Ricordate che possiamo ottenere alcuni solidi a
superficie curva attraverso la rotazione di una figura piana attorno ad un suo
lato?
Ad esempio possiamo ottenere il cilindro dalla
rotazione di 360° di un rettangolo attorno ad un suo lato.
Possiamo
quindi definire il cilindro come il solido
che si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato.
Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è l’asse di rotazione e l’altezza
del cilindro, il lato parallelo è la generatrice mentre gli altri due
lati del rettangolo sono i raggi dei due cerchi di base del
cilindro.
Se
l’altezza del cilindro è congruente al diametro della base e quindi alla
lunghezza di due raggi, il cilindro si dice equilatero.
Superficie laterale
Consideriamo lo sviluppo di un cilindro.
Notiamo che la
superficie laterale equivale alla superficie di un rettangolo avente come base
la circonferenza del cilindro rettificata e per altezza la stessa altezza del
cilindro.
Possiamo dunque affermare che la superficie
laterale di un cilindro si calcola moltiplicando la lunghezza della
circonferenza di base per la misura dell’altezza.
Sl = C . h
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
C = Sl /h h = Sl /C
Superficie totale
E’ evidente che l’area della superficie totale si
otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.
St = Sl + 2Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
Sl = St - 2Ab Ab = (St – Sl)/2
Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un
cilindro è equivalente ad un prisma con base equivalente ed altezza congruente:
di conseguenza il volume del cilindro si può calcolare usando la stessa formula
del prisma.
Possiamo dunque stabilire che il volume di
un cilindro di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura
dell’altezza.
V = (Ab . h)
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
Ab = V /h h = V / Ab
ESERCIZI
·
L’altezza ed il diametro di base di un
cilindro misurano rispettivamente 15 cm e 12 cm. Calcola l’area della
superficie laterale, totale ed il volume del solido.
·
Un cilindro ha il raggio di 6 cm e
l’altezza i 5/2 del raggio. Calcola l’area della superficie laterale ed il
volume del cilindro.
·
Un cilindro ha il volume di 972 π cm3
mentre l’altezza è lunga 12 cm. Calcola l’area della superficie totale.
·
Un cilindro si ottiene dalla rotazione
completa di un rettangolo attorno al suo lato maggiore. Sapendo che una dimensione
è i 5/3 dell’altra e che il perimetro del rettangolo è di 64 cm, calcola l’area
della superficie totale ed il volume del cilindro.
·
Un pozzo cilindrico ha l’area della
superficie laterale interna di 170,816 m2 e una profondità di 8 m.
L’acqua in esso contenuta raggiunge un livello di 5 m dal fondo. Calcola quanti
litri d’acqua contiene il pozzo. (approssima π a 3,14)
·
Un solido è composto da un cubo
sormontato da un cilindro la cui base è inscritta nella faccia superiore del
cubo. Il volume del solido è 763,2 cm3 mentre lo spigolo del cubo
misura 8 cm. Calcola la misura dell’altezza del cilindro e l’area della
superficie del solido. (approssima π a 3,14)
