferma che, in ogni proporzione, scambiando tra loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono altre proporzioni.
Se la proporzione è a : b = c : d saranno proporzioni anche 

Un’altra proprietà delle proporzioni è la proprietà del comporre.
La proprietà del comporre afferma che, in ogni proporzione, la somma del 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la somma del 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.
Se è vera la proporzione a : b = c : d saranno proporzioni vere anche
(a + b) : a = (c + d) : c
(a + b) : b = (c + d) : d
Vediamo un esempio numerico. Se


Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.

Applichiamo la proprietà del comporre nel secondo modo.

Vediamo infine la proprietà dello scomporre.
La proprietà dello scomporre afferma che, in ogni proporzione che abbia gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti, la differenza tra il 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la differenza tra il 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.
Se è vera la proporzione a : b = c : d saranno proporzioni vere anche
(a - b) : a = (c - d) : c
(a - b) : b = (c - d) : d

Vediamo un esempio numerico. Se


Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.

Applichiamo la proprietà dello scomporre nel secondo modo.


ESERCIZI
·      Quali, tra questi rapporti, possono costituire una proporzione?
12 : 3 e 14 : 2
36 : 6 e 30 : 5
200 : 20 e 30 : 3
100 : 2 e 200 : 20
·      Data la proporzione 25 : 20 = 30 : 24 rispondi alle domande:
-       Quali sono gli antecedenti?
-       Quali sono i conseguenti?
-       Quali sono gli estremi?
-       Quali sono i medi?
-       Qual è il valore del rapporto?




·      Ad ogni proporzione applica le proprietà dell’invertire, del permutare, del comporre e dello scomporre (quando possibile)


Proprietà dell’invertire
Proprietà del permutare
Proprietà del comporre
Proprietà dello scomporre
5 : 7 = 15 : 21




54 : 6 = 18 : 2




72 : 12 = 36 : 6




3 : 4 = 9 : 12






Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca