I triangoli e le altezze

Il triangolo è un poligono con 3 lati e 3 angoli.

Se ricordiamo le proprietà dei poligoni viste nel post precedente, ricorderemo che se 3 è il numero dei lati, la somma degli angoli interni sarà di (3 – 2) angoli piatti, quindi la somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo è pari ad un angolo piatto, cioè è 180°.

Sappiamo inoltre che la misura di ciascun lato dovrà essere minore della somma degli altri due lati.

Classifichiamo i triangoli rispetto alla lunghezza dei lati in:

triangolo equilatero: 3 lati congruenti

triangolo isoscele: 2 lati congruenti

triangolo scaleno: 3 lati disuguali

Chiaramente un triangolo equilatero è anche isoscele.

Classifichiamo i triangoli rispetto all'ampiezza degli angoli in:

triangolo acutangolo: tre angoli acuti

triangolo rettangolo: un angolo è retto

triangolo ottusangolo: un angolo è ottuso

Considerando che l’altezza relativa ad un lato è il segmento perpendicolare al lato stesso e che ha origine dal vertice opposto, poiché il triangolo ha 3 lati, avrà anche tre altezze.

In ogni triangolo le tre altezze si incontrano in un unico punto, detto ortocentro.

Nel caso dei triangoli acutangoli, l’ortocentro sarà sempre interno al triangolo.

Nel caso del triangolo rettangolo, l’altezza relativa al lato BC coincide con il lato AB (detto anche cateto),  l’altezza relativa al lato AB coincide con il lato BC (altro cateto), l’altezza relativa al lato AC (detto ipotenusa) incontra le altre due altezze nel punto B. Possiamo quindi dire che nei triangoli rettangoli l’ortocentro coincide con il vertice dell’angolo retto.

Nel caso del triangolo ottusangolo, solo l’altezza relativa al lato AB è interna al triangolo, l’altezza relativa al lato CB incontra il prolungamento del lato nel punto D, l’altezza relativa al lato AC incontra il prolungamento del lato nel punto F. Il punto di incontro dei prolungamenti delle tre altezze è esterno al triangolo, perciò possiamo affermare che nei triangoli ottusangoli, l’ortocentro sarà sempre esterno al triangolo.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·        Che cos’è un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli esterni di un triangolo?

·        Quanto misura la somma degli angoli interni di un triangolo?

·        Scegli tra queste terne che esprimono le lunghezze dei lati quelle con cui è possibile costruire un triangolo

a) 10, 14, 17                     b) 24, 29, 8                             c) 6, 9, 20

d) 19, 41, 22                     e) 20, 34, 26                            f) 13, 10, 26

g) 15, 17, 31                     h) 20, 28, 51                            i) 15, 3, 18

·        Scegli tra queste terne che esprimono l’ampiezza in gradi degli angoli quelle che possono rappresentare l’ampiezza degli angoli interni di un triangolo

a) 96, 51, 27                     b) 79, 73, 35                           c) 58, 76, 46

d) 111, 31, 38                   e) 99, 30, 31                           f) 59, 66, 70

·        Un triangolo con due angoli ampi 37° e 35°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 38° e 52°, che tipo di triangolo è?

·        Un triangolo con due angoli ampi 80°, 70°, che tipo di triangolo è?

·        Quali sono i nomi dei lati di un triangolo rettangolo? Disegna un triangolo rettangolo ed indicali

·        Quante sono le altezze di un triangolo?

·        Come si chiama il punto d’incontro delle altezze?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre esterno?

·        In quale triangolo l’ortocentro è sempre interno?

·        Rappresenta l’ortocentro in ognuno di questi triangoli

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I poligoni

Poligono è detta quella parte di piano delimitata da una linea spezzata chiusa non intrecciata.

I segmenti che formano la linea spezzata si dicono lati del poligono, gli estremi dei segmenti vertici, gli angoli formati da due segmenti consecutivi sono gli angoli interni del poligono.

Il segmento che collega due vertici non consecutivi si chiama diagonale del poligono.

La linea spezzata è il contorno del poligono e la misura del contorno è il perimetro.

Un poligono con tutti i lati congruenti si dice equilatero.

Un poligono con tutti gli angoli di uguale ampiezza si dice equiangolo.

Un poligono equilatero ed equiangolo si dice regolare.

In base al numero dei lati i poligoni prendono nomi diversi:

3 lati	triangolo
4 lati	quadrilatero
5 lati	pentagono
6 lati	esagono
7 lati	ettagono
8 lati	ottagono
9 lati	ennagono
10 lati	decagono

Se un poligono non contiene nessun prolungamento dei suoi lati è detto convesso; se contiene il prolungamento di uno o più lati si dice concavo.

Vediamo ora alcune proprietà dei poligoni.

Se un poligono ha n lati (n sta per un qualunque numero), avrà anche n vertici, n angoli interni, n angoli esterni. Per ogni vertice ci saranno (n – 3) diagonali, quindi un triangolo non avrà diagonali (3 – 3 = 0), un quadrato ne avrà (4 – 3 = 1) per ogni vertice, un esagono avrà (6 – 3) diagonali per ogni vertice.

Immaginiamo ora di percorrere il contorno del seguente poligono partendo dal vertice A.

Tutti gli angoli che incontriamo percorrendo in senso orario il poligono una sola volta, formati da un lato e dal prolungamento del lato consecutivo si dicono angoli esterni del poligono.

La somma degli angoli esterni di un qualunque poligono, indipendentemente dal numero dei lati,  corrisponde sempre ad un angolo giro, quindi misura 360°.

a + b + d + e + g = 360°

L’angolo esterno e quello interno con il vertice in comune sono adiacenti e quindi supplementari.

d + l = 180 °

La somma degli angoli interni di un poligono di n lati corrisponde sempre a (n – 2) angoli piatti.

Quindi la somma degli angoli interni di un poligono di 5 lati sarà = (5 – 2) x 180° = 3 x 180° = 540°

Un’ultima annotazione: in un poligono ogni lato è sempre minore della somma dei restanti lati.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZIO

1. Che cos’è un poligono?
2. Disegna un poligono convesso
3. Disegna un poligono concavo
4. In un qualunque poligono quanto misura la somma degli angoli esterni?
5. Quando un poligono si dice regolare?
6. In un poligono di 8 lati, quante sono le diagonali per ogni vertice?
7. Per ogni gruppo indicante la lunghezza di segmenti, scrivi se è possibile costruire un poligono
1. 10, 11, 14, 6
2. 14, 29, 8, 4, 3
3. 16, 15, 6, 10
4. 17, 36, 12
8. Considera i dati di questo poligono e poi rispondi:

AB = 8,1 cm

BC = 2,8 cm

DA = 7,9 cm

CD = BC

a = 36°

b = 52°

d = 44°

Quanti sono i lati del poligono? Qual è il nome del poligono?

Si tratta di un poligono convesso o concavo?

Calcola il suo perimetro

Calcola l’ampiezza dell’angolo w

9. Consideriamo un quadrilatero, di cui conosciamo i seguenti dati:

1. L’angolo maggiore misura 108°
2. L’angolo minore misura 24° 13’ 04’’
3. Gli altri due angoli sono congruenti

Calcola l’ampiezza degli angoli congruenti.

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Operazioni con le misure angolari

Per la misura degli angoli consideriamo il sistema sessagesimale, in cui l’unità di misura è l’angolo grado o semplicemente grado di ampiezza pari alla trecentosessantesima parte dell’angolo giro.
Ogni grado a sua volta si suddivide in 60 primi ed ogni primo in 60 secondi.
Se quindi voglio esprimere la misura dell’angolo a, la cui ampiezza è 47 gradi, 13 primi e 25 secondi, potrò scrivere così:
a = 47° 13’ 25”
Consideriamo che ogni volta che abbiamo 60” dovremo cambiarli in un primo; 60’ dovremo cambiarli in 1°. Se le misure sono inferiori o uguali a 59 quindi non si dovrà fare nessun cambio, se superiori a 59 occorrerà procedere al cambio. Questa operazione si chiama riduzione in forma normale, che ora vedremo applicata nelle operazioni.
Vediamo come eseguire addizioni con misure angolari.
Es. 35° 39’ 37” + 7° 40’ 32”
Disponiamo le varie unità in colonna

Vediamo un altro esempio:
10° 24” + 59’ + 20° 57”

Passiamo ora alle sottrazioni con misure angolari.
Es.: 50° 40’ 28” – 26° 45’ 22”

Vediamo un altro esempio:
7° 14’ 26” – 4° 30’ 37”

Per eseguire moltiplicazioni di misure angolari con numeri interi, vediamo come procedere.
32° 17’ 15” x 7

Vediamo un altro esempio:
13° 28’ 30” x 4

Per eseguire divisioni di misure angolari per numeri interi, vediamo come procedere.
44° 35’ 24” : 6

Vediamo un altro esempio:
95° 12’ 40” : 8

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

• 26° 13’ 27” + 6° 15’ 25”
• 16’ 51” + 29° 15’ + 32’ 40”
• 62° 66’ 84” – 12° 77’ 45”
• 70° 14” – 40° 29’ 25”
• 80° 20’ 42” x 3
• 16° 28’ 36” x 5
• 47° 42’ 20” : 5
• 14° 186’ 84” : 3

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Il peso specifico

Il peso di un corpo dipende essenzialmente da due fattori: il volume occupato e le sostanze da cui è composto quel corpo.

Ad esempio, considerando l’acqua distillata, se si considera un l d’acqua distillata a 4° si vedrà che occupa 1 dm³ e pesa 1 kg.

Quindi nel caso dell’acqua distillata abbiamo questa relazione

Se consideriamo altre unità di misura dei volumi, cambieranno anche la capacità ed il peso.

Ad esempio se invece di 1 dm³  di acqua distillata ne abbiamo 1 m³ (lo spazio occupato quindi è aumentato di 1000 volte), avremo che 1 m³  di acqua distillata avrà una capacità 1000 volte superiore (quindi 1000 litri) ed un peso 1000 volte superiore (quindi 1000 kg, cioè un Megagrammo).

Se invece di 1 dm³  di acqua ne abbiamo 1 cm³ (lo spazio occupato quindi è diminuito di 1000 volte), avremo che 1 cm³  di acqua avrà una capacità 1000 volte inferiore (quindi 1/1000 di litro, cioè un ml) ed un peso 1000 volte inferiore (quindi 1/1000 di kg, cioè un grammo).

Possiamo sintetizzare così le relazioni valide per l’acqua distillata a 4°

Se noi consideriamo un’altra sostanza, ad esempio l’alcool, vediamo che, a parità di capacità o volume, il peso cambia.

Vediamo che, mantenendo sempre il volume di 1 dm³ a cui corrisponde la capacità di 1litro, il peso non è più 1 kg, ma 0,8 kg. Possiamo quindi ricavare gli altri rapporti:

Questo accade perché ogni sostanza ha un proprio peso specifico. Che cos’è il peso specifico? Un po’ semplicisticamente possiamo dire che è il peso di una unità di volume di una certa sostanza.

Ora ti chiederai: “a che cosa serve conoscere il peso specifico di una sostanza?”

Possiamo calcolare il peso di un oggetto senza pesarlo: basta conoscerne il volume

PESO = P.S. x VOLUME

Possiamo calcolare il volume di un oggetto senza misurarlo: basta conoscerne il peso

VOLUME = PESO: P.S.

Attenzione! Il p.s. viene espresso in kg/dm³ ma se il volume è in cm³ il peso sarà in g, se in m³ il peso sarà in Mg.

Detto questo,  un consiglio per le equivalenze è quello di ricordare le relazioni, come puoi vedere dalle tabelle sopra,  e cioè:

Se tu devi fare l’equivalenza:

0,700 dm³ = …………. g

se ricordi che i dm³ corrispondono ai kg è come se l’equivalenza fosse

0,700 kg = ………….. g  ed il risultato è 700

oppure

se ricordi che i g corrispondono ai cm³ è come se l’equivalenza fosse

0,700 dm³ = ………….. cm³  ed il risultato è sempre 700.

Altri esempi:

26 dm³ = …………. g                        diventa 26 Kg = 26 000 g

750 dm³ = …………. Mg                   diventa 750 kg = 0,75 Mg

138 cm³ = …………. Kg                   diventa 138 g = 0,138 kg

3 m³ = …………. Mg                         diventa 3 Mg = 3 Mg

9 cm³ = …………. l                            diventa 9 ml = 0,009 l

58  dm³ = …………. dl                      diventa 58 l = 580 dl

Per quanto riguarda i problemi, ricorda che intervengono 3 grandezze:

P = peso del corpo      V = volume del corpo              ps = peso specifico del corpo  

Dalla lettura del problema devi capire quali conosci e quali devi trovare.

·        1° CASO

Se devi trovare quanto pesa la quantità di una certa sostanza, ricorda che

PESO = P.S.(cioè peso in g, kg, Mg) x VOLUME (in cm³, dm³, m³)

Es: Calcola il peso di un oggetto massiccio d’argento avente il volume di 14 cm³ e il peso specifico di 10,5

P = (10,5 x 14) g = 147 g (scrivi g perché il volume era espresso in cm³)

·        2° CASO

Se devi trovare il volume di una certa sostanza, ricorda che

VOLUME = PESO ( in g, kg, Mg) : P.S. (cioè il peso di un cm³, dm³, m³)

Es: Calcolare il volume di un blocco di marmo avente il peso di 21,6 Kg ed il cui peso specifico è 2,7

V = (21,6 : 2,7) dm³  = 8 dm³ ( scrivi dm³ perché il peso era espresso in kg)

·        3° CASO

Se devi trovare il peso specifico di una certa sostanza, ricorda che

P.s = PESO ( in g, kg, Mg) : VOLUME (in cm³, dm³, m³)

Es: Calcolare il peso specifico di un blocco massiccio di ghisa del peso di 150 kg, sapendo che il suo volume è 20 dm³

(150 : 20) dm³ = 7,5 kg/ dm³

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1. Il peso specifico del gesso è 1,4 perché ……………………………………………………
2. Per trovare il peso di un corpo devo ………………… il suo p.s. per …………………….
3. Per trovare il p.s. di un corpo devo ………………… il suo peso per …………………….
4. Per trovare il volume di un corpo devo ………………… il suo peso per …………………
5. Completa, sapendo che le misure si riferiscono ad acqua distillata a 4°
• 76 cm³ corrispondono a ………………. ml e pesano ………….. g
• 10 m³ corrispondono a ………………. l e pesano ………….. Mg
• 312 dm³ corrispondono a ………………. l e pesano ………….. hg
• 0,273 m³ corrispondono a ………………. hl e pesano ………….. Kg
6. Qual è il peso in kg di un oggetto d’avorio (p.s 1,86) che ha il volume di 24 cm³?
7. Una sfera d’acciaio con il volume di 5,9 dm³ pesa 45,725 kg. Qual è il p.s. dell’acciaio?
8. Un contenitore pieno di benzina (p.s. 0,75) pesa 10,725Kg, vuoto pesa 2 kg. Qual è la capacità del contenitore?

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