La superficie di una sfera non è sviluppabile
in piano e ciò ha creato non pochi problemi ai geografi per rappresentare in
piano la superficie della Terra ed ai matematici per determinare la misura
della superficie sferica.
Il grande Archimede riuscì nella dimostrazione
dell’equivalenza della superficie sferica e quella di un cilindro equilatero
circoscritto ad essa.
Poiché la superficie laterale del cilindro si
calcola con questa formula Sl = C . h cioè 2πrh e noi sappiamo che in un
cilindro equilatero h = 2r la formula diventa 2πr . 2r=
4 πr2.
Siccome
πr2 è l’area del cerchio massimo della sfera possiamo affermare che la
superficie della sfera si ottiene moltiplicando l’area del suo cerchio massimo
per 4.
S = 4 πr2
Dalla formula diretta possiamo ricavare la
formula inversa:
Volume
Per
calcolare il volume occorre sapere che una sfera è equivalente ad un cono con raggio
di base congruente al diametro della sfera ed altezza congruente al raggio
della sfera: di conseguenza il volume della sfera si può calcolare usando la
formula del cono V = (Ab . h)/ 3
L’area di base del nostro cono si ottiene
quindi moltiplicando il diametro della sfera per se stesso e per π
Ab= 2r . 2r .
π = 4r2 π
Poiché
l’altezza del cono è congruente al raggio della sfera avremo che
V = (4r2π . r)/ 3=
Possiamo
dunque affermare che il volume di una sfera si calcolerà moltiplicando il
cubo del suo raggio per
4/3 π.
Dalla
formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:
ESERCIZI
- Calcola il volume di una sfera sapendo che l’area della superficie sferica è 900 π cm2.
- Una sfera ha il diametro di 30 cm. Calcola l’area della superficie sferica ed il volume della sfera.
- Due sfere hanno i raggi lunghi rispettivamente 12 cm e 16 cm. Calcola la misura del raggio di una terza sfera avente l’area della superficie sferica equivalente alla somma delle aree delle superfici delle due sfere date.