Questo blog non intende assolutamente essere un esempio di didattica della matematica per la scuola secondaria di 1°: come dice il titolo si tratta di una sintesi di concetti matematici con esercizi. Chi vuole altro si rivolga altrove.

Angoli e rette

Due angoli della stessa ampiezza sono congruenti.
Due angoli la cui somma sia un angolo retto si dicono complementari.
Due angoli la cui somma sia un angolo piatto si dicono supplementari.
Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono esplementari.

a + b = 90°    a e b sono angoli complementari
d + e = 180°   d e e sono angoli supplementari
w + g = 360°   w e g sono angoli esplementari

Consideriamo ora due rette parallele appartenenti allo stesso piano ed una terza retta incidente ad entrambe. Otteniamo 8 angoli che a coppie godono di alcune proprietà

Consideriamo solo queste coppie

Se invece vediamo queste altre coppie

Consideriamo ora questa situazione

Quindi, per esemplificare, l’angolo 1 è congruente all’angolo 4 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 8 perché angoli alterni esterni, è congruente all’angolo 5 perché angoli corrispondenti.
L’angolo 3, ad esempio, è congruente all’angolo 2 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 6 perché angoli alterni interni, è congruente all’angolo 7 perché angoli corrispondenti.
In sintesi:
1≡4≡5≡8
2≡3≡6≡7

Consideriamo ancora:


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Due angoli si dicono congruenti quando ……………………
2.      Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è ……………….
3.      Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è ……………….
4.      Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è ……………….
5.      Se abbiamo un angolo acuto, l’angolo supplementare può essere un altro angolo acuto? Perché?
6.      



Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni esterni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        1 ≡ 8
·        7 ≡ 2
·        7 ≡ 8
·        7 ≡ 1

7.     

Individua con colori diversi le coppie di angoli corrispondenti. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        4 ≡ 8
·        7 ≡ 4
·        3 ≡ 4
·        5 ≡ 1

8.       
Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni interni interni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        4 ≡ 5
·        4 ≡ 6
·        4 ≡ 3
·        3 ≡ 6





Gli angoli

Ora che le conosciamo, immaginiamo due semirette con lo stesso punto di origine, non appartenenti alla stessa retta. Così:

Queste semirette dividono il piano in due parti, che prendono il nome di angoli.
L’angolo è dunque una delle due parti di piano determinate da due semirette con la stessa origine e giacenti sullo stesso piano.
Le due semirette prendono il nome di lati, mentre il punto di origine si chiama vertice.

Gli angoli si dicono convessi se non contengono il prolungamento dei lati e concavi se, invece, li contengono.




Se l’angolo ha per lati due segmenti consecutivi, lo indicheremo in questo modo

BÂC

oppure in questo



AČB

L’angolo ha una sola dimensione: l’ampiezza (non ha spessore, né lunghezza né larghezza) e, oltre ai modi che abbiamo visto sopra, essendo parte di piano può anche essere indicato con una lettera dell’alfabeto greco.
Non dovrebbe essere difficile ricordare che un angolo, secondo l’ampiezza, può essere:
·        Giro = 360° (i lati sono semirette coincidenti)
·        Piatto = 180° (i lati sono semirette adiacenti)
·        Retto = 90° (i lati sono semirette tra loro perpendicolari)
·        Acuto = minore di 90°
·        Ottuso = maggiore di 90°

Due angoli inoltre sono:
·        Consecutivi se hanno in comune un vertice ed un lato

·        Adiacenti se sono consecutivi ed i due lati non comuni appartengono alla stessa retta

·        Opposti al vertice se i loro lati sono semirette opposte


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Completa:
L’angolo è una delle due parti di ………….. determinata da due …………………. aventi la stessa origine e giacenti sullo stesso …………… . Il punto di origine si dice ……………… e le due semirette si dicono ……………… .

2.      Indica qual è il vertice e quali i lati di questo angolo. Poi indica qual è l’angolo convesso e qual è l’angolo concavo.

3.      Indica se questi angoli sono convessi o concavi


4.      Indica per ogni figura se i due angoli sono consecutivi, adiacenti o opposti al vertice


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Operazioni con i numeri relativi: l'addizione

Per meglio comprendere il meccanismo delle addizioni con numeri relativi ci aiuteremo con alcuni esempi e con una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra ed i numeri negativi sono a sinistra dello zero.
I primi due esempi si riferiscono a numeri concordi, gli altri a numeri discordi.

(+ 3) + (+ 4)
Scriviamo togliendo le parentesi:
+ 3 + 4 = 7
Il totale è dato dalla somma dei valori assoluti ed il segno sarà positivo
………………………………………………………………………………………………………
(- 3) + (- 4)
Scriviamo togliendo le parentesi:
- 3 – 4 = - 7
Il totale è dato dalla somma dei valori assoluti ed il segno sarà negativo
………………………………………………………………………………………………………
(+ 4) + (- 5)
Scriviamo togliendo le parentesi:
+ 4 – 5 = - 1
Il segno sarà quello del numero con maggiore valore assoluto ed il totale è dato dalla differenza tra i valori assoluti.
………………………………………………………………………………………………………
(- 6) + (+ 4)
Scriviamo togliendo le parentesi:
- 6 + 4 = - 2
Il segno sarà quello del numero con maggiore valore assoluto ed il totale è dato dalla differenza tra i valori assoluti.
………………………………………………………………………………………………………
(+ 5) + (- 3)
Scriviamo togliendo le parentesi:
+ 5 – 3 = 2
Il segno sarà quello del numero con maggiore valore assoluto ed il totale è dato dalla differenza tra i valori assoluti.
Nel caso di addizioni con numeri razionali le regole sono le medesime.





Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.
ESERCIZI

1.      Quali tra le seguenti addizioni sono errate? Scrivi la correzione
·        (+ 7) + (+ 5) = + 12
·        (- 5) + (- 4) = - 9
·        (- 9) + (+ 16) = + 25
·        (+ 7) + (- 3) = + 10
2.      Esegui queste addizioni
·        ( - 5) + (+ 6) + (+ 8)
·        ( - 6) + (- 8) + (+ 10)
·        ( + 6) + (+ 5) + (- 8)


  





















Numeri relativi: concordi, discordi, opposti

Alcune osservazioni.
1.      Il segno + dei numeri reali positivi può essere sottointeso, quindi 4 è come + 4, 5/3 è come + 5/3, Ö2 è come + Ö2.
2.      Il modulo (o valore assoluto) di un numero reale è il numero che si ottiene togliendo il segno. Per indicare il valore assoluto si usano | |. Quindi: | - 8 | = 8 e si legge “valore assoluto di – 8”.
| + 3/5 | = 3/5
| - Ö3 | = Ö3
| – 7 | = 7
3.      I numeri reali con lo stesso segno ( tutti + o tutti -) si dicono concordi.
+ 4, + 5/7, + Ö5 sono numeri concordi.
- 3, - 7/4, - Ö3 sono numeri concordi.
I numeri reali con diverso segno si dicono discordi. + 4 e – 5/2 sono numeri discordi.
4.      Due numeri discordi con lo stesso valore assoluto si dicono opposti.
-         5 e + 5 sono numeri opposti.

Ricordiamo anche:
·        Confrontando dei numeri concordi positivi è maggiore quello che ha maggior valore assoluto.
+ 4,5 < + 7,6
·        Confrontando dei numeri concordi negativi è maggiore quello che ha minor valore assoluto.
- 6 > - 8
·        Confrontando due numeri discordi è sempre maggiore il numero reale positivo.
+ 8 > - 23

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Spiega che cos’è il modulo di un numero relativo e fai un esempio.
2.      Lo zero è minore o maggiore di un numero negativo? E di un numero positivo?
3.      Valuta se le seguenti coppie di numeri sono formate da numeri concordi, discordi oppure opposti:
+ 5; - 3
- 6; - 1/3
- 7; + 7
+ 6; - 1/6
+ 4/3; + Ö2
4.      Considera i seguenti numeri relativi e per ognuno scrivi il numero opposto, indicandone il valore assoluto.
Es.: - 6/7; + 6/7; | +6/7 | = 6/7
+ 5,3;
+ Ö6;
- 1,3;
+11;
5.      Considera un insieme A = {-3; - 2,5; - 2; - 1,5; 0; + 1,5; + 2; + 2,5; + 6} e scrivi per elencazione due sottoinsiemi in modo che:
B = {b/b b>2}
C = {c/c c<-2}
6.      Disponi in ordine crescente questo insieme di numeri:
+6; - 8; - 4; - 10; - 4/2; - 9/2; + 5

Insiemi numerici

Naturalmente conosciamo tutti la necessità di usare i numeri col segno, i numeri relativi. + 4000 potrebbe essere l’altitudine di una montagna, - 4000 invece potrebbe essere la profondità di un mare.
L’insieme dei numeri interi relativi costituisce l’insieme Z, formato da due sottoinsiemi. Infatti sappiamo che i numeri relativi possono essere preceduti dal segno + (si parla in questo caso di numeri interi relativi positivi Z+ che corrispondono all’insieme N perché, ad esempio, +8 = 8) o dal segno – (ed in questo caso abbiamo i numeri interi relativi negativi Z-). Lo “zero” appartiene all’insieme Z+, ma non gli si attribuisce alcun segno.


Abbiamo poi l’insieme Q dei numeri razionali, anche questo formato da numeri razionali positivi Q+ (+4/5) e da numeri razionali negativi Q-.
Poiché, ad esempio, + 4 può essere considerato + 4/1 e – 4 può essere considerato – 4/1, i numeri interi Z costituiscono un sottoinsieme dei numeri razionali.


Troviamo successivamente l’insieme I dei numeri irrazionali, formato dai numeri irrazionali positivi I+ (+ Ö2) e dai numeri irrazionali negativi I- (- Ö2).


L’unione degli insiemi Z+, Q+, I+ ci dà l’insieme R+ dei numeri reali positivi.
Z+ È Q+ È I+ = R+
L’unione degli insiemi Z-, Q-, I- ci dà l’insieme R- dei numeri reali negativi.
Z- È Q- È I- = R-
R+  È R- = insieme dei numeri reali relativi R

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

1.      Come si indica l’insieme dei numeri interi relativi? Da che cosa è formato?
2.      Come si indica l’insieme dei numeri reali relativi?
3.      Utilizzando il diagramma di Eulero – Venn che rappresenta l’insieme R, inserisci in esso i seguenti numeri relativi:
-         9/2; +  Ö15; + 8; - 4,5; + Ö25; + 7/3; 0,57; - Ö20; - 19; - 16/4; - 4,26

4.      Completa la seguente tabella che contiene i dati delle vendite di alcune marche di auto nel periodo gennaio – maggio degli anni 2010 – 2011. Quali marche hanno avuto un incremento positivo di vendite?



Semirette e segmenti

Che cos’è una semiretta?
Per fartene un’idea immagina una strada che non ha inizio né fine, una strada infinita. Noi ci troviamo su un punto di questa strada e possiamo quindi decidere di percorrerla in un verso o nell’altro: in ognuno dei due casi partiamo dal punto stabilito e possiamo proseguire all’infinito.
Nella realtà concreta però non esiste la semiretta, è un’astrazione geometrica.
Prendiamo una retta r, stabiliamo su questa un punto O.


Il punto O divide la retta in due parti r1 e r2, ciascuna delle quali ha origine dal punto O e continua all’infinito. Queste due parti sono le semirette. Possiamo quindi dire che un punto su una retta individua due semirette, che possiamo così definire: “la semiretta è una parte della retta che ha un punto di origine ed è infinita”.

Consideriamo ora la stessa strada  immaginaria ed infinita di prima. Su questa strada noi però possiamo muoverci solo tra due punti, quindi il nostro percorso ha un inizio ed una fine.
Vediamo la situazione geometrica con una rappresentazione grafica:

Notiamo che, individuando 2 punti sulla retta, questa resta divisa in 3 parti, le semirette r1 e r2 che già conosciamo e la parte di retta compresa tra i punti A e B. Questa parte di retta si chiama segmento e si indica

Per ragioni di tastiera d’ora in avanti indicheremo i segmenti senza il trattino sopra, solo col nome dei punti che lo delimitano: segmento AB. Possiamo quindi definire il segmento: “è una parte di retta delimitata da 2 punti. Ha un inizio ed una fine.”

Due segmenti si dicono consecutivi quando hanno in comune solo un punto.

Due segmenti sono invece adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, appartengono alla stessa retta.


Il confronto di segmenti si opera mediante sovrapposizione, facendo coincidere almeno un estremo.
Dal confronto possono risultare queste situazioni:
·        I due segmenti hanno la stessa lunghezza: sono congruenti

Possiamo dire che AB @ CD (il segmento AB è congruente al segmento CD
Il simbolo º significa “coincide”
Se due segmenti non sono congruenti, uno sarà maggiore e l’altro minore

In questo caso AB > CD e quindi CD < AB

Proviamo ora a trovare il segmento somma, disegnando entrambi i segmenti in modo che siano adiacenti.

Il segmento somma è il segmento AD. Infatti AB + CD = AD

Troviamo infine il segmento differenza, sovrapponendo i due segmenti in modo che coincida un estremo.

Il segmento differenza sarà il segmento DB. Infatti AB – CD = DB

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

1.      Come sono tra loro questi segmenti?
2.      Per quale dei due esempi è vera la frase: AB e CD sono segmenti adiacenti

3.      Prova  a dare una definizione di semiretta
4.      Per due punti quanti segmenti possono passare?
5.      Osserva e confronta

AB …….. BC
AC …….. AB

Quanti segmenti vedi? Colorali di verde.
Quante semirette vedi? Colorale di rosso
6.     

Quale affermazione è vera?
AB > CD
AB @ CD
AB < CD


Gli enti geometrici fondamentali: punto, retta, piano

La geometria studia la forma, la grandezza e la posizione dei corpi materiali.
Gli enti geometrici fondamentali sono tre: il punto, la retta ed il piano. Essi costituiscono delle astrazioni.
Cominciamo dal punto geometrico: non ha alcuna grandezza, ma solo una posizione. Si indica con le lettere maiuscole dell’alfabeto.




Un insieme infinito e continuo di punti che hanno sempre la stessa direzione costituisce una retta. Come già il punto, anche la retta non esiste nella realtà materiale perché non ha né spessore né larghezza. L’unica dimensione della retta è la lunghezza. Si indica con le lettere minuscole dell’alfabeto.

Vediamo ora il piano, anche questo non esistente nella realtà concreta, perché è un insieme continuo ed infinito di rette, privo di spessore, con due sole dimensioni: lunghezza e larghezza. Per indicarlo si usano le lettere minuscole dell’alfabeto greco (α, β, δ, ....).

Cerchiamo di capire ora alcune proprietà degli enti fondamentali.
Per un punto A passano infinite rette.


Per due punti distinti A e B passa una sola retta.


Per tre punti distinti passa una sola retta, solo se i tre punti sono allineati.


Per una retta passano infiniti piani

Per tre punti non allineati passa un solo piano.


Vediamo quali possono essere le posizioni reciproche di due rette.



La retta t e la retta s appartengono al piano α (s, t   α). Infatti l’insieme dei punti della retta s e l’insieme dei punti della retta t sono inclusi nel piano α
{s} {t}  {α}.
L’intersezione tra la retta s e la retta t (ciò che hanno in comune) è costituita dal punto Q.
{s}  {t} = Q.
Le due rette sono quindi incidenti perché appartengono allo stesso piano ed hanno un punto in comune.


La retta c appartiene al piano γ mentre la retta d non appartiene al piano γ ( γ; d  γ). Infatti l’insieme dei punti della retta c è incluso nel piano γ  mentre l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano γ
{c}  {γ}; {d}  ⊄ {γ}.
L’intersezione tra la retta c e la retta d (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{c}  {d}.
Le due rette sono quindi sghembe perché non appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.


La retta a e la retta b appartengono al piano β (a, b   β). Infatti l’insieme dei punti della retta a e l’insieme dei punti della retta b sono inclusi nel piano β.
{a} {b}  {β}.
L’intersezione tra la retta a e la retta b (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto.
{a}  {b}.
Le due rette sono quindi parallele perché appartengono allo stesso piano e non hanno alcun punto in comune.
Il postulato delle parallele: considerata una retta ed un punto non appartenente alla retta, per quel punto passa una sola retta parallela a quella data.


Se consideriamo una retta ed un piano e le loro posizioni reciproche possiamo avere queste situazioni:


La retta a giace nel piano α. La retta a appartiene al piano α (a  α). Infatti l’insieme dei punti della retta a è incluso nel piano α.
{a}  {α}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è costituita dalla retta stessa  {a}  {α} = a.



La retta b è parallela al piano β. La retta b non appartiene al piano β (b  β). Infatti l’insieme dei punti della retta b non è incluso nel piano β.
{b} ⊄ {β}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è un insieme vuoto  {b}  {β}.



La retta d è incidente al piano δ. La retta d non appartiene al piano δ (d  δ). Infatti l’insieme dei punti della retta d non è incluso nel piano δ.
{d} ⊄ {δ}.
L’intersezione tra la retta ed il piano (ciò che hanno in comune) è il punto P  {d}  {δ} = P.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

  1. Quante e quali dimensioni ha la retta?
  2. Quante rette passano per un punto?
  3. Quante rette passano per due punti?
  4. Quante e quali dimensioni ha il piano?
  5. Disegna tre punti A, B e C in un piano δ, in modo che ci sia una sola retta che li unisca. Come devono essere i tre punti?
  6. Disegna tre rette a, b, c appartenenti allo stesso piano e che godano di queste proprietà
a  b  c
Come sono tra loro le rette?
  1. Guarda la figura e completa le uguaglianze
a  b = …..
d  c = …..
a  d = …..
b  c = …..


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca