Stampare la prova Invalsi di matematica a. s. 2013/14

Propongo due documenti in pdf ed in word che ricalcano la prova Invalsi assegnata alle classi terze nell'a.s. 2013/2014. Qual è il vantaggio di scaricarlo e stamparlo?
- Contiene 26 esercizi, uguali alla prova Invalsi dello scorso anno: gli alunni potranno così esercitarsi testando se riescono ad eseguire il lavoro nel tempo assegnato.
- Ho concentrato gli esercizi e curato l'impaginazione per cui occorre solamente stampare 10 pagine per ogni alunno, invece delle 24 contenute nella prova Invalsi.
Non resta allora che stampare, fotocopiare ed analizzare i risultati ottenuti.
Fai clic sul link per stampare la simulazione in pdf (che puoi vedere in anteprima qui sotto) o, per chi preferisce, in word.
 

Criteri di similitudine e teoremi di Euclide

Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati corrispondenti sono in rapporto costante.

Consideriamo le due figure:

 Notiamo che:

AB  : A’B’  = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’

Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili.

Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.

Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni non sono simili.

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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.

I CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:

e quindi i due triangoli sono simili.

II CRITERIO

   

Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in figura:

BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25)

I due triangoli sono simili.

 III CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel caso in figura:

AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre abbiamo che α è congruente ad α’           

I due triangoli sono simili.

I criteri di similitudine dei triangoli vengono applicati in due teoremi di Euclide, riferiti solo ai triangoli rettangoli.

I teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A e tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Consideriamo un secondo triangolo A’B’H’ congruente col triangolo ABH.

 

Confrontiamo ora il triangolo ABC (giallo) con il triangolo A’B’H’ (bianco). 

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che gli angoli A e H’ sono congruenti. A è congruente ad H’.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo anche che l’angolo B coincide con l’angolo B’. B è congruente a B'.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo C coincide con l’angolo A’. C è congruente a A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : B’A’ = AB : B’H’ ma poiché sappiamo che   

 

possiamo modificare la proporzione

BC : AB = AB : BH

Notiamo quindi che il cateto AB è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

La stessa cosa accade confrontando il triangolo AHC ed il triangolo ABC.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo A ed H’ sono congruenti e vediamo anche che l’angolo C coincide con l’angolo C’.

L'angolo A è congruente all'angolo H'.

L'angolo C è congruente all'angolo C'

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo B coincide con l’angolo A’.

L'angolo B è congruente all'angolo A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : A’C’ = AC : H’C’ ma poiché sappiamo che 

possiamo modificare la proporzione

BC : AC = AC : HC

Notiamo quindi che il cateto AC è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Il I teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

II teorema di Euclide

Abbiamo constatato che

A’B’H’ è simile ad ABC

A’H’C’ è simile ad ABC

Possiamo dunque dire, per la proprietà transitiva, che A’B’H’ è simile ad A’H’C’ e quindi i lati omologhi saranno in proporzione.

B’H’ : A’H’ = A’H’ : H’C’

per cui

BH : AH = AH : HC

Il II teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

ESERCIZI

·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 7 cm e la proiezione del cateto minore su di essa 2,52 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 24 cm, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 14,4 cm. Calcola l’area del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 54 cm e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga 43,2 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 75 cm mentre le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono uno i 9/16 dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo.

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