Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al
piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.
Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio
rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.
Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse
di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è
la generatrice e viene detto apotema del
tronco di cono, le due basi del
trapezio sono i raggi della base maggiore e della base minore del tronco di
cono.
Superficie laterale
La superficie
laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla
superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del
tronco e come altezza l’apotema del tronco.
Possiamo dunque affermare che la superficie
laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base
e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il
prodotto per due.
Sl = (C + C’) . a)/2
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
C + C’ = Sl .2 /a a = Sl .2 /C + C’
Superficie totale
L’area della superficie totale di un tronco di cono si
otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.
St = Sl + Ab
+ Ab’
Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule
inverse:
Sl =
St – (Ab + Ab’) (Ab + Ab’ ) = St – Sl
Volume
Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco
di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze
congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la
formula del tronco di piramide.
Siccome Ab= πr21 e Ab’=
πr22
ESERCIZI
·
Un tronco di cono ha i raggi lunghi
rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della
superficie laterale.
·
Un tronco di cono ha i due raggi lunghi
rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è
1348 π cm2, calcola la misura dell’apotema.