mercoledì 26 ottobre 2016

Superficie e volume della sfera

La superficie di una sfera non è sviluppabile in piano e ciò ha creato non pochi problemi ai geografi per rappresentare in piano la superficie della Terra ed ai matematici per determinare la misura della superficie sferica.
Il grande Archimede riuscì nella dimostrazione dell’equivalenza della superficie sferica e quella di un cilindro equilatero circoscritto ad essa.
Poiché la superficie laterale del cilindro si calcola con questa formula Sl = C  . h cioè 2πrh e noi sappiamo che in un cilindro equilatero h = 2r la formula diventa 2πr . 2r= 4 πr2.
Siccome πr2 è l’area del cerchio massimo della sfera possiamo affermare che la superficie della sfera si ottiene moltiplicando l’area del suo cerchio massimo per 4.

S = 4 πr2

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:
Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che una sfera è equivalente ad un cono con raggio di base congruente al diametro della sfera ed altezza congruente al raggio della sfera: di conseguenza il volume della sfera si può calcolare usando la formula del cono V = (Ab . h)/ 3
L’area di base del nostro cono si ottiene quindi moltiplicando il diametro della sfera per se stesso e per π
 Ab= 2r . 2r . π = 4r2 π
Poiché l’altezza del cono è congruente al raggio della sfera avremo che 
V = (4r2π . r)/ 3=  

Possiamo dunque affermare che il volume di una sfera si calcolerà moltiplicando il cubo del suo raggio per  4/3 π.
Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:


ESERCIZI

  •       Calcola il volume di una sfera sapendo che l’area della superficie sferica è 900 π cm2.
  •       Una sfera ha il diametro di 30 cm. Calcola l’area della superficie sferica ed il volume della sfera.
  •       Due sfere hanno i raggi lunghi rispettivamente 12 cm e 16 cm. Calcola la misura del raggio di una terza sfera avente l’area della superficie sferica equivalente alla somma delle aree delle superfici delle due sfere date.

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martedì 18 ottobre 2016

La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.
Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?
Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.
CA = r


Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.
r < CA


Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.
r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.
Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.


La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI
  •          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
  •          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
  •          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm2. Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.


  •          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.



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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca