Applicazioni del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora si applica solo ai triangoli rettangoli, ma la sua conoscenza può essere utile in tutti quei casi in cui in una figura piana è possibile ricavare un triangolo rettangolo.

Vediamo qualche esempio.

Triangolo equilatero

Tracciando l’altezza di un triangolo equilatero otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno.

Abbiamo:

AB = ipotenusa (il lato del triangolo equilatero corrisponde all’ipotenusa)

BH = cateto (l’altezza del triangolo equilatero corrisponde ad un cateto)

AH = cateto (metà del lato del triangolo equilatero corrisponde all’altro cateto)

Proviamo a risolvere:

Un triangolo rettangolo ha il perimetro di 78 cm. Calcola la sua area.

(78 : 3) cm = 26 cm  misura dei lati AB, BC, AC

(26 : 2) cm = 13 cm misura di AH

(26 x 22,51) : 2 cm² = 292,63 cm² area del triangolo ABC

Triangolo isoscele

Tracciando l’altezza di un triangolo isoscele otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno.

Abbiamo:

AB = ipotenusa (il lato del triangolo isoscele corrisponde all’ipotenusa)

BH = cateto (l’altezza del triangolo isoscele corrisponde ad un cateto)

AH = cateto (metà della base del triangolo isoscele corrisponde all’altro cateto)

Proviamo a risolvere:

Un triangolo isoscele con l’area di 480 cm², ha l’altezza lunga 30 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

(480 x 2) : 30 cm = 32 cm misura della base AC

(32 : 2) cm = 16 cm misura di AH

(34 x 2) + 32 = 100 cm perimetro del triangolo ABC

Quadrato

Tracciando una diagonale del quadrato otteniamo due triangoli rettangoli isosceli , cioè con i cateti della stessa misura. Consideriamone uno.

Abbiamo:

BD = ipotenusa (la diagonale corrisponde all’ipotenusa)

AD = AB = cateti (i lati del quadrato corrispondono ai cateti)

Proviamo a risolvere:

Un quadrato ha la superficie che misura 1747,24 m². Calcola la misura della diagonale.

 

Rettangolo

Tracciando una diagonale del rettangolo otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo ABD.

Abbiamo:

AB = cateto (l’altezza del rettangolo corrisponde ad un cateto)

AD = cateto (la base del rettangolo corrisponde all’altro cateto)

BD = ipotenusa (la diagonale del rettangolo corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

Un rettangolo ha il perimetro di 252 cm e l’altezza è i 3/11 della base. Calcola l’area e la misura della diagonale.

(252 : 2) cm = 126 cm semiperimetro

3/11 + 11/11 = 14/11 = 126 cm

(126: 14) cm = 9 cm valore di 1/11

(9 x 3) cm = 27 cm misura dell’altezza AB

(9 x 11) cm = 99 cm misura della base AD

(99 x 27) cm² = 2 673 cm² area del rettangolo

Romboide

Tracciando le altezze del romboide otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo ABH.

Abbiamo:

BH = cateto (l’altezza del romboide corrisponde ad un cateto)

AH = cateto

AB = ipotenusa (il lato obliquo del romboide corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

Un romboide con la base di 54 cm ha l’area di 1296 cm2. L’altezza divide la base in due parti una doppia dell’altra. Calcola il perimetro del romboide.

(1296 : 54) cm = 24 cm misura di BH

(54 : 3) cm = 18 cm misura di AH

(54 x 2) + (30 x 2) cm = 168 cm perimetro

Rombo

Tracciando le due diagonali del rombo otteniamo quattro triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo ABE.

Abbiamo:

BE = cateto (metà della diagonale maggiore corrisponde ad un cateto)

AE = cateto (metà della diagonale minore corrisponde all’altro cateto)

AB = ipotenusa (il lato del rombo corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

In un rombo la somma della lunghezza delle due diagonali misura 392 cm, una diagonale è i ¾ dell’altra. Calcolare perimetro, area ed altezza del rombo.

¾ + 4/4 = 7/4 = 392 cm

(392 : 7) cm = 56 cm valore di ¼

(56 x 3) cm = 168 cm misura della diagonale minore AC

(56 x 4) cm = 224 cm misura della diagonale maggiore BD

(168 : 2) cm = 84 cm misura di AE

(224 : 2) cm = 112 cm misura di BE

(140 x 4) cm = 560 cm misura del perimetro

(224 x 168) : 2 cm² = 18816 cm² area del rombo

(18816 : 140) cm = 134,4 cm misura di CF, altezza del rombo

Trapezio rettangolo

Tracciando l’altezza di un trapezio rettangolo otteniamo un triangolo rettangolo. Consideriamo il triangolo rettangolo CHD.

Abbiamo:

CH = cateto (l’altezza del trapezio corrisponde ad un cateto)

HD = cateto (la differenza tra base maggiore e base minore corrisponde all’altro cateto)

CD = ipotenusa (il lato obliquo del trapezio corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

Di un trapezio rettangolo conosciamo la misura della base minore, 60 cm e la misura della diagonale minore, 68 cm . Sappiamo anche che il lato obliquo è i 2/3 della base minore. Calcoliamo il perimetro di un rettangolo equivalente al trapezio e con la base di 64 cm.

 (60 : 3) x 2 cm = 40 cm misura di CD

(60 + 24) cm = 84 cm misura di AD

(84 + 60) x 32 : 2 cm² = 2304 cm² misura dell’area del trapezio e del rettangolo

(2304 : 64) cm = 36 cm misura dell’altezza EF del rettangolo

(64 x 2) + (36 x 2) cm = 200 cm perimetro del rettangolo

Trapezio isoscele

Tracciando le altezze di un trapezio isoscele otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo rettangolo ABH.

Abbiamo:

BH = cateto (l’altezza del trapezio corrisponde ad un cateto)

AH = cateto (la metà della differenza tra base maggiore e base minore corrisponde all’altro cateto)

AB = ipotenusa (il lato obliquo del trapezio corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

In un trapezio isoscele la base maggiore, l’altezza ed una diagonale misurano rispettivamente 280 cm, 150 cm e 250 cm. Calcola il perimetro e l’area del trapezio.

Consideriamo il triangolo rettangolo ACK.

Troviamo la lunghezza del segmento KD = AH

(280 – 200) cm = 80 cm misura di KD e AH

Troviamo la lunghezza della base minore

280 – (80 x 2) cm = 120 cm misura di BC

Ora possiamo trovare la misura del lato obliquo

Possiamo calcolare il perimetro

280 + 120 + (170 x 2) cm = 740 cm perimetro

Possiamo calcolare l’area

(280 + 120) x 150 : 2 = 30 000 cm² area

ESERCIZI

·    Il quadrilatero ABCD è formato dal triangolo rettangolo ABD e dal triangolo isoscele BCD. Il cateto minore e l’ipotenusa del triangolo rettangolo misurano rispettivamente 15 cm e 25 cm, mentre il lato obliquo del triangolo isoscele misura 12,5 cm. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero.

·    Un quadrato con il lato lungo 300 cm ed un triangolo isoscele formano un pentagono come vedi in figura. Se l’area del pentagono è 102 000 cm2, qual è il perimetro del pentagono?

·    Un triangolo rettangolo  con i cateti lunghi 140 cm e 48 cm ha lo stesso perimetro di un rettangolo con la base di 56 cm. Calcola l’area e la diagonale del rettangolo (approssima ai decimi).

·    Un trapezio isoscele ha la base maggiore di 525 cm e la base minore di 147 cm, mentre il lato obliquo misura 315 cm.  Calcola la base di un romboide equivalente al trapezio e con l’altezza di 294 cm.

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I prodotti notevoli

Divisione

Consideriamo il caso della divisione di un polinomio per un monomio.

Vediamo un esempio:

(-6x³y + 9x²y² – 3xy²) : (-3xy)

Possiamo applicare la proprietà distributiva:

- 6x³y : (-3xy) + 9x²y² : (-3xy) - 3xy² : (-3xy) =

= + 2x² – 3xy + y

Possiamo quindi dire che, se vogliamo dividere un polinomio per un monomio, possiamo dividere ciascun termine del polinomio per il monomio e poi addizionare i quozienti ottenuti.

Vediamo ancora un esempio.

Potenza di polinomi

Se dobbiamo calcolare la potenza di questo polinomio, possiamo operare così

(-2xy + 3x – 2y)² =

= (-2xy + 3x – 2y) (-2xy + 3x – 2y) =

= + 4x²y² – 6x²y + 4xy² – 6x²y + 9x² - 6xy + 4xy² – 6xy +4y² =

= + 4x²y² - 12 x²y + 8xy² + 9x² – 12xy +4y²

Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)

Eseguiamo

(x + y) (x – y) = x² – xy + xy - y² = x² - y²

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)

Eseguiamo

(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² – 6ab + 6ab – 4b² = 9a²  – 4b²

In entrambi i casi vediamo  che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.

(ab + 2a)²

Eseguiamo

(ab + 2a) (ab + 2a) = a²b² + 2a²b + 2a²b + 4a² = a²b² + 4a²b + 4a²

Vediamo un altro esempio

In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso

(a + 2b)³

Eseguiamo

(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:

(a² + 4ab + 4b²) (a + 2b) =

= a³ + 2a²b + 4a²b + 8ab² + 4ab² + 8b³ =

= a³ + 6a²b + 12ab² +8b³

Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a³) più il cubo del secondo monomio (b³) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 ^. a^{2 .} 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 ^. a ^. 4b²)

Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.

Vediamo un esempio con la differenza

(a – b)³ = a³ + 3 ^. a^{2 .} (- b) + 3 ^. a ^. (-b)² + (-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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Operazioni con i polinomi: addizione e moltiplicazione

Addizione algebrica

Vediamo quali regole bisogna seguire per risolvere un’addizione algebrica fra polinomi.

1) togliere le parentesi tra un polinomio e l’altro ricordando che se la parentesi è preceduta dal segno +  si trascrivono i numeri in essa contenuti con lo stesso segno, se invece la parentesi è preceduta dal segno – si trascrivono i numeri cambiandoli di segno.

2) Si opera la riduzione dei termini simili del polinomio, cioè si esegue la somma fra i monomi eventualmente simili.

Consideriamo questo esempio:

Moltiplicazione

Possiamo avere il caso della moltiplicazione di un polinomio per un monomio (o viceversa) ed il caso della moltiplicazione di un polinomio per un altro polinomio. Vediamo il primo caso. 

Vediamo ora il secondo caso, quello della moltiplicazione fra polinomi.

(2a² – ab + 4b²) (2a + b)

E’ sufficiente moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

 

Vediamo ancora un esempio: 

 

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Prova nazionale classe terza

Dal sito dell'Invalsi ecco i link per scaricare i fascicoli della prova nazionale per la classe terza di italiano e matematica. E' presente anche il link per visualizzare e scaricare la griglia di correzione e di attribuzione del voto.

• Prova nazionale – Italiano Fascicolo 1
• Prova nazionale – Matematica Fascicolo 1

• Griglia di correzione Prova Nazionale 2013

Griglie di correzione prova Invalsi 2013

Ecco i links per scaricare le griglie di correzione complete delle prove Invalsi assegnate nell'a. s. 2012/13.

Griglia di correzione Prova di Italiano classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1.

Griglia di correzione Prova di Matematica classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1.

Prove Invalsi 2013

Finalmente l'Invalsi ha pubblicato i testi delle prove assegnate a maggio 2013. Ecco i link per un accesso diretto ai fascicoli.

Prova di Italiano classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1

Prova di Matematica classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1  

Griglia correzione domande aperte matematica - classe prima

Sul sito dell'Invalsi è disponibile la griglia per la correzione delle domande aperte di matematica per la classe prima. Ecco il link per accedervi:
Prima Secondaria Primo Grado Griglia Domande Aperte Matematica 

I polinomi

Abbiamo già visto, parlando dei monomi, che se i monomi non sono simili non si eseguono i calcoli ma si lascia indicata la somma algebrica.

Esempio: +3 ab³ – 5a²b + ab  

Questa espressione algebrica si dice polinomio ed è formata da vari monomi che si dicono termini del polinomio. Possiamo dunque definire il polinomio come la somma algebrica di monomi non simili tra loro.

Ricordate che abbiamo già visto che un monomio può essere intero o frazionario. E’ intero se non sono presenti lettere al denominatore, quindi come divisori. E’ frazionario se invece sono presenti lettere come divisori al denominatore.

Bene, anche il polinomio è considerato intero se tutti i monomi sono interi, mentre è un polinomio frazionario se anche solo uno dei suoi monomi è frazionario.

Un polinomio con due soli termini è detto binomio, con tre termini trinomio, con quattro termini quadrinomio; se il polinomio ha più di 4 termini si dice polinomio di 5, 6, n, termini.

Consideriamo ora questo polinomio:

Il primo monomio ha un grado complessivo di 4, il secondo monomio ha un grado complessivo di 5, mentre il terzo monomio ha un grado complessivo di 6.

Il grado complessivo maggiore tra essi si dice grado complessivo del polinomio, quindi possiamo dire che questo polinomio è di 6° grado.

Se invece consideriamo il grado del polinomio rispetto ad una lettera, dobbiamo individuare il massimo esponente con cui quella lettera è presente nei suoi termini. Nel polinomio sopra indicato il grado rispetto alla lettera a è 3, rispetto alla lettera b è 3, rispetto alla lettera c è 1.

Un polinomio è ordinato secondo le potenze crescenti (o decrescenti) di una lettera se gli esponenti di quella lettera sono in successione crescente (o decrescente). Un polinomio si può sempre ordinare secondo una lettera.

Consideriamo il seguente polinomio:

Si tratta di un polinomio non ordinato. Proviamo ad ordinarlo secondo le potenze crescenti della lettera a.

Proviamo ad ordinarlo secondo le potenze decrescenti della lettera a.

Osserviamo ora quest’altro polinomio ed ordiniamolo poi secondo le potenze crescenti della lettera c.

ESERCIZI

• Che cos’è un polinomio?
• Individua tra le seguenti espressioni algebriche quali sono monomi e quali polinomi

-6a²b – 4a

4a^{3 .} 6b²

• Di ogni polinomio indica il grado rispetto ad ogni sua lettera

• Indica il grado complessivo di ciascun polinomio

• Ordina i seguenti polinomi secondo le potenze crescenti della lettera a

• Stabilisci quali, tra i seguenti polinomi, sono completi rispetto alla lettera y

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