I prodotti notevoli

Divisione

Consideriamo il caso della divisione di un polinomio per un monomio.

Vediamo un esempio:

(-6x³y + 9x²y² – 3xy²) : (-3xy)

Possiamo applicare la proprietà distributiva:

- 6x³y : (-3xy) + 9x²y² : (-3xy) - 3xy² : (-3xy) =

= + 2x² – 3xy + y

Possiamo quindi dire che, se vogliamo dividere un polinomio per un monomio, possiamo dividere ciascun termine del polinomio per il monomio e poi addizionare i quozienti ottenuti.

Vediamo ancora un esempio.

Potenza di polinomi

Se dobbiamo calcolare la potenza di questo polinomio, possiamo operare così

(-2xy + 3x – 2y)² =

= (-2xy + 3x – 2y) (-2xy + 3x – 2y) =

= + 4x²y² – 6x²y + 4xy² – 6x²y + 9x² - 6xy + 4xy² – 6xy +4y² =

= + 4x²y² - 12 x²y + 8xy² + 9x² – 12xy +4y²

Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)

Eseguiamo

(x + y) (x – y) = x² – xy + xy - y² = x² - y²

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)

Eseguiamo

(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² – 6ab + 6ab – 4b² = 9a²  – 4b²

In entrambi i casi vediamo  che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.

(ab + 2a)²

Eseguiamo

(ab + 2a) (ab + 2a) = a²b² + 2a²b + 2a²b + 4a² = a²b² + 4a²b + 4a²

Vediamo un altro esempio

In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso

(a + 2b)³

Eseguiamo

(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:

(a² + 4ab + 4b²) (a + 2b) =

= a³ + 2a²b + 4a²b + 8ab² + 4ab² + 8b³ =

= a³ + 6a²b + 12ab² +8b³

Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a³) più il cubo del secondo monomio (b³) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 ^. a^{2 .} 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 ^. a ^. 4b²)

Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.

Vediamo un esempio con la differenza

(a – b)³ = a³ + 3 ^. a^{2 .} (- b) + 3 ^. a ^. (-b)² + (-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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Operazioni con i polinomi: addizione e moltiplicazione

Addizione algebrica

Vediamo quali regole bisogna seguire per risolvere un’addizione algebrica fra polinomi.

1) togliere le parentesi tra un polinomio e l’altro ricordando che se la parentesi è preceduta dal segno +  si trascrivono i numeri in essa contenuti con lo stesso segno, se invece la parentesi è preceduta dal segno – si trascrivono i numeri cambiandoli di segno.

2) Si opera la riduzione dei termini simili del polinomio, cioè si esegue la somma fra i monomi eventualmente simili.

Consideriamo questo esempio:

Moltiplicazione

Possiamo avere il caso della moltiplicazione di un polinomio per un monomio (o viceversa) ed il caso della moltiplicazione di un polinomio per un altro polinomio. Vediamo il primo caso. 

Vediamo ora il secondo caso, quello della moltiplicazione fra polinomi.

(2a² – ab + 4b²) (2a + b)

E’ sufficiente moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

 

Vediamo ancora un esempio: 

 

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Prova nazionale classe terza

Dal sito dell'Invalsi ecco i link per scaricare i fascicoli della prova nazionale per la classe terza di italiano e matematica. E' presente anche il link per visualizzare e scaricare la griglia di correzione e di attribuzione del voto.

• Prova nazionale – Italiano Fascicolo 1
• Prova nazionale – Matematica Fascicolo 1

• Griglia di correzione Prova Nazionale 2013

Griglie di correzione prova Invalsi 2013

Ecco i links per scaricare le griglie di correzione complete delle prove Invalsi assegnate nell'a. s. 2012/13.

Griglia di correzione Prova di Italiano classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1.

Griglia di correzione Prova di Matematica classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1.

Prove Invalsi 2013

Finalmente l'Invalsi ha pubblicato i testi delle prove assegnate a maggio 2013. Ecco i link per un accesso diretto ai fascicoli.

Prova di Italiano classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1

Prova di Matematica classe I secondaria di primo grado - Fascicolo 1  

Griglia correzione domande aperte matematica - classe prima

Sul sito dell'Invalsi è disponibile la griglia per la correzione delle domande aperte di matematica per la classe prima. Ecco il link per accedervi:
Prima Secondaria Primo Grado Griglia Domande Aperte Matematica 

I polinomi

Abbiamo già visto, parlando dei monomi, che se i monomi non sono simili non si eseguono i calcoli ma si lascia indicata la somma algebrica.

Esempio: +3 ab³ – 5a²b + ab  

Questa espressione algebrica si dice polinomio ed è formata da vari monomi che si dicono termini del polinomio. Possiamo dunque definire il polinomio come la somma algebrica di monomi non simili tra loro.

Ricordate che abbiamo già visto che un monomio può essere intero o frazionario. E’ intero se non sono presenti lettere al denominatore, quindi come divisori. E’ frazionario se invece sono presenti lettere come divisori al denominatore.

Bene, anche il polinomio è considerato intero se tutti i monomi sono interi, mentre è un polinomio frazionario se anche solo uno dei suoi monomi è frazionario.

Un polinomio con due soli termini è detto binomio, con tre termini trinomio, con quattro termini quadrinomio; se il polinomio ha più di 4 termini si dice polinomio di 5, 6, n, termini.

Consideriamo ora questo polinomio:

Il primo monomio ha un grado complessivo di 4, il secondo monomio ha un grado complessivo di 5, mentre il terzo monomio ha un grado complessivo di 6.

Il grado complessivo maggiore tra essi si dice grado complessivo del polinomio, quindi possiamo dire che questo polinomio è di 6° grado.

Se invece consideriamo il grado del polinomio rispetto ad una lettera, dobbiamo individuare il massimo esponente con cui quella lettera è presente nei suoi termini. Nel polinomio sopra indicato il grado rispetto alla lettera a è 3, rispetto alla lettera b è 3, rispetto alla lettera c è 1.

Un polinomio è ordinato secondo le potenze crescenti (o decrescenti) di una lettera se gli esponenti di quella lettera sono in successione crescente (o decrescente). Un polinomio si può sempre ordinare secondo una lettera.

Consideriamo il seguente polinomio:

Si tratta di un polinomio non ordinato. Proviamo ad ordinarlo secondo le potenze crescenti della lettera a.

Proviamo ad ordinarlo secondo le potenze decrescenti della lettera a.

Osserviamo ora quest’altro polinomio ed ordiniamolo poi secondo le potenze crescenti della lettera c.

ESERCIZI

• Che cos’è un polinomio?
• Individua tra le seguenti espressioni algebriche quali sono monomi e quali polinomi

-6a²b – 4a

4a^{3 .} 6b²

• Di ogni polinomio indica il grado rispetto ad ogni sua lettera

• Indica il grado complessivo di ciascun polinomio

• Ordina i seguenti polinomi secondo le potenze crescenti della lettera a

• Stabilisci quali, tra i seguenti polinomi, sono completi rispetto alla lettera y

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Prova Invalsi di matematica 2012 - classe prima

Ecco per tutti i fruitori del blog un test da svolgere on line contenente tutte le domande della prova Invalsi di matematica assegnata nel 2012 per la classe prima.
La prova può essere svolta individualmente o collettivamente se si ha la possibilità di usare un'aula di informatica. Può essere svolta anche con la Lim.
Ogni studente ha un tempo prestabilito per terminare il test pari a quello assegnato alla prova reale e cioè 75 minuti.
Sono presenti gli stessi items della prova nazionale, ad eccezione di alcune richieste di giustificazione delle risposte date, in quanto il software non è in grado di valutarle.
Al termine della prova ogni studente riceverà una valutazione e si potranno esaminare tutte le risposte fornite ed analizzare quindi eventuali errori.
Nel caso si notino imprecisioni od errori segnalatemelo sulla pagina facebook.https://www.facebook.com/pages/Matematica-scuola-secondaria-1grado/239805639396528

Per iniziare il quiz fai clic su questo link.

Prova Invalsi di matematica 2012 - classe terza

Metto a disposizione di tutti i fruitori del blog un test da svolgere on line contenente tutte le domande della prova Invalsi di matematica assegnata nel 2012 all'esame di Stato.
La prova può essere svolta individualmente o collettivamente se si ha la possibilità di usare un'aula di informatica. Può essere svolta anche con la Lim.
Ogni studente ha un tempo prestabilito per terminare il test pari a quello assegnato in sede d'esame e cioè 75 minuti.
Sono presenti gli stessi items della prova nazionale, ad eccezione di alcune richieste di giustificazione delle risposte date, in quanto il software non è in grado di valutarle.
Al termine della prova ogni studente riceverà una valutazione e si potranno esaminare tutte le risposte fornite ed analizzare quindi eventuali errori.
Nel caso si notino imprecisioni od errori segnalatemelo sulla pagina facebook. https://www.facebook.com/pages/Matematica-scuola-secondaria-1grado/239805639396528

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Operazioni con i monomi: moltiplicazioni, divisioni e potenze

La moltiplicazione fra due o più monomi può essere indicata in diversi modi:

(+3ab²) ^. (-4a²b)

(+3ab²)   (-4a²b)

+3ab²(-4a²b)

Vediamo ora di calcolare l’esempio sopra

(+3ab²) ^. (-4a²b) = - 12 a¹⁺² b²⁺¹ =  - 12 a³b³

La regola da ricordare è che il prodotto di due monomi è un monomio che ha come coefficiente il prodotto dei coefficienti e la parte letterale composta da tutte le lettere che compaiono nei monomi, considerate una sola volta e con esponente uguale alla somma degli esponenti che la lettera stessa ha nei monomi.

Vediamo un altro esempio 

Proviamo ora ad eseguire una divisione fra monomi. 

La regola da ricordare è che il quoziente tra due monomi è un monomio che ha come coefficiente il quoziente dei coefficienti e la parte letterale composta da tutte le lettere che compaiono nel dividendo, con esponente uguale alla differenza degli esponenti con cui la lettera stessa compare nel dividendo e nel divisore.

Ecco un altro esempio 

Consideriamo ora come calcolare la potenza di un monomio. 

Vediamo che praticamente per calcolare la potenza n di un monomio dobbiamo scrivere un monomio calcolando la potenza n del coefficiente e indicando la parte letterale formata da tutte le lettere aventi per esponente il prodotto del proprio esponente per n.

Un altro esempio. 

ESERCIZI

·     Esegui le seguenti moltiplicazioni tra monomi 

·     Esegui le seguenti divisioni tra monomi 

·        Calcola le potenze dei seguenti monomi 

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