La simmetria assiale è una trasformazione geometrica
originata da un ribaltamento di asse a.
Questo asse è detto asse di simmetria.
Questa trasformazione mantiene invariata l’ampiezza degli angoli e la lunghezza
dei segmenti.
Possiamo vedere come ogni punto della prima figura abbia un
corrispondente punto nella seconda figura e come la distanza dei punti A, B, C,
…. dall’asse a sia uguale alla
rispettiva distanza dei punti A’, B’, C’ dall’asse a.
Le due figure ottenute sono inversamente congruenti.
Possiamo avere diverse situazioni realizzando figure
corrispondenti in una simmetria assiale:
·
l’asse di simmetria è esterno alla figura, come
abbiamo visto nell’esempio sopra.
·
L’asse di simmetria è interno alla figura
Vediamo quali e quanti sono gli assi di simmetria di alcuni
poligoni
Passiamo ora a considerare alcuni casi di composizione di
simmetria assiale, ricordando che comporre due trasformazioni geometriche
significa applicarle in successione, questa composizione si chiama prodotto e si indica con Ä
Vediamo il caso A
Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2
di asse f.
I due assi a e f sono tra loro paralleli.
Se osserviamo la figura originaria E e la figura finale E’’
ci accorgiamo che sono direttamente congruenti: è come se avessimo fatto una traslazione di vettore
Vediamo il caso B
Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2
di asse b.
I due assi a e b sono tra loro incidenti e si
intersecano nel punto O.
Se osserviamo la figura originaria A e la figura finale A’’
ci accorgiamo che non siamo in presenza né di una simmetria assiale né di una
traslazione, bensì di una rotazione
che ha il centro nel punto O ed un’ampiezza doppia dell’angolo formato dai due
assi.
Vediamo il caso C
Abbiamo una simmetria assiale S1 di asse a ed una simmetria assiale S2
di asse c.
I due assi a e c sono tra loro incidenti e
perpendicolari e si intersecano nel punto O.
Essendo i due assi incidenti, per quanto detto nell’esempio
precedente, il prodotto delle due simmetrie assiali sarà una rotazione di
centro O e di ampiezza 180°. Si tratta di una particolare rotazione, detta
simmetria centrale.
Infatti, osservando la figura B e la figura B’’ ci
accorgiamo che se consideriamo un punto H ed il corrispondente punto H’’ il
segmento che li unisce passa per il centro O che è il punto medio del segmento
HH’’.
E la stessa cosa vale per ogni punto delle due figure.
Abbiamo visto quindi che, date due simmetrie assiali S1
ed S2, il loro prodotto non è mai una simmetria assiale.
I casi possono essere questi:
·
Se i due assi di simmetria sono paralleli, il
loro prodotto è una traslazione.
Indichiamo così: S1 Ä S2
= T (caso A)
·
Se i due assi di simmetria sono incidenti, il
loro prodotto è una rotazione.
Indichiamo così: S1 Ä S2
= R (caso B)
·
Se i due assi di simmetria sono incidenti e
perpendicolari, il loro prodotto è una rotazione particolare, detta simmetria centrale. Indichiamo così: S1
Ä S2 = Sc
(caso C)
ESERCIZI
·
Che cos’è una simmetria assiale?
·
Come sono due figure ottenute per simmetria
assiale?
·
Indica se VERO o FALSO
Il prodotto di due simmetrie assiali non è mai
una simmetria assiale
Il prodotto di due simmetrie assiali è una
simmetria assiale
Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi
perpendicolari è una traslazione
Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi
paralleli è una rotazione
Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi
incidenti è una rotazione
Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari
è una simmetria centrale
· Disegna
le due figure G’ e G’’ ottenute applicando due simmetrie assiali con gli assi a e b
perpendicolari. Qual è il prodotto delle due simmetrie assiali?
