Dal numero decimale alla frazione generatrice

Dobbiamo capire come, dato qualsiasi numero decimale, si debba operare per risalire alla frazione generatrice del numero stesso. Vediamo vari casi:

1) Cominciamo a considerare un numero decimale limitato, ad esempio 14,76. Esso è formato da 14 unità, 7 decimi e 6 centesimi; proviamo a trasformare in frazioni:

Altro esempio: trasformiamo 0,14

Il numero è formato da 0 unità, 1 decimo e 4 centesimi. Trasformiamo

In entrambi i casi ci accorgiamo di aver seguito una regola comune che ci può aiutare tutte le volte in cui dobbiamo trasformare un numero decimale limitato. E’ sufficiente scrivere una frazione che ha al numeratore il numero di partenza ottenuto togliendo la virgola e al denominatore 10, 100, 1000, ….. a seconda che che le cifre decimali siano 1, 2, 3, ……

2) Consideriamo ora un numero decimale periodico semplice.

La frazione generatrice di un numero decimale periodico semplice è una frazione che ha per denominatore la differenza tra il numero considerato senza virgola e la sua parte intera e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo. Vediamo alcuni esempi

3) Consideriamo ora un numero decimale periodico misto.

La frazione generatrice di un numero decimale periodico misto è una frazione che ha per denominatore la differenza tra il numero considerato senza virgola e la parte che precede il periodo(sempre senza virgola) e per denominatore tanti 9 quante sono le cifre del periodo e tanti 0 quante sono le cifre dell’antiperiodo. Vediamo alcuni esempi

ESERCIZI

Calcola le frazioni generatirici dei seguenti numeri decimali

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Numeri decimali periodici

Vediamo quali sono le situazioni che possiamo incontrare calcolando il valore di una frazione, cioè il quoziente tra il numeratore ed il denominatore.

Vediamo il caso in cui la frazione è apparente.

14/7 = 2                      40/5 = 8

Se la frazione è apparente si trasformerà in un numero intero.

Consideriamo ora le frazioni decimali.

32/100 = 0,32             53/10 = 5,3                 165/1000 = 0,165

Se la frazione è decimale si trasforma in un numero decimale limitato, perché ha un numero di cifre decimali limitato.

  

Consideriamo ora frazioni non decimali, cioè frazioni ordinarie con denominatore diverso da 10 o da una potenza di 10

3/8 = 0,375                                         7/20 = 0,35                             135/50 = 2,7

4/11 = 0,36363636…….                    8/15 = 0,533333333…..         6/13 = 0,461538461538…….

Possiamo osservare come il primo gruppo di frazioni ordinarie si trasformi in numeri decimali limitati mentre il secondo gruppo dà origine a numeri decimali illimitati perché la divisione tra numeratore e denominatore, anche se proseguita, non avrà mai resto zero, quindi il numero delle cifre decimali del quoziente è illimitato.

Come possiamo sapere se una frazione ordinaria darà origine ad un numero decimale limitato o illimitato? E’ semplice, basta scomporre in numeri primi il suo denominatore.

Facciamolo per il primo gruppo di frazioni:

8 =  2³                 20 = 2² x 5                  50 = 2 x 5²

Scomponiamo ora il denominatore del secondo gruppo di frazioni:

11 = 11           15 = 3 x 5                   13 = 13

Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un numero decimale limitato solo nei casi in cui la scomposizione in fattori primi del denominatore contenga esclusivamente il fattore 2, il fattore 5 o entrambi i fattori.

Bene, centriamo ora la nostra attenzione sui numeri decimali illimitati.

Consideriamo queste frazioni e calcoliamone il valore: 5/9, 10/3, 3/11, 2/27, 5/12, 11/45, 11/12

5/9 = 0,55555……

10/3 = 3,333333…..

3/11 = 0,27272727……

2/27 = 0,074074074……

5/12 = 0,41666666….

11/45 = 0,24444444….

11/12 = 0,91666666….

Vediamo che tutte queste frazioni si trasformano in numeri decimali illimitati. Consideriamo le prime quattro frazioni.

5/9 = 0,55555……

10/3 = 3,333333…..

3/11 = 0,27272727……

2/27 = 0,074074074……

Possiamo vedere come, subito dopo la virgola, una cifra o un gruppo di cifre si ripete all’infinito: la cifra o il gruppo di cifre che si ripete si chiama periodo ed i numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici semplici. Per indicare il periodo si mette una lineetta sopra la cifra o il gruppo di cifre che si ripete.

Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico semplice se nella scomposizione in fattori primi del denominatore non è presente né il fattore 2 né il fattore 5.

Consideriamo ora le altre tre frazioni.

5/12 = 0,41666666….

11/45 = 0,24444444….

11/12 = 0,91666666….

Vediamo come, in questi casi, il periodo non inizi subito dopo la virgola in quanto tra la virgola ed il periodo è presente una cifra o un gruppo di cifre. Questi numeri sono detti numeri decimali illimitati periodici misti.

La cifra o il gruppo di cifre tra la virgola ed il periodo si chiama antiperiodo e si scrive in questo modo

Una frazione irriducibile si trasforma in un numero decimale illimitato periodico misto se nella scomposizione in fattori primi del denominatore è presente il fattore 2 o  il fattore 5 o entrambi oltre ad altri fattori primi.

Possiamo quindi rappresentare così l’insieme Q⁺

Possiamo sintetizzare così ciò che si ottiene nelle varie possibilità di trasformazione di una frazione in numero:

La frazione è apparente	Numero naturale
La frazione è ordinaria
Il denominatore contiene solo i fattori 2, 5 o entrambi	Numero decimale limitato
Il denominatore non contiene i fattori 2 e 5	Numero decimale periodico semplice
Il denominatore contiene i fattori 2, 5 o entrambi insieme ad altri fattori	Numero decimale periodico misto

ESERCIZI

·        Quando un numero decimale si può definire limitato?

·        Quando una frazione ordinaria irriducibile può essere trasformata in un numero decimale limitato?

·        Quando un numero si dice decimale illimitato periodico semplice?

·        Quando un numero si dice decimale illimitato periodico misto?

·        Per ogni numero indica se è un numero decimale limitato, illimitato periodico semplice o illimitato periodico misto. 

·        Individua, tra le seguenti frazioni, quali possono essere trasformate in numeri decimali limitati ed esegui la trasformazione

4/21, 11/25, 51/50, 13/20, 18/100, 27/70, 19/30, 2/5

·        Individua, tra le seguenti frazioni, quali possono essere trasformate in numeri decimali illimitati periodici semplici ed esegui la trasformazione

22/15; 5/9; 6/11; 11/18; 32/3; 25/12; 25/9; 7/100

·        Individua, tra le seguenti frazioni, quali possono essere trasformate in numeri decimali illimitati periodici misti ed esegui la trasformazione

5/8; 5/12; 13/45; 6/5; 13/6; 7/3; 5/18; 11/12

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Problemi con le frazioni

Cominciamo con l’esame dei problemi diretti che riguardano il calcolo del valore della frazione di un numero. Vediamo questo esempio: i ciclisti hanno già percorso i 3/5 di una tappa lunga 215 km. Quanti km hanno già percorso?

In questo problema dobbiamo operare sul numero 215 con la frazione 3/5, perciò dobbiamo dividere 215 per il denominatore e moltiplicare il risultato per il numeratore.

(215 : 5) x 3

Si ottiene lo stesso risultato moltiplicando il numero dato per la frazione

Vediamo ora i problemi di tipo inverso nei quali, conosciuto il valore di una frazione di un numero, occorre calcolare quel numero.

Vediamo un esempio: in un teatro sono occupati dagli spettatori i 3/5 dei posti, cioè 252 posti. Quanti sono tutti i posti del teatro?

Rappresentiamo il numero da trovare con un segmento e su di esso individuiamo i 3/5 corrispondenti a 252 posti.

Dividendo 252 in 3 parti troviamo il valore di 1/5.

Moltiplicando il risultato per 5 troviamo il valore di 5/5, cioè il numero dei posti del teatro.

(252 : 3) x 5 = 420

Abbiamo diviso per il numeratore e moltiplicato il risultato per il denominatore.

Si ottiene lo stesso risultato dividendo il numero dato per la frazione

Consideriamo ora i problemi che ci chiedono di calcolare due numeri sapendo la loro somma e che uno è una frazione data dell’altro.

Vediamo un esempio: Luigi compie un viaggio percorrendo in totale 2600 km. Sapendo che i km che ha percorso in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, quanti chilometri ha percorso con ciascuno dei due mezzi di trasporto?

Se i chilometri percorsi in treno sono i 3/5 dei chilometri percorsi in auto, questi ultimi saranno i 5/5. Rappresentiamo graficamente.

Vediamo che la somma è rappresentata da 8 segmenti uguali, ciascuno dei quali è 1/8 di 2600, per cui:

(2600 : 8) x 3 = 975 km

(2600 : 8) x 5 = 1 625 km

Possiamo quindi dire che, in casi come questo, occorre dividere la somma per la somma tra numeratore e denominatore della frazione e poi moltiplicare il quoziente ottenuto una volta per il numeratore ed una volta per il denominatore.

Vediamo infine i problemi che ci chiedono di calcolare due numeri sapendo la loro differenza e che uno è una frazione data dell’altro.

Vediamo un esempio: In un parcheggio il numero dei posti per le auto è i 5/2 del numero dei posti per i camper. Se il numero dei posti per le auto supera di 30 unità il numero dei posti per i camper, quale sarà rispettivamente il numero dei posti per le auto e quello dei posti per i camper?

Se i posti per le auto sono i 5/2 dei posti per i camper, questi ultimi saranno i 2/2. Rappresentiamo graficamente.

Vediamo che la differenza è formata da 3  parti uguali, ciascuna delle quali è 1/3 di 30, per cui:

(30 : 3) x 2 = 20 posti per i camper

(30: 3) x 5 = 50 posti per le auto

Possiamo quindi dire che, in casi come questo, occorre dividere la differenza per la differenza tra i termini della frazione e poi moltiplicare il quoziente ottenuto una volta per il numeratore ed una volta per il denominatore.

ESERCIZI

·        L’età di Marco è i 3/7 di quella del padre che ha 42 anni. Quanti anni ha Marco?

·        In una classe di 25 alunni i 3/5 sono maschi, i 2/5 delle ragazze hanno gli occhiali. Quante sono le ragazze senza occhiali?

·        Il papà di Luca ha uno stipendio mensile di € 1 660. Se ogni mese spende i 2/5 per l’affitto ed i 2/3 di ciò che rimane per il vitto, quanto gli rimane per le altre spese?

·        Per l’acquisto di un appartamento la famiglia di Giorgio versa come acconto € 45 000, corrispondenti ai 3/14 del prezzo totale. Quanto costa l’appartamento?

·        In una teatro vi sono 255 posti in platea, che rappresentano i 5/7 di tutti i posti del teatro. Se sono occupati da spettatori i 4/7 di tutti i posti del teatro, quanti sono i posti rimasti liberi?

·        In un terreno sono stati piantati complessivamente 234 alberi, tra peschi ed albicocchi. Se gli albicocchi sono i 5/8 dei peschi, quanti sono rispettivamente gli alberi di pesco e di albicocco?

·        Tra Giorgio e Luca ci sono 15 anni di differenza. L’età di Giorgio è i 5/2 di quella di Luca. Quanti anni hanno rispettivamente Giorgio e Luca?

·        Il segmento AB misura 18 cm ed è pari ai 3/7 del segmento CD. Quale sarà la lunghezza di un altro segmento EF pari ai 5/6 della differenza fra le lunghezze dei segmenti AB e CD?

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Espressioni con le frazioni

Per calcolare un’espressione aritmetica con le frazioni, occorre ricordare ed utilizzare le stesse regole già apprese per le espressioni con i numeri naturali.

Ricordiamole:

-         semplificare le frazioni quando è possibile

-         calcolare prima le potenze

-         eseguire le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine con cui si presentano

-         eseguire addizioni e sottrazioni nell’ordine con cui si presentano

-         se ci sono parentesi si eseguono prima le operazioni nelle parentesi tonde (con le precedenze indicate sopra), poi quelle nelle quadre ed infine quelle nelle graffe.

Vediamo un esempio: 

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Moltiplicazioni, divisioni e potenze nell'insieme Q+

Moltiplicazione

Consideriamo, ad esempio, 12 mele

e calcoliamone i 5/6.

12 : 6 x 5 = 10 mele

Ora proviamo a considerare i 2/5 delle 10 mele ottenute.

10 : 5 x 2 = 4 mele

Osserviamo che le mele ottenute rappresentano i 5/6 x 2/5 di 12 mele e che il risultato sarebbe stato ugualmente di 4 mele se avessimo operato sulla quantità iniziale con la frazione 1/3.

Possiamo quindi dire che:

e ricavare la regola generale: il prodotto di due o più frazioni è un’altra frazione che avrà per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori.

Naturalmente, quando possibile, ci converrà semplificare prima le frazioni. Nella moltiplicazione e solo nella moltiplicazione è possibile semplificare il numeratore di una frazione con il denominatore di un’altra frazione.

Esempio:

Divisione

La regola generale  ci dice che per dividere due frazioni si moltiplica la prima per l’inverso della seconda.

 Esempi:

Potenza

Consideriamo l’elevamento a potenza di questa frazione:

Vediamo che per calcolare la potenza di una frazione occorre scrivere un’altra frazione che avrà per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore.

Possiamo naturalmente utilizzare le proprietà delle potenze anche nel calcolo con le frazioni.

ESERCIZI

·    Esegui le seguenti moltiplicazioni

·    Esegui le seguenti divisioni

·    Calcola le potenze

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Addizioni e sottrazioni nell'insieme Q+

Prima di eseguire qualunque operazione con le frazioni, è conveniente ridurle ai minimi termini ed occorre anche ridurre ai minimi termini il risultato trovato.

Per quanto riguarda le addizioni e le sottrazioni, vediamo i vari casi possibili.

• Le frazioni da sommare o sottrarre hanno lo stesso denominatore.

Consideriamo questo esempio.

Di una tavoletta di cioccolato il primo giorno ho mangiato 1/7, il secondo giorno ne ho mangiato 3/7 ed il terzo giorno 2/7. Quale frazione rappresenta la parte che ho mangiato?

Consideriamo una tavoletta di cioccolato, dividiamola in 7 parti uguali ed evidenziamo le parti mangiate nei vari giorni.

 E’ evidente che ho mangiato 6 parti su 7, cioè i 6/7. Infatti:

Possiamo ricavare la regola: la somma di due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che avrà ancora lo stesso denominatore mentre il numeratore sarà la somma dei numeratori.

Un altro esempio:

Vediamo ora quest’altro caso.

Di una tavoletta di cioccolato ho mangiato 5/7. Quale frazione rappresenta la parte rimasta?

Consideriamo una tavoletta di cioccolato, dividiamola in 7 parti uguali ed evidenziamo la parte mangiata.

E’ evidente che la parte rimasta è 2/7. Infatti:

Possiamo ricavare la regola: la differenza fra due o più frazioni aventi lo stesso denominatore è una frazione che avrà ancora lo stesso denominatore mentre il numeratore sarà la differenza dei numeratori.

Altro esempio:

• Le frazioni da sommare o sottrarre non hanno lo stesso denominatore.

Nel caso in cui le frazioni da sommare o da sottrarre non abbiano lo stesso denominatore, dopo la riduzione ai minimi termini, occorre ridurre tutte le frazioni al m.c.d.

Vediamo il tutto in un’espressione.

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