Superficie e volume del cilindro

Ricordate che possiamo ottenere alcuni solidi a superficie curva attraverso la rotazione di una figura piana attorno ad un suo lato?

Ad esempio possiamo ottenere il cilindro dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno ad un suo lato.

Possiamo quindi definire il cilindro come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato. Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cilindro, il lato parallelo è la generatrice mentre gli altri due lati del rettangolo sono i raggi dei due cerchi di base del cilindro.

Se l’altezza del cilindro è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cilindro si dice equilatero.

Superficie laterale

Consideriamo lo sviluppo di un cilindro.

Notiamo che la superficie laterale equivale alla superficie di un rettangolo avente come base la circonferenza del cilindro rettificata e per altezza la stessa altezza del cilindro.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cilindro si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza.

S_l = C  ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = S_l /h       h = S_l /C       

Superficie totale

E’ evidente che l’area della superficie totale si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + 2A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - 2A_b                    A_b = (S_t – S_l)/2

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un cilindro è equivalente ad un prisma con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cilindro si può calcolare usando la stessa formula del prisma.

Possiamo dunque stabilire che il volume di un cilindro di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = (A_b ^. h)

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V /h                  h = V / A_b

ESERCIZI

·         L’altezza ed il diametro di base di un cilindro misurano rispettivamente 15 cm e 12 cm. Calcola l’area della superficie laterale, totale ed il volume del solido.

·         Un cilindro ha il raggio di 6 cm e l’altezza i 5/2 del raggio. Calcola l’area della superficie laterale ed il volume del cilindro.

·         Un cilindro ha il volume di 972 π cm³ mentre l’altezza è lunga 12 cm. Calcola l’area della superficie totale.

·         Un cilindro si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno al suo lato maggiore. Sapendo che una dimensione è i 5/3 dell’altra e che il perimetro del rettangolo è di 64 cm, calcola l’area della superficie totale ed il volume del cilindro.

·         Un pozzo cilindrico ha l’area della superficie laterale interna di 170,816 m² e una profondità di 8 m. L’acqua in esso contenuta raggiunge un livello di 5 m dal fondo. Calcola quanti litri d’acqua contiene il pozzo. (approssima π a 3,14)

·         Un solido è composto da un cubo sormontato da un cilindro la cui base è inscritta nella faccia superiore del cubo. Il volume del solido è 763,2 cm³ mentre lo spigolo del cubo misura 8 cm. Calcola la misura dell’altezza del cilindro e l’area della superficie del solido. (approssima π a 3,14)

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