Possiamo ottenere il cono dalla
rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla
rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.
Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse
di rotazione e l’altezza
del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.
Se l’apotema del cono è congruente al diametro
della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.
Superficie laterale
La
superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare
il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla
circonferenza di base del cono.
Ora,
noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html) che l’area di un settore circolare si può calcolare moltiplicando la lunghezza
del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.
Possiamo dunque affermare che la superficie
laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza
di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.
Sl = (C . a)/2 oppure Sl = πra
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
C = Sl .2 /a a = Sl .2 /C oppure
a = Sl / πr r = Sl
/ πa
Superficie totale
L’area della superficie totale di un cono si otterrà
sommando l’area di base all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
Sl =
St - Ab Ab =
St – Sl
Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è
equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente:
di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro
e dividendo per 3.
Possiamo dunque stabilire che il volume
di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza
e dividendo per 3.
V = (Ab . h)/
3 oppure V = πr2h/3
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
Ab = V . 3 /h h
= V . 3 / Ab oppure V . 3 / πr2
ESERCIZI
- Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm2. Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)
- In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm2. Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.
- Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m2. Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.