Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

giovedì 12 febbraio 2015

Criteri di similitudine e teoremi di Euclide



Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati corrispondenti sono in rapporto costante.

Consideriamo le due figure:
 Notiamo che:




AB  : A’B’  = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’

Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili.


Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.


Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni non sono simili.

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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.
I CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:







e quindi i due triangoli sono simili.

II CRITERIO
   
Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in figura:
BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25)
I due triangoli sono simili.

 III CRITERIO


Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel caso in figura:
AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre abbiamo che α è congruente ad α’           
I due triangoli sono simili.

I criteri di similitudine dei triangoli vengono applicati in due teoremi di Euclide, riferiti solo ai triangoli rettangoli.

I teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A e tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Consideriamo un secondo triangolo A’B’H’ congruente col triangolo ABH.
 

Confrontiamo ora il triangolo ABC (giallo) con il triangolo A’B’H’ (bianco). 

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che gli angoli A e H’ sono congruenti. A è congruente ad H’.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo anche che l’angolo B coincide con l’angolo B’. B è congruente a B'.
Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo C coincide con l’angolo A’. C è congruente a A'.


I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : B’A’ = AB : B’H’ ma poiché sappiamo che   


 

possiamo modificare la proporzione
BC : AB = AB : BH
Notiamo quindi che il cateto AB è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
La stessa cosa accade confrontando il triangolo AHC ed il triangolo ABC.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo A ed H’ sono congruenti e vediamo anche che l’angolo C coincide con l’angolo C’.
L'angolo A è congruente all'angolo H'.
L'angolo C è congruente all'angolo C'

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo B coincide con l’angolo A’.
L'angolo B è congruente all'angolo A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:
BC : A’C’ = AC : H’C’ ma poiché sappiamo che 



possiamo modificare la proporzione
BC : AC = AC : HC
Notiamo quindi che il cateto AC è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Il I teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.


II teorema di Euclide




Abbiamo constatato che
A’B’H’ è simile ad ABC
A’H’C’ è simile ad ABC
Possiamo dunque dire, per la proprietà transitiva, che A’B’H’ è simile ad A’H’C’ e quindi i lati omologhi saranno in proporzione.
B’H’ : A’H’ = A’H’ : H’C’







per cui
BH : AH = AH : HC
Il II teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

ESERCIZI
·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 7 cm e la proiezione del cateto minore su di essa 2,52 cm. Calcola il perimetro del triangolo.
·      In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 24 cm, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 14,4 cm. Calcola l’area del triangolo.
·      In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 54 cm e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga 43,2 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.
·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 75 cm mentre le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono uno i 9/16 dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo.


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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca