Area del cerchio e delle sue parti

Nell’immagine si vedono alcuni cerchi in cui sono stati inscritti dei poligoni regolari con un numero crescente di lati (7, 9 12 rispettivamente): notiamo che aumentando il numero dei lati del poligono, il perimetro di questo tende sempre più a coincidere con la circonferenza mentre la lunghezza dell’apotema tende sempre più ad essere congruente a quella del raggio.

E’ chiaro quindi che immaginando un poligono con sempre più lati, anzi con infiniti lati, il suo perimetro andrà a coincidere con la circonferenza, l’apotema sarà congruente al raggio e quindi l’area del poligono sarà uguale all’area del cerchio.

L’area del poligono si calcola con la formula 

Dovendo risolvere problemi sul calcolo dell’area della superficie di un cerchio  potremo approssimare π a 3,14 oppure lasciare indicato il simbolo π.

Area del settore circolare

C’è una formula che permette di calcolare l’area di un settore circolare: indichiamo con l la lunghezza dell’arco che limita il settore circolare, con r il raggio della circonferenza. 

 

 

Si può procedere anche diversamente. Notiamo dall’immagine sopra che ad un angolo al centro di 360° corrisponde l’area di tutto il cerchio ed osserviamo anche che l’angolo al centro e l’area del rispettivo settore circolare sono grandezze direttamente proporzionali. Potremo dunque dire che:

A_s : A_c = α° : 360°

Area del segmento circolare

Sappiamo che una qualsiasi corda appartenente ad un cerchio permette di ottenere due segmenti circolari, uno minore della semicirconferenza (fig. 1) ed uno maggiore della semicirconferenza (fig 2).

Nel primo caso l’area del segmento circolare si otterrà sottraendo dall’area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza l’area del triangolo ABO (fig 1 bis); nel secondo caso l’area si otterrà invece sommando all’area del settore circolare corrispondente l’area del triangolo ABO (fig 2 bis).

Area della corona circolare

L’area della corona circolare si otterrà sottraendo dall’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore. Quindi: π R² - π r²

ESERCIZI

·      Due cerchi hanno l’area rispettivamente di 615,44 cm² e di 379,94 cm². Calcola l’area di un terzo cerchio con il raggio congruente alla differenza dei raggi dei due cerchi dati.

·      L’area di un settore circolare è di 314 cm² e il diametro del cerchio a cui appartiene misura 24 cm. Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Un settore circolare è limitato da un arco lungo 62 cm e appartiene ad un cerchio con l’area di 3364 π cm². Calcola l’area del settore.

·      In un cerchio un settore circolare ha l’area di 32 π cm² ed è limitato da un arco lungo 12,56 cm. Calcola l’area del cerchio.

·      Sapendo che un settore circolare ha l’area di 28,26 cm² e il raggio del cerchio a cui appartiene misura 6 cm, calcola:

a.      La lunghezza dell’arco che delimita il settore.

b.      L’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 90° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 24 cm.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 270° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 30 cm.

·      Una corona circolare è limitata da due circonferenze aventi i rispettivi raggi lunghi 25 e 15 cm. Calcola l’area della corona circolare.

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Risoluzione di problemi mediante le equazioni

Vediamo ora di affrontare la soluzione di problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita.

Consideriamo questo problema.

Calcola un numero tale che la somma della sua metà con il suo triplo è uguale alla differenza fra se stesso e 15. Calcola il numero.

Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.

Occorre poi individuare l’incognita. 

Vediamo un altro problema.

Marco, Luigi e Giorgio complessivamente hanno 27 anni. Giorgio ha 3 anni più di Marco e Luigi12 anni in meno di Giorgio. Qual è l’età dei tre ragazzi?

Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.

Occorre poi individuare l’incognita.

In questo problema l’incognita è l’età dei tre ragazzi quindi chiamiamo x l’età di uno di loro, per esempio Luigi. Allora l’età di Giorgio sarà x + 12, mentre l’età di Marco sarà x + 12 - 3.

Occorre poi tradurre il problema in equazione.

x + (x + 12) + (x + 12 – 3) = 27

Dobbiamo ora risolvere l’equazione.

x + (x + 12) + (x + 12 – 3) = 27

x + x + x = - 12 – 12 + 3 + 27

3 x = +6

x = 2 età di Luigi

2 + 12 = 14 età di Giorgio

14 – 3 = 11 età di Marco 

Analizziamo ora un terzo problema.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 20 cm e il cateto maggiore è i 4/3 del cateto minore. Calcola il perimetro del triangolo.

Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.

Occorre poi individuare l’incognita.

In questo problema possiamo considerare come incognita il cateto minore, che chiameremo quindi x.

  

Naturalmente non possiamo avere una misura negativa, quindi consideriamo x = 12, perciò il cateto minore è lungo 12 cm.

Allora il cateto maggiore sarà  4/3 x 12 = 16 cm

E il perimetro sarà (20 + 16 + 12) cm = 48 cm

ESERCIZI

· La differenza fra un numero e 5 è uguale alla somma del suo doppio ed i suoi ¾ diminuita di 19. Calcola il numero.
· Calcola due numeri la cui somma è 21, conoscendo che la differenza tra i due numeri è 3.
· Un padre ha 38 anni ed il figlio 17. Fra quanti anni l’età del padre sarà il doppio di quella del figlio?
· In una cantina da una botte piena di vino si travasano prima 1/3 del contenuto e successivamente 56 litri; dopo queste operazioni la botte resta piena per i 2/5 della sua capacità. Qual è la capacità del recipiente?
· Il perimetro di un rettangolo è 162 cm e la base è i 3/5 dell’altezza. Calcola la misura della base, dell’altezza e la sua area.
· Un triangolo ha un angolo ampio 54°. Gli altri due angoli sono uno i 9/5 dell’altro. Calcolane l’ampiezza.
· In un rombo la differenza fra la lunghezza delle due diagonali misura 10 cm ed una diagonale è i ¾ dell’altra. Calcola il perimetro e l’area del rombo.
· In un triangolo isoscele l’altezza è i 2/3 della base. Calcola la sua area sapendo che il perimetro misura 176 cm. 

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Lunghezza della circonferenza e di un arco

Cerchiamo di comprendere alcuni concetti relativi alla lunghezza della circonferenza.

Essendo la circonferenza una linea curva chiusa, per poterne misurare la lunghezza occorre rettificarla, cioè trasformarla in un segmento che potremo misurare senza difficoltà.

Proviamo a rettificare tre circonferenze di lunghezza diversa.

Possiamo constatare che la lunghezza del diametro è contenuta nella lunghezza della circonferenza sempre 3,…. volte.

Il problema è la determinazione esatta del valore che segue la virgola: molti matematici si sono dedicati a questo studio scoprendo che si tratta di un numero irrazionale con infinite cifre decimali, per cui è impossibile determinarne esattamente il valore, avremo sempre un valore approssimato.

Le prime 100 cifre decimali di questo numero sono:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067…

e spesso si usa la prima approssimazione di Archimede: 3,14

Abbiamo visto che il rapporto quindi fra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro è sempre costante: 

per cui possiamo ricavare in modo approssimato la lunghezza della circonferenza e del diametro

 C = d  ^. 3,14 e conseguentemente

Vediamo una situazione problematica.

La lunghezza di una circonferenza è di 163,28 m. Calcola la misura del suo diametro.

Possiamo utilizzare la soluzione numerica approssimata: d = 163,28 : 3,14 = 52 m

Esaminiamo queste altre due situazioni.

·      Una circonferenza ha il raggio lungo 30 cm; calcola la sua lunghezza.

Possiamo utilizzare la soluzione numerica applicando la formula C = π ^. 2r quindi

 C = (3,14 ^. 2 ^. 30) cm = 188,4 cm

Possiamo usare la soluzione con la costante π:

C = 2 . 30 . π = 60 π  cm

·      Calcola la misura del raggio di una circonferenza lunga 50 m.

             

 

Una volta conosciuta la circonferenza possiamo ricavare la lunghezza anche di qualsiasi arco della circonferenza. Guardiamo questo esempio:

L’angolo al centro di 30° forma l’arco AB, quello di 60° l’arco AC mentre l’angolo di 90° forma l’arco AD. Ci accorgiamo che le due grandezze (ampiezza dell’angolo al centro e lunghezza degli archi corrispondenti) sono direttamente proporzionali perché raddoppiando l’ampiezza di uno raddoppia la lunghezza dell’altro. Dobbiamo poi ricordare che l’angolo al centro di 360° corrisponde a tutta la circonferenza.

Ricordando i problemi del tre semplice e chiamando l la lunghezza dell’arco possiamo dire che:

Vediamo un esempio.

Calcola la lunghezza di un arco ampio 45° appartenente ad una circonferenza con il raggio di 32 cm. (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)

Soluzione numerica

Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 45° mentre ignoriamo sia C che l.

Conoscendo il raggio possiamo trovare la circonferenza: (2 ^. 3,14 ^. 32) cm = 200,96 cm

Riscriviamo la proporzione per trovare la lunghezza l dell’arco

360° : 45° = 200,96 : x

 Soluzione esatta

(2 ^. π^. 32) cm = 64π cm circonferenza

360° : 45° = 64π : x

 

Un altro esempio

Un arco è lungo 12,88 m ed insiste su un angolo al centro di ampiezza 40°. Quanto misura il raggio della sua circonferenza? (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)

Soluzione numerica

Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 40° e che l = 12,88 m mentre ignoriamo C.

Riscriviamo la proporzione per trovare C.

360° : 40° = x : 12,88

ESERCIZI

• La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 180π e una è il doppio dell’altra. Calcola la lunghezza dei raggi delle due circonferenze.

• La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 38,16 cm e una è i 4/5 dell’altra. Calcola la misura dei loro diametri. (Cerca il risultato esatto usando π)

• Due circonferenze sono tangenti esternamente e la distanza tra i loro centri è di  30 cm. Sapendo che la lunghezza di una circonferenza è 113,04, calcola la lunghezza dell’altra. (Cerca il risultato approssimato usando π = 3,14) 

•  Una circonferenza è inscritta in un quadrato avente l’area di 961 cm2. Calcola la lunghezza della circonferenza. 

• Un arco appartiene ad una circonferenza avente il raggio di 25 cm; l’angolo al centro corrispondente all’arco è ampio 72°. Calcola la misura della lunghezza dell’arco. (Cerca il risultato esatto usando π). 

•  Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che il suo arco è lungo 87,4 cm ed il corrispondente angolo al centro ha un’ampiezza pari ai 2/5 di un angolo retto. (Cerca il risultato esatto usando π).  

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Le disequazioni

Abbiamo visto come le equazioni siano la traduzione matematica di frasi aperte, come ad esempio:

“il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale a 3” che diventa 2x – 5 = 3.

Se abbiamo invece una frase aperta del tipo “il doppio di un numero diminuito di 5 è maggiore di 12”, la traduzione matematica diventa 2x – 5 > 12.

In questo caso non siamo di fronte ad una uguaglianza, ma ad una disuguaglianza che prende il nome di disequazione.

La soluzione della disequazione è data dall’insieme di valori che rendono vera la frase aperta: questo insieme di valori può essere chiamato insieme verità e può essere finito, infinito o vuoto.

Consideriamo le seguenti disequazioni:

x < 6

le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme verità finito: {0; 1; 2; 3; 4; 5}

x > 5

le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme verità infinito: {6; 7; 8; 9; 10; ……}

x < 0

nell’insieme N non ci sono soluzioni quindi l’insieme verità è vuoto: {Ø}

Anche per le disequazioni valgono le proprietà viste per le equazioni.

Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di una disequazione lo stesso numero ottenendo una disequazione equivalente a quella data.

La conseguenza di ciò è che anche per le disequazioni vale la legge del trasporto: in ogni disequazione un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.

Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo ottenendo una disequazione equivalente a quella data.

Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo ottenendo una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto ( il < diventa > e viceversa).

La conseguenza è che possiamo ottenere una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto cambiando il segno di tutti i suoi termini.

Vediamo alcuni esempio su come risolvere una disequazione. Il segno ≤ si legge minore o uguale mentre il segno ≥ si legge maggiore o uguale.

·      3(2x-3) ≤ 4x - 7

Dobbiamo prima di tutto eliminare le parentesi

6x-9 ≤ 4x – 7

Ora trasportiamo al primo membro tutti i termini in x

6x – 4x ≤ 9 – 7

Eseguiamo le addizioni algebriche

2x ≤ 2

Dividiamo entrambi i membri per 2

x ≤ 1

Troviamo il mcm dei denominatori, in questo caso 2. Eliminiamo i denominatori moltiplicando tutti i termini per il mcm 2.

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Angoli al centro e angoli alla circonferenza

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Premetto che gli archi e gli angoli dovrebbero essere indicati così:

Per comodità non userò questa notazione, incompatibile con la piattaforma di Blogger.

Consideriamo una circonferenza  di raggio r e di centro O. Su di essa stabiliamo un punto P e da esso facciamo partire due semirette qualsiasi che incontrino la circonferenza nei due punti A e B. Si determina così un arco AB ed un angolo convesso α.

L’ angolo convesso α si chiama angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB.

Consideriamo ora un cerchio  di raggio r e di centro O. Facciamo partire dal centro O due semirette qualsiasi che incontrano la circonferenza nei due punti A e B. Si determinano così due archi e due angoli, convesso α e concavo α’.

I due angoli α e α’ sono esplementari perché la loro somma è 360°.

Esaminiamo ora due casi particolari di angoli al centro:

Se l’angolo al centro è originato da due semirette perpendicolari, l’angolo al centro α sarà retto e insisterà sull’arco AB che è la quarta parte della circonferenza.

Se l’angolo al centro è determinato da due semirette adiacenti, quindi dal diametro, gli angoli al centro α e α’ saranno piatti ed insisteranno su archi corrispondenti alla semicirconferenza.

Vediamo ora alcune proprietà legate agli angoli al centro o alla circonferenza.

I due angoli al centro α e α’ insistono rispettivamente sui due archi AB e CD non coincidenti e congruenti tra loro (AB@CD): gli angoli al centro α e α’ sono anch’essi congruenti. Possiamo quindi dire che due angoli al centro sono congruenti se insistono su archi congruenti.

Dato un arco AB, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul suddetto arco sono tra loro congruenti (α@β@γ). Possiamo quindi affermare  che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti.

Dato l’angolo alla circonferenza α  che insiste sull’arco AB e l’angolo alla circonferenza β che insiste sull’arco CD, se gli archi AB e CD sono congruenti e non coincidenti gli angoli α e β sono congruenti (α@β). Possiamo dunque affermare che due angoli alla circonferenza che insistono su due archi congruenti sono anch’essi congruenti.

Consideriamo un arco AB, l’angolo al centro α che insiste sull’arco AB e l’angolo β, uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza corrispondenti all’arco AB. L’angolo α è il doppio dell’angolo β (α=2 β). Possiamo dunque dire che in una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un arco è sempre il doppio di qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

ESERCIZI

·      Completa la tabella, sapendo che α è l’angolo al centro e β il corrispondente angolo alla circonferenza.

α	β
47°32’
	65°
51°26’
	27°18’

·      Un angolo al centro insiste su una semicirconferenza. Quanto è ampio? Quanto è ampio il corrispondente angolo alla circonferenza?

·      Un angolo alla circonferenza misura 20°; quanto misura il corrispondente angolo al centro? Su quale parte di circonferenza insiste?

·      Un angolo alla circonferenza insiste su un arco uguale a 1/3 della circonferenza. Quanto è ampio?

·      Osserva la seguente figura: sapendo che l’arco CD è pari ai 2/5 della circonferenza, calcola l’ampiezza degli angoli del quadrilatero ACBD.

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