Rette e piani nello spazio

Le rette nello spazio

Iniziando ad occuparci della geometria delle figure solide cominciamo a considerare le rette nello spazio. Possiamo avere diversi casi:

a)      rette complanari, cioè appartenenti ad uno stesso piano, che possono avere un punto in comune e si dicono allora incidenti (fig. 1) o non avere nessun punto in comune e si dicono allora parallele (fig. 2). 

b)      rette non appartenenti allo stesso piano e che non hanno alcun punto in comune si dicono sghembe (fig. 3). 

Nel caso di rette sghembe possiamo dire che:

I piani nello spazio

Due diversi piani nello spazio possono essere incidenti o secanti se hanno una retta in comune

 

Due diversi piani nello spazio possono essere paralleli se non hanno alcun punto in comune 

Per un punto passano infiniti piani.

Per una retta passano infiniti piani.

Per tre punti non allineati passa un solo piano.

Per una retta e un punto non appartenente ad essa passa un solo piano. 

 Per due rette incidenti passa un solo piano. 

 Per due rette parallele passa un solo piano. 

Consideriamo ora un piano α ed un punto P non appartenente ad esso: dal punto P tracciamo la perpendicolare p al piano α che incontra il piano nel punto S, notiamo che gli angoli che forma con tutte le rette del piano α passanti per S sono retti. Il punto S è il piede della perpendicolare ed il segmento PS è la distanza del punto P al piano α.

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Prova Invalsi di matematica 2014 - classe terza

Metto a disposizione di tutti i fruitori del blog un test da svolgere on line contenente tutte le domande della prova Invalsi di matematica assegnata nel 2014 all'esame di Stato: il test può essere eseguito direttamente sul blog.
La prova può essere svolta individualmente o collettivamente se si ha la possibilità di usare un'aula di informatica. Può essere svolta anche con la Lim.
Sono presenti gli stessi items della prova nazionale, ad eccezione di alcune richieste di giustificazione delle risposte date, in quanto il software non è in grado di valutarle.
Al termine della prova ogni studente riceverà una valutazione e si potranno esaminare tutte le risposte fornite ed analizzare quindi eventuali errori.

La retta e la sua equazione

Ricordiamo che, date due variabili x (variabile indipendente) ed y (variabile dipendente), possiamo dire che y è in funzione di x

y = f(x)

se esiste una relazione per cui ad ogni valore della x corrisponde uno ed un solo valore della y.

Se questa relazione si può esprimere con una formula matematica diciamo che la funzione y = f(x)

è una funzione matematica e la formula che permette di passare dal valore di x al valore di y si dice equazione della funzione.

Consideriamo la funzione y = -  2x + 1

Completiamo la tabella dei valori assegnando un valore arbitrario ad x e calcolando il corrispondente valore di y.

x	-1	0	+1	+2	…..
y	+3	+1	-1	-3	…..

Rappresentiamo i punti A(- 1; + 3), B (0; + 1), C(+1; - 1), D(+ 2; - 3) sul piano cartesiano. Unendo questi punti ci accorgiamo che appartengono tutti alla stessa retta r.

Consideriamo ora quest’altra funzione y = x - 2

Completiamo la tabella dei valori assegnando un valore arbitrario ad x e calcolando il corrispondente valore di y.

x	-1	0	+1	+2	…..
y	-3	-2	-1	0	…..

Rappresentiamo i punti A(- 1; - 3), B (0; - 2), C(+1; - 1), D(+ 2; 0) sul piano cartesiano. Unendo questi punti ci accorgiamo che appartengono tutti alla stessa retta s.

Osservando i grafici ci accorgiamo  che i termini noti +1 e -2 rappresentano l’ordinata del punto in cui la retta incontra l’asse y.

Possiamo anche notare come equazioni del tipo y = -  2x + 1 o y = x – 2 abbiano come equazione una retta. Possiamo generalizzare dicendo che ogni equazione del tipo y = mx + p (con m e p che indicano qualsiasi numero relativo) ha come equazione una retta.

Per rappresentare nel piano cartesiano una retta ci servono solo due coppie di valori corrispondenti perché per due punti passa una e una sola retta. Vediamo, ad esempio di rappresentare nel piano cartesiano la retta di equazione 

Rappresentiamo la retta di equazione 

ESERCIZI

·      Costruisci la tabella dei valori e disegna le rette rappresentate dalle seguenti equazioni

y = - 4x – 2

y = 1/2x + 2

·      Individua graficamente il punto di intersezione P di ogni coppia di rette r ed s e determinane le coordinate.

r          y = 2x + 7                   s          y = - 4/3x – 3

r          y = - x + 4                   s          y = x

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