L’insieme dei numeri razionali

Sappiamo già che possiamo considerare la frazione come operatore, in quanto ci permette di operare su di una grandezza.

Ora consideriamo invece la frazione come quoziente tra due numeri, il numeratore ed il denominatore.

2/5 = 2 : 5

Consideriamo per un momento i numeri naturali e scopriremo che qualunque numero naturale si può scrivere sotto forma di frazione.

Cominciamo dallo “0”: si può scrivere come una frazione avente “0” al numeratore. Infatti:

0/4 = 0 : 4 = 0

0/6 = 0 : 6 = 0

Passiamo al numero 1: si può indicare con una frazione apparente con numeratore uguale al denominatore

3/3 = 3 : 3 = 1

5/5 = 5 : 5 = 1

Tutti gli altri numeri naturali si possono scrivere con una frazione con denominatore 1

10/1 = 10 : 1 = 10

7/1 = 7 : 1 = 7

oppure

con una frazione avente al numeratore un multiplo del denominatore. Ad esempio se io volessi scrivere il numero 15 sotto forma di frazione potrei scrivere così: 15/1, 30/2, 45/3, ecc

Considerando la frazione come quoziente tra due numeri, possiamo quindi stabilire un nuovo insieme che includerà tutte le frazioni. Chiameremo questo insieme come insieme Q⁺.

Da quanto detto sopra possiamo facilmente capire come l’insieme dei numeri naturali N sia un sottoinsieme dell’insieme Q⁺ ed indicheremo questa relazione così: N Ì Q⁺.

Sappiamo già che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.

E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.

Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:

A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

Consideriamo la classe di equivalenza sopra descritta: se calcoliamo il valore numerico di frazioni che appartengono ad una stessa classe di equivalenza ci accorgiamo che il risultato è sempre uguale.

3/5 = 3 : 5 = 0,6

6/10 = 6 : 10 = 0,6

9/15 = 9 : 15 = 0,6

12/20 = 12 : 20 = 0,6

Possiamo allora rappresentare tutta la classe con una sola frazione della classe, quella irriducibile.

L’insieme di tutte le classi di equivalenza è l’insieme Q⁺ che viene chiamato insieme dei numeri razionali, che, come abbiamo visto include anche l’insieme N dei numeri naturali. Possiamo sintetizzare con il diagramma di Eulero Venn

Proviamo ora a rappresentare i numeri naturali su una semiretta orientata

Immaginiamo di voler rappresentare il numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..}

Consideriamo la frazione che rappresenta la classe di equivalenza 1/3 ed operiamo dividendo l’unità di misura in 3 parti e considerandone 1. Il punto T è l’immagine del numero razionale {1/3; 2/6; 3/9; 4/12; …..} mentre il punto T’ è l’immagine del numero razionale {8/3; 16/6; 24/9; 32/12; …..}

Vediamo un altro esempio

ESERCIZI

·    L’insieme dei numeri razionali forma un nuovo insieme numerico, detto ……………………………

·    L’insieme N dei numeri naturali è un sottoinsieme di questo nuovo insieme?

·    In quale modo la frazione 4/5 può essere considerata come il quoziente tra due numeri?

·    Prova a scrivere sotto forma di frazioni i numeri:

­     2, 7, 15, 19

·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 2/5. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?

·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 5/4. Esso è minore, maggiore o uguale ad 1?

·    Individua il numero razionale rappresentato dalla frazione 3/1. Il numero che hai scritto è uguale a quale numero naturale?

·    Scrivi alcuni numeri razionali rappresentati dalle seguenti frazioni

5/8 = {……………………..………}

7/5 = {……………………..………}

2/3 = {……………………..………}

7/1 = {……………………..………}

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Riduzione al m.c.d.

Consideriamo queste tre frazioni: 27/15, 20/25 e 24/9 e proponiamoci di trasformarle in altre frazioni equivalenti, tutte e tre con lo stesso denominatore. Ovviamente questo denominatore comune dovrà essere un multiplo comune ai tre denominatori e sarà più semplice operare se sarà il minimo comune multiplo.

Questa operazione si chiama riduzione al minimo comune denominatore e richiede alcuni passaggi.

1)      Innanzitutto, se le frazioni sono riducibili, conviene ridurle ai minimi termini come abbiamo già spiegato in un precedente post.

2)      Una volta ridotte le frazioni ai minimi termini occorre calcolare il m.c.m dei denominatori che si indica con m.c.d.

Nel nostro caso dobbiamo calcolare il m.c.d. di 9/5, 4/7, 8/3

m.c.d (5, 7, 3) = 105

3)      Dobbiamo ora trasformare le frazioni ridotte ai minimi termini in altre frazioni equivalenti che abbiano come denominatore 105.

E’ evidente che dobbiamo trovare quante volte 105 è multiplo di 5, di 7 e di 3. Per farlo è sufficiente dividere 105 rispettivamente per 5, 7 e 3.

105 : 5 = 21

105 : 7 = 15

105 : 3 = 35

Infine è sufficiente applicare la proprietà invariantiva delle frazioni per individuare il numeratore.

L’operazione che abbiamo fatto si chiama riduzione al minimo comune denominatore e ci ha permesso di trasformare le frazioni di partenza in altre equivalenti alle frazioni date e con lo stesso denominatore.

Vediamo un altro esempio, riducendo al minimo comune denominatore queste tre frazioni: 12/15; 21/28; 5/2

Le prime due frazioni sono riducibili mentre la terza è una frazione irriducibile. Riduciamo ai minimi termini le prime due frazioni

Calcoliamo il m.c.d. dei denominatori

m.c.d (5, 4, 2) = 20

Trasformiamo le frazioni di partenza in altre equivalenti con denominatore 20. Dividiamo 20 per i denominatori

20: 5 = 4

20: 4 = 5

20 : 2 = 10

Applichiamo la proprietà invariantiva per trovare i nuovi numeratori

ESERCIZI

·     Riduci ogni gruppo di frazioni al m.c.d.

a.      4/3, ½;

b.      9/4, 5/6;

c.       8/12, 7/5;

d.      16/20, 9/21;

e.      13/15, 16/10, 6/24;

f.        20/65, 45/60, 55/80, 28/48;

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Frazioni equivalenti e riduzione ai minimi termini

Consideriamo le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  ed operiamo con queste frazioni sulla medesima grandezza, questa:

Otteniamo:

Notiamo che, avendo operato sulla stessa grandezza iniziale, abbiamo ottenuto lo stesso risultato: la parte colorata è equivalente nei tre casi.

Possiamo quindi dire che le frazioni 2/3, 4/6 e 6/9  sono equivalenti e ricavare la definizione di frazioni equivalenti. Due o più frazioni sono equivalenti quando, operando sulla stessa grandezza, risultano grandezze congruenti.

Come possiamo ottenere frazioni equivalenti ad una data?

Se osserviamo le frazioni sopra indicate vediamo che

Ci accorgiamo che le frazioni godono della proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo sia il numeratore che il denominatore per uno stesso numero, si ottiene una frazione equivalente a quella data.

Consideriamo ad esempio la frazione ¾. Alcune frazioni equivalenti sono 6/8, 9/12, 12/16, 15/20, ecc.

E’ evidente che le frazioni equivalenti ad una data sono infinite.

Tutte le frazioni equivalenti ad una frazione data appartengono ad una classe di equivalenza. Se consideriamo, ad esempio, la frazione 3/5 avremo la classe di equivalenza:

A = {3/5, 6/10, 9/15, 12/20, 15/25, 18/30, ………}

La proprietà invariantiva di cui godono le frazioni permette alcuni utilizzi molto importanti.

Ad esempio permette di semplificare una frazione. Cosa significa semplificare una frazione? Significa trasformarla in un’altra frazione equivalente con i termini più piccoli e su cui, quindi, è più semplice operare.

Non tutte le frazioni si possono semplificare, ci sono frazioni riducibili ed altre irriducibili.

Consideriamo ad esempio la frazione 16/36. Essa è riducibile perché 16 e 36 hanno divisori comuni. Possiamo dunque semplificarla in diversi modi.

Se invece consideriamo la frazione 5/9 vediamo che è irriducibile perché 5 e 9 non hanno divisori comuni, sono numeri primi tra loro.

Proviamo a semplificare le seguenti frazioni: 14/4; 24/27; 20/7; 25/20

Proviamo a semplificare la frazione 42/18 sino ad ottenere una frazione equivalente ed irriducibile.

Abbiamo operato una riduzione ai minimi termini della frazione 42/18 dividendo entrambi i termini prima per 2 e poi per 3. Avremmo ottenuto lo stesso risultato dividendo subito entrambi i termini per 6, cioè per il M.C.D. di 42 e 18.

Possiamo quindi affermare che ridurre una frazione ai minimi termini significa trasformarla in un’altra frazione equivalente ed irriducibile.

Il metodo più efficace per operare la riduzione ai minimi termini è quello di individuare il M.C.D. del numeratore e del denominatore e poi dividere entrambi i termini per il M.C.D.

Vediamo un esempio:

Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 48/126

48	2
24	2
12	2
6	2
3	3
1

126	2
63	3
21	3
7	7
1

48 = 2⁴ x 3                  126 = 2 x 3² x 7

M.C.D. = 2 x 3 = 6

Un altro esempio

Dobbiamo ridurre ai minimi termini la frazione 45/150

45	3
15	3
5	5
1

150	2
75	3
25	5
5	5
1

45 = 3² x 5                  150 = 2 x 3 x 5²

M.C.D. = 3 x 5 = 15

ESERCIZI

·     Che cosa afferma la proprietà invariantiva delle frazioni?

·     Quando possiamo dire che una frazione è irriducibile?

·     Nel seguente elenco di frazioni, individua con colori diversi le frazioni tra loro equivalenti

2/3; 6/7; 4/6; 3/2; 6/8; 6/9; 12/18; 18/21;

·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni riducibili

20/30; 5/3; 4/8; 7/23; 6/24; 16/3; 28/42; 40/28; 6/17; 2/22

·     Nel seguente elenco di frazioni, individua le frazioni irriducibili

12/18; 6/5; 3/14; 9/12; 7/14; 12/5; 12/13; 8/24

·     Completa le uguaglianze in modo che le frazioni risultino equivalenti tra loro

·     Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni:

34/126; 66/77; 15/50; 27/18; 32/48; 44/40; 125/500; 160/450; 4400/5200

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Le relazioni

Consideriamo due insiemi:

A = {x/x è una città europea}

B = {x/x è uno stato europeo}

Possiamo stabilire una corrispondenza tra i due insiemi utilizzando una proprietà che permetta di associare gli elementi di A con quelli di B.

In questo caso la proprietà è “ è una città che appartiene allo Stato”.

La proprietà della corrispondenza si chiama relazione e viene indicata con il simbolo R.

Possiamo quindi dire che la relazione R. tra due insiemi è la proprietà che mette in corrispondenza gli elementi dei due insiemi.

Se a Î A e b Î B ed a e b sono in corrispondenza secondo la relazione R  possiamo dire che a R  b.

Se noi consideriamo un solo insieme invece dei due dell’esempio precedente, le caratteristiche che abbiamo individuato sono ancora valide.

Consideriamo l’insieme:

A = {Genova, Torino, Milano, Bologna, Venezia, Udine, Trento}

e stabiliamo la relazione

R:  “…. ha lo stesso numero di lettere di …”

Rappresentiamo graficamente la relazione in una tabella  a doppia entrata

	Genova	Torino	Milano	Bologna	Venezia	Udine	Trento
Genova	X	X	X				X
Torino	X	X	X				X
Milano	X	X	X				X
Bologna				X	X
Venezia				X	X
Udine						X
Trento	X	X	X				X

Abbiamo quindi stabilito queste corrispondenze:

Genova R. Genova

Genova R. Torino

Genova R. Milano

Genova R. Trento

Torino R. Genova

Torino R. Torino

Torino R. Milano

Torino R. Trento

Milano R. Genova

Milano R. Torino

Milano R. Milano

Milano R. Trento

Bologna R. Bologna

Bologna R. Venezia

Venezia R. Bologna

Venezia R. Venezia

Udine R. Udine

Trento R. Genova

Trento R. Torino

Trento R. Milano

Trento R. Trento

Possiamo usare anche i diagrammi di Eulero-Venn per la rappresentazione sagittale

Possiamo quindi dire che la relazione R. in un insieme A è la proprietà che mette in corrispondenza gli elementi di A con gli elementi di A.

La relazione  R.   in un insieme può godere di alcune proprietà, tra cui:

·        La proprietà riflessiva

Se consideriamo l’insieme A = {leone, tigre, lupo, orso, toro} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di ….” vediamo che ogni elemento è in relazione con se stesso perché leone inizia con la stessa lettera di leone, tigre inizia con la stessa lettera di tigre, ecc.

Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà riflessiva quando ogni elemento di A è in relazione con se stesso

a R.  a     " a Î A

·        La proprietà simmetrica

Se consideriamo sempre l’insieme A = {leone, tigre, lupo, orso, toro} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di ….” vediamo che se

leone R.  lupo è vero anche che lupo R.  leone perché se “leone” inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di “lupo” anche “lupo” inizia con la stessa lettera dell’alfabeto di “leone”

Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà simmetrica quando, se un elemento a R.  b è vero anche b R a

Se a R.  b Þ b R a      " a, b Î A

·        La proprietà transitiva

Se consideriamo un insieme A = {Paolo, Luigi, Marco, Ugo, Mario} e nell’insieme A consideriamo R. : “…. ha lo stesso numero di scarpe di ….” vediamo che se Paolo R.  Marco e Marco R.  Ugo possiamo dire anche che Paolo R.  Ugo perché se Paolo ha lo stesso numero di scarpe di Marco e Marco ha lo stesso numero di scarpe di Ugo, anche Paolo avrà lo stesso numero di scarpe di Ugo.

Quindi in un insieme A una relazione R. gode della proprietà transitiva quando, considerando tre elementi qualsiasi a, b, c Î A se a R.  b e b R.  c è vero anche a R c

Se a R.  b e  b R c  Þ a R c   " a, b, c Î A

ESERCIZI

·        Quale proprietà indica questa scrittura: se a R.  b Þ b R a   " a, b Î A?

·        Quale proprietà indica questa scrittura: a R.  a           " a Î A?

·        Quale proprietà indica questa scrittura: se a R.  b e  b R c  Þ a R c " a, b, c Î A?

·        Dati due insiemi:

A = {d; e; f; g}

B = {erba, fiore, dado, gatto, edera, geranio}

sono vere le seguenti scritture:

Individua la relazione R.   

·        Dati due insiemi:

A = {Lisbona, Madrid, Siviglia, Parigi, Lione, Roma, Milano}

B = {Portogallo, Spagna, Francia, Italia}

sono vere le seguenti scritture:

Individua la relazione R.   

·        Consideriamo l’insieme A

A = {mare, luce, macina, remo, lumaca, lunedì, resa}

Nell’insieme A stabiliamo la relazione

R.      = “….inizia con la stessa sillaba di ……”

Rappresenta questa relazione con una tabella a doppia entrata

·        Quali, tra queste relazioni, godono della proprietà riflessiva?

·        “ …. è più basso di …….”

·        “ …. è la nonna di …….”

·        “ …. ha la stessa età di …….”

·        “ …. abita nella stessa regione di …….”

·        “ …. è il padre di …….”

·        Quali, tra queste relazioni, godono della proprietà simmetrica?

·        “ …. è più vecchio di …….”

·        “ …. è il figlio di …….”

·        “ …. è nato nello stesso anno di …….”

·        “ …. abita nella stessa città di …….”

·        “ …. è più alto di …….”

·        Quali, tra queste relazioni, godono della proprietà transitiva?

·        “ …. è più giovane di …….”

·        “ …. è la figlia di …….”

·        “ …. è nato nello stesso mese di …….”

·        “ …. abita nella stessa città di …….”

·        “ …. è la metà di …….”

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