Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

martedì 21 gennaio 2014

Dai numeri razionali ai numeri irrazionali



Consideriamo gli insiemi numerici che conosciamo finora.
Abbiamo esaminato l’insieme N o insieme dei numeri naturali
{0, 1, 2, 3, 4,......}
 Abbiamo visto come l’addizione e la moltiplicazione siano operazioni interne all’insieme N mentre la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme dei numeri naturali perché non è sempre possibile restando nell’ambito dei numeri naturali.
Per dare una risposta a qualsiasi sottrazione, i matematici hanno inventato i numeri relativi (con il segno), e cioè l’insieme Z.
{...,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,......}
L’addizione, la sottrazione e la moltiplicazione sono operazioni interne all’insieme Z perché il risultato è sempre un numero intero relativo. La divisione, invece, non è un’operazione interna all’insieme Z perché in alcuni casi non è possibile: ad esempio (+3) : (+5) = ?
Per poter eseguire qualsiasi divisione, i matematici hanno inventato le frazioni: l’insieme Q+ o insieme dei numeri razionali.
-3/4                  +6/5              +5/2
L’insieme Q+ include sia l’insieme N che l’insieme Z.
L’addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la divisione sono operazioni interne all’insieme Q+ perché il risultato è sempre un numero razionale relativo.
L’estrazione di radice non è sempre un’operazione interna all’insieme Q+: se il numero di cui dobbiamo estrarre la radice quadrato è un quadrato perfetto allora l’estrazione di radice è interna a Q+.
Se invece il numero di cui vogliamo estrarre la radice quadrata non è un quadrato perfetto, sappiamo che otterremo una radice quadrata approssimata per difetto a meno di 0,1 – 0,01 – 0,001, ecc. Ad esempio la radice quadrata di 10 approssimata per difetto a meno di 0,00001 è 3,16227….. ma potremmo proseguire all’infinito ottenendo un numero decimale illimitato con cifre decimali che non si ripeteranno mai: si tratta quindi di un numero decimale illimitato non periodico. I numeri di questo tipo sono chiamati numeri irrazionali.
Per dare quindi una risposta a qualsiasi radice con radicando positivo, i matematici hanno inventato i numeri irrazionali: l’insieme I+ o insieme dei numeri irrazionali.
L’unione dell’insieme Q+ dei numeri razionali e dell’insieme I+ dei numeri irrazionali forma l’insieme R+ o insieme dei numeri reali assoluti.
L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme R+.
Possiamo rappresentare graficamente in questo modo



oppure anche così



ESERCIZI

·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
·      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme Z?
·      Quali sono le operazioni interne all’insieme Z?
·      L’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna all’insieme Q+?
·      In quale insieme l’estrazione di radice quadrata è un’operazione interna?
·      Qual è l’insieme formato dall’unione dei numeri razionali e dall’insieme dei numeri irrazionali?
·      Inserisci i seguenti numeri al posto corretto nel diagramma di Eulero-Venn
·      Quali tra i seguenti numeri reali assoluti sono razionali e quali irrazionali? Cerchia di blu i razionali e di rosso gli irrazionali.
 


giovedì 9 gennaio 2014

Identità ed equazioni



Iniziamo prendendo in esame alcuni enunciati veri ed esprimendoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:
a)      La differenza tra un numero e zero è uguale al numero stesso
x – 0 = x
b)      Il prodotto di un numero per zero è uguale a zero
x . 0 = 0
c)      Un numero moltiplicato per se stesso tre volte è uguale al suo cubo
x . x . x = x3

Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, sempre vere, qualunque sia il valore assegnato. Infatti:
a)      per x = 5 abbiamo 5 – 0 = 5
per x = - 3 abbiamo -3 - 0 = - 3
per x = 3/5 abbiamo 3/5 – 0 = 3/5

b)      per x = 6 abbiamo 6 x 0 = 0
per x = - 5 abbiamo - 5 . 0 = - 3
per x = 1/4 abbiamo 1/4 . 0 = 0

c)      per x = 4 abbiamo 4 x 4 x 4 = 43
per x = - 2 abbiamo (- 2) (- 2) (-2) = - 23
per x = 1/3 abbiamo (1/3) (1/3) (1/3) = (1/3)3

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati veri si dicono identità. Quindi l’identità è un’uguaglianza fra due espressioni verificata per qualunque valore delle lettere presenti.

Prendiamo ora in esame alcuni enunciati aperti ed esprimiamoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:
a)      La differenza tra un numero e tre è uguale a quattro
x – 3 = 4
b)      Il prodotto di un numero per due è uguale a dieci
x . 2 = 10
c)      Il quadrato di un numero è uguale a 36
x2 = 36
Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, vere solo per alcuni valori di x. Infatti:
a)      se x = 7 abbiamo 7 – 3 = 4 l’uguaglianza è vera
per x = 5 abbiamo 5 - 3 = 4 l’uguaglianza è falsa

b)      per x = 5 abbiamo 5 x 2 = 10 l’uguaglianza è vera
per x = - 5 abbiamo - 5 . 2 = 10 l’uguaglianza è falsa

c)      per x = 6 abbiamo 62 = 36 l’uguaglianza è vera
per x = 7 abbiamo 72 = 36 l’uguaglianza è falsa

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati aperti e che sono soddisfatte solo per determinati valori, si dicono equazioni. Quindi l’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni verificata solo per determinati valori delle lettere presenti.

Vediamo ora la corretta terminologia, considerando ad esempio la seguente equazione
xy – 3x = 6 – 3x

Vediamo che l’equazione è composta da due espressioni letterali, dette rispettivamente 1° e 2° membro dell’equazione.
Le lettere presenti nell’equazione sono dette incognite, mentre i termini che non contengono le incognite sono detti termini noti.
A seconda del numero di lettere diverse presenti in una equazione si parla di equazione a una, a due, a tre, a …. incognite. Nell’esempio sopra abbiamo un’equazione a due incognite.
15 x + 13 = x – 1 è un’equazione ad una incognita.
Il grado di un’equazione si determina individuando il grado più elevato dei monomi che formano l’equazione: 4x2 – x = 0 è un’equazione di 2° grado; x2y + y4 = 10 è un’equazione di 4° grado.
La soluzione di un’equazione è data dal calcolo dei valori delle incognite che rendono vera l’equazione.

Dobbiamo ora considerare i principi di equivalenza delle equazioni.
Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di un’equazione lo stesso numero o una espressione algebrica contenente l’incognita, ottenendo un’equazione equivalente a quella data.
Consideriamo l’equazione 5x + 2 = 17. La soluzione dell’equazione è x = 3. Infatti:
5. 3 + 2 = 17
Applichiamo ora il 1° principio di equivalenza aggiungendo ad entrambi i membri un numero, ad esempio il numero 4. Otteniamo:
5x + 2 + 4 = 17 + 4 e vediamo che la soluzione è ancora x = 3. Infatti
5. 3 + 2  + 4 = 17 + 4

Proviamo ora a togliere uno stesso numero, ad esempio 2. Otteniamo:
5x + 2 – 2 = 17 – 2 e notiamo che la soluzione è ancora x = 3. Consideriamo meglio questo esempio:

Confrontiamo questa equazione con quella di partenza, sapendo che sono equivalenti:
5x + 2 = 17
5x = 17 – 2
Notiamo che abbiamo spostato il termine noto dal 1° al 2° membro, cambiandolo di segno.
Possiamo dunque affermare che, in ogni equazione, un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.
Vediamo un esempio
3x – 4 – 2x = 26 – 5x                        è equivalente a 3x – 2x  + 5x = 4 + 26 e cioè 6x = 30
Consideriamo un altro esempio
4x - 6 + 2x = 2x + 6              è equivalente a 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e cioè 4x = 12
Se confrontiamo 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e  4x = 12 vediamo che in pratica abbiamo eliminato + 2x che era presente in entrambi i membri dell’equazione.  Possiamo dunque affermare che in un’equazione possiamo eliminare eventuali termini uguali presenti sia nel 1° che nel 2° membro.

Ora consideriamo il 2° principio di equivalenza delle equazioni.
Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero), ottenendo un’equazione equivalente a quella data.
Consideriamo l’equazione x – 2 = 14
Moltiplichiamo entrambi i membri per -1. Otteniamo
-1 . (x – 2) = -1. 14     cioè –x + 2 = -14
Questa equazione è equivalente a quella di partenza: possiamo notare come siano cambiati i segni di tutti i termini dell’equazione.
Affermiamo dunque che possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data cambiando il segno di tutti i suoi termini.
Consideriamo ora un’equazione a termini frazionari. Ad esempio:
Notiamo che otteniamo un’equazione equivalente a quella di origine ma ridotta a forma intera.
Possiamo dunque affermare che, data un’equazione a termini frazionari,  possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data e ridotta a forma intera moltiplicando ciascun termine dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori.

Sintetizzando tutto il lungo discorso possiamo dire


ESERCIZI

·      Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità o equazioni
4 (x + y) = 4x + 4y

x + 6 = 2x

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

a + 3 = - (- a – 3)

2 x + 3 = x – 4

·      Individua il grado di ciascuna equazione
3x2 – x = 0

xy2 + y4 = 10

a3 – 3a2 + 3a = -1

3a - 7 = - a + 2

·      Indica quali sono le incognite e i termini noti di ciascuna equazione

Termini noti
Incognite
-2x + 4 = x – 6



x + 2y = 8



ab3 – a2b + c = 2a + 1




·      Che cosa afferma il primo principio di equivalenza?
·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 1° principio di equivalenza
16 = 7x + 2

- 9 + 7x = 2x + 1

8x + 7 – x = 3x + 9





·      Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza?

·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 2° principio di equivalenza
3x – 2x + 1 = 10x










·      Riduci a forma intera le seguenti equazioni
                    










Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca