Problemi del tre semplice

Avendo visto la proporzionalità diretta o inversa, possiamo ora vederne l’applicazione in una particolare tipologia di problemi sulle grandezze proporzionali, quei problemi in cui si conoscono tre valori e bisogna calcolare il quarto. Se le grandezze sono direttamente proporzionali abbiamo i problemi del tre semplice diretto, se le grandezze sono inversamente proporzionali abbiamo i problemi del tre semplice inverso.

Vediamo un esempio per ogni tipologia.

Luigi deve andare per un periodo di lavoro in Gran Bretagna. Con 1500 euro ha acquistato 1195,5 sterline britanniche. Con 2500 euro quante sterline britanniche avrebbe acquistato?

La prima cosa da capire è se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali: per facilitare la comprensione di ciò inseriamo i dati su due colonne.

Euro da cambiare	Sterline acquistate
1500	1195,5
2500	x

Ora chiediamoci: “se raddoppiano gli euro da cambiare, raddoppiano anche le sterline acquistate?”. La risposta è positiva quindi le due grandezze sono direttamente proporzionali. In tal caso il loro rapporto deve essere costante per cui possiamo dire che:

1500 : 1195,5 = 2500 : x

Applicando la proprietà del permutare abbiamo che

1500: 2500 = 1195,5 : x da cui

Risposta: con 2500 euro avrebbe acquistato 1992,5 sterline britanniche

Potremmo giungere alla medesima conclusione in quest’altro modo.

Riprendiamo la tabella: siccome abbiamo capito che le due grandezze sono direttamente proporzionali 

tracciamo due frecce con lo stesso verso.

Scriviamo la proporzione seguendo il verso delle frecce

1500: 2500 = 1195,5 : x

Consideriamo ora un altro esempio.

Andando con un’auto alla velocità di 80 km/h, si impiegano 4,5 ore per compiere un certo percorso.

Per compiere lo stesso percorso in 3 ore, a quale velocità si dovrà andare?

La prima cosa da capire è se le grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali: per facilitare la comprensione di ciò inseriamo i dati su due colonne.

Velocità (km/h)	Ore impiegate
80	4,5
x	3

Ora chiediamoci: “se raddoppia la velocità, raddoppiano o dimezzano le ore impiegate?”. Naturalmente si dimezzano per cui le due grandezze sono inversamente proporzionali. In tal caso tracciamo nella tabella due frecce di verso opposto.

Scriviamo la proporzione seguendo il verso delle frecce:

80 : x = 3 : 4,5 da cui

 

Risposta: per compiere lo stesso percorso in 3 ore, si dovrà andare ad una velocità media di 120 km/h.

ESERCIZI

·      Per comprare 50 quaderni occorrono 57,60 euro. Quale sarà il prezzo di 135 quaderni?

·      Una squadra di 4 muratori impiega 18 giorni per costruire un muro. Se la squadra fosse composta da 6 muratori, quanti giorni sarebbero necessari per la costruzione del muro?

·      Un automobilista consuma 25 litri di benzina per compiere i 2/5 di un viaggio. Sapendo che la benzina costa € 1,794 al litro, quanto verrà a costare l’intero viaggio?

·      Un autocarro ha una portata di 30 quintali e, per trasportare una partita di merce, deve effettuare 15 viaggi. Per trasportare la stessa partita un autocarro con una portata di 25 quintali, quanti viaggi dovrà effettuare?

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Proporzionalità diretta ed inversa

Consideriamo due grandezze, ad esempio il lato di un quadrato ed il perimetro dello stesso quadrato.

Chiamiamo x la grandezza variabile “lato di un quadrato” e chiamiamo y la grandezza variabile “perimetro del quadrato”.

Vediamo cosa può succedere:

lato del quadrato (x)	Perimetro del quadrato (y)
5 cm	20 cm
10 cm	40 cm
15 cm	60 cm

Ci accorgiamo che le due grandezze x ed y sono dipendenti perché dalla variazione della prima (x) consegue la variazione della seconda (y).

Vediamo anche che ad ogni valore della x corrisponde uno ed un solo valore della y: diciamo dunque che le grandezze x (variabile indipendente) e y (variabile dipendente) stabiliscono una funzione y = f(x).

Torniamo alla tabella sopra: osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y: il loro rapporto resta dunque costante.

Infatti:

Possiamo affermare che la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente y sono direttamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y.

Vediamo un altro esempio di grandezze direttamente proporzionali

Quantità di merce (x)	Costo della merce (y)
1 kg di farina	€ 0,80
2 kg di farina	€ 1,60
3 kg di farina	€ 2,40

Consideriamo ora le seguenti grandezze variabili x e y tali che y = f (x)

Velocità di una macchina (x)	Tempo impiegato (y)
50 km/h	90 minuti
100 km/h	45 minuti
150 km/h	30 minuti

Osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.

Osserviamo anche che il prodotto x ^. y resta costante.

Infatti:

50 ^. 90 = 100 ^. 45 = 150 ^. 30 = ….. = 4 500

Possiamo affermare che in questo caso la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente y sono inversamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.

Vediamo un altro esempio di grandezze inversamente proporzionali

Numero addetti (x)	Tempo impiegato in ore (y)
1	6
2	3
3	2

Vediamo ora la rappresentazione della proporzionalità diretta ed inversa.

Consideriamo il primo esempio fatto di proporzionalità diretta.

lato del quadrato (x)	Perimetro del quadrato (y)
5 cm	20 cm
10 cm	40 cm
15 cm	60 cm

La funzione della proporzionalità diretta  y = f(x) è data dalla formula y = 4x

Il numero 4 è il rapporto costante k ed è quindi il coefficiente di proporzionalità diretta.

Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano:

Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da una semiretta uscente dall’origine degli assi cartesiani.

Consideriamo ancora un esempio.

Compiliamo la tabella della funzione data

(x)	(y)
0	0
4	3
8	6

Tracciamo il diagramma corrispondente

Consideriamo ora il primo esempio fatto di proporzionalità inversa.

Velocità di una macchina (x)	Tempo impiegato (y)
50 km/h	90 minuti
100 km/h	45 minuti
150 km/h	30 minuti

La funzione della proporzionalità inversa  y = f(x) è data dalla formula xy = 4500

Il numero 4500 è il prodotto costante h ed è quindi il coefficiente di proporzionalità inversa.

Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano.

Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da una parte di curva detta iperbole equilatera.

Consideriamo ancora un esempio.

Compiliamo la tabella della funzione data

(x)	(y)
1	8
2	4
4	2
8	1

Tracciamo il diagramma corrispondente

ESERCIZI

·      Quando due grandezze si dicono direttamente proporzionali?

·      Quando due grandezze si dicono inversamente proporzionali?

·      Qual è la funzione che esprime la legge di proporzionalità diretta?

·      Qual è il diagramma della funzione di proporzionalità diretta?

·      Qual è il diagramma della funzione di proporzionalità inversa?

·      Osserva le seguenti funzioni, per ognuna completa la tabella e stabilisci se si tratta di funzioni di proporzionalità diretta o inversa.

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Altri casi di proporzioni

Riprendiamo il discorso sulla risoluzione delle proporzioni vedendo, come anticipato nel precedente post,  come sia possibile, applicando le proprietà delle proporzioni, ricondurre i diversi casi ai tre che già conosciamo, cioè fare in modo che l’incognita sia un estremo o un medio.

Consideriamo questo caso:

(56 – x) : x = 35 : 5

Se noi riusciamo ad eliminare la x nella parentesi, la proporzione sarebbe facilmente risolvibile.

Possiamo farlo applicando la proprietà del comporre (nel nostro caso la somma del 1° e 2° termine sta al 2° termine come la somma del 3° e del 4° termine sta al 4° termine).

(56 – x + x) : x = (35 + 5) : 5 da cui

56 : x = 40 : 5 per cui

Vediamo un’altra situazione:

48 : 12 = (42 + x) : x

Anche in questo caso se noi riusciamo ad eliminare la x nella parentesi, la proporzione sarebbe facilmente risolvibile.

Possiamo farlo applicando la proprietà dello scomporre (nel nostro caso la differenza del 1° e 2° termine sta al 2° termine come la differenza del 3° e del 4° termine sta al 4° termine).

(48 – 12) : 12 = (42 + x – x) : x da cui

36 : 12 = 42 : x per cui

Se in una proporzione i termini mancanti sono due (ad esempio x e y) possiamo risolvere la proporzione solo se conosciamo la somma o la differenza dei due termini incogniti.

Consideriamo la proporzione:

x : y = 4 : 7 sapendo che x + y = 33

Conoscendo la somma dei due termini possiamo applicare la proprietà del comporre

(x + y) : x = (4 + 7) : 4 da cui deriva

33 : x = 11 : 4 per cui

Per trovare il valore di y basta togliere dalla somma 33 il valore di x

y = 33 – 12 = 21

La proporzione è diventata 12 : 21 = 4 : 7

Consideriamo ora invece quest’altra proporzione:

x : y = 49 : 7 sapendo che x - y = 54

Conoscendo la differenza dei due termini possiamo applicare la proprietà dello scomporre

(x - y) : x = (49 - 7) : 49 da cui deriva

54 : x = 42 : 49 per cui

Per trovare il valore di y basta pensare che y = x – 54 e che quindi y = 63 – 54 = 9

La proporzione è diventata 63 : 9 = 49 : 7

ESERCIZI

Applica le proprietà delle proporzioni e risolvi

·      (12 + x) : 29 = x : 5

·      x : 18 = (15 – x) : 27

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Risolvere le proporzioni

Risolvere una proporzione significa calcolare il valore del termine o dei termini incogniti, utilizzando i termini noti.

Vediamo le diverse situazioni che possono presentarsi.

• L’incognita è un estremo, conosciamo gli altri tre termini.

8 : 5 = 24 : x

In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:

8 ^. x = 24 ^. 5 e quindi

8 ^. x = 120 per cui

x = 120/8 = 15

Notiamo che abbiamo calcolato il prodotto dei medi e poi l’abbiamo diviso per l’estremo noto.

Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.

• L’incognita è un medio, conosciamo gli altri tre termini.

25 : 15 = x : 5

In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:

15 ^. x = 25 ^. 5 e quindi

15 ^. x = 125 per cui

 

Notiamo che abbiamo calcolato il prodotto degli estremi e poi l’abbiamo diviso per il medio noto.

Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.

• La proporzione è continua (i medi sono uguali e si dicono medi proporzionali), l’incognita è il medio proporzionale, conosciamo i due estremi.

32 : x = x : 2

In base alla proprietà fondamentale delle proporzioni (in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi) possiamo affermare che:

32 ^. 2 = x² e quindi

64 = x² per cui

 

Notiamo che abbiamo calcolato la radice quadrata del prodotto degli estremi.

Vediamo di applicare questa regola generale ad un altro esempio.

Può accadere che una proporzione si presenti in forma diversa dalle tre che abbiamo visto ora: in un prossimo post vedremo come sia possibile, applicando le proprietà delle proporzioni, ricondurre i diversi casi ai tre che abbiamo visto oggi, cioè fare in modo che l’incognita sia un estremo o un medio, che quindi sappiamo calcolare.

ESERCIZI

 

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Rapporti e proporzioni

Consideriamo questa situazione in cui ci vengono presentati due dati.

La popolazione della Campania è di 5 790 187 abitanti; la superficie della Campania è di 13 590 km².

Possiamo mettere in relazione questi due dati, cioè rapportarli tra di loro per calcolare la densità di popolazione della Campania.

5 790 187 ab : 13 590 km² = 426 abitanti per ogni km²

Vediamo che la ricerca del rapporto tra i due dati di partenza si è concretizzato in una divisione ed il quoziente tra i due dati è il loro rapporto numerico.

Possiamo dunque generalizzare affermando che il rapporto tra due numeri a e b è il quoziente di a : b.

Il rapporto tra due numeri, ad esempio 7 e 8 può essere indicato in modo diverso:

-         con una divisione 7 : 8 (si legge “rapporto 7 a 8”)

-         con una frazione 7/8 (si legge “rapporto sette ottavi”)

-         con un numero decimale 7 : 8 = 0,875 (si legge “rapporto 0,875”)

I due numeri 7 e 8 si chiamano termini del rapporto: il primo termine prende il nome di antecedente, il secondo termine di conseguente.

Consideriamo ora questa situazione.

In una serie di tiri liberi a canestro Giorgio realizza 15 canestri in 20 tiri mentre Paolo realizza 12 canestri su 16 tiri.

Chi è stato il miglior tiratore? Non lasciamoci ingannare dal fatto che Giorgio ha fatto più canestri di Paolo, dobbiamo considerare per ogni giocatore il rapporto canestri fatti/tiri effettuati.

Per Giorgio il rapporto è 15 : 20 = 0,75

Per Paolo il rapporto è 12 : 16 = 0,75

I due rapporti sono uguali, quindi i due giocatori hanno dimostrato uguale bravura.

Possiamo dunque scrivere così

15 : 20 = 12 : 16

Abbiamo scritto un’uguaglianza fra due rapporti. Questa uguaglianza si chiama proporzione, che possiamo dunque definire come l’uguaglianza di due rapporti.

La proporzione sopra indicata si legge: 15 sta a 20 come 12 sta a 16.

Impariamo la nomenclatura corretta delle proporzioni:

-         i quattro numeri sono i termini della proporzione

-         il 1° ed il 3° numero sono gli antecedenti

-         il 2° ed il 4° numero sono i conseguenti

-         il 1° ed il 4° numero sono gli estremi

-         il 2° ed il 3° numero sono i medi

Tutte le proporzioni godono di alcune proprietà. Cominciamo ad esaminare la proprietà fondamentale.

La proprietà fondamentale delle proporzioni afferma che in ogni proporzione il prodotto dei medi è sempre uguale al prodotto degli estremi. Se la proporzione è a : b = x : y avremo che a ^. y = b ^. x.

Nella proporzione 15 : 20 = 12 : 16 avremo che 15 ^. 16 = 20 ^. 12

Questa proprietà è utile per controllare se due rapporti possono formare una proporzione.

Esempio:

I rapporti 1,5 : 0,3 e 2,5 : 0,5 possono formare una proporzione?

Moltiplichiamo gli estremi: 1,5 ^. 0,5 = 0,75

Moltiplichiamo i medi: 0,3 ^. 2,5 = 0,75

Sì, i due rapporti possono formare una proporzione.

Vediamo un altro esempio:

No, i due rapporti non formano una proporzione.

Passiamo ad esaminare un’altra proprietà, la cosiddetta proprietà dell’invertire.

La proprietà dell’invertire afferma che, in ogni proporzione, scambiando ogni antecedente con il proprio conseguente si ottiene ancora una proporzione.

Se la proporzione è a : b = c : d sarà una proporzione anche b : a = d : c.

Vediamo un esempio:

se è vero che 50 : 5 = 20 : 2 sarà anche vero che 5 : 50 = 2 : 20

Vediamo ora la proprietà del permutare.

La proprietà del permutare afferma che, in ogni proporzione, scambiando tra loro gli estremi o i medi o entrambi si ottengono altre proporzioni.

Se la proporzione è a : b = c : d saranno proporzioni anche 

Un’altra proprietà delle proporzioni è la proprietà del comporre.

La proprietà del comporre afferma che, in ogni proporzione, la somma del 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la somma del 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.

Se è vera la proporzione a : b = c : d saranno proporzioni vere anche

(a + b) : a = (c + d) : c

(a + b) : b = (c + d) : d

Vediamo un esempio numerico. Se

Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.

Applichiamo la proprietà del comporre nel secondo modo.

Vediamo infine la proprietà dello scomporre.

La proprietà dello scomporre afferma che, in ogni proporzione che abbia gli antecedenti maggiori dei rispettivi conseguenti, la differenza tra il 1° e 2° termine sta al 1° o al 2° termine come la differenza tra il 3° e 4° termine sta al 3° o 4° termine.

Se è vera la proporzione a : b = c : d saranno proporzioni vere anche

(a - b) : a = (c - d) : c

(a - b) : b = (c - d) : d

Vediamo un esempio numerico. Se

Possiamo controllare con la proprietà fondamentale che ciò che abbiamo ottenuto è veramente una proporzione.

Applichiamo la proprietà dello scomporre nel secondo modo.

 

ESERCIZI

·      Quali, tra questi rapporti, possono costituire una proporzione?

12 : 3 e 14 : 2

36 : 6 e 30 : 5

200 : 20 e 30 : 3

100 : 2 e 200 : 20

·      Data la proporzione 25 : 20 = 30 : 24 rispondi alle domande:

-       Quali sono gli antecedenti?

-       Quali sono i conseguenti?

-       Quali sono gli estremi?

-       Quali sono i medi?

-       Qual è il valore del rapporto?

·      Ad ogni proporzione applica le proprietà dell’invertire, del permutare, del comporre e dello scomporre (quando possibile)

	Proprietà dell’invertire	Proprietà del permutare	Proprietà del comporre	Proprietà dello scomporre
5 : 7 = 15 : 21
54 : 6 = 18 : 2
72 : 12 = 36 : 6
3 : 4 = 9 : 12

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