Insiemi numerici

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

1) leggi questo post
2) esercitati con Genially (lo trovi al termine delle spiegazioni)
3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Naturalmente conosciamo tutti la necessità di usare i numeri col segno, i numeri relativi. + 4000 potrebbe essere l’altitudine di una montagna, - 4000 invece potrebbe essere la profondità di un mare.

L’insieme dei numeri interi relativi costituisce l’insieme Z, formato da due sottoinsiemi. Infatti sappiamo che i numeri relativi possono essere preceduti dal segno + (si parla in questo caso di numeri interi relativi positivi Z⁺ che corrispondono all'insieme N perché, ad esempio, +8 = 8) o dal segno – (ed in questo caso abbiamo i numeri interi relativi negativi Z^-). Lo “zero” appartiene all'insieme Z⁺, ma non gli si attribuisce alcun segno.

Abbiamo poi l’insieme Q dei numeri razionali, anche questo formato da numeri razionali positivi Q⁺ (+4/5) e da numeri razionali negativi Q^-.

Poiché, ad esempio, + 4 può essere considerato + 4/1 e – 4 può essere considerato – 4/1, i numeri interi Z costituiscono un sottoinsieme dei numeri razionali.

Troviamo successivamente l’insieme I dei numeri irrazionali, formato dai numeri irrazionali positivi I⁺ (+ Ö2) e dai numeri irrazionali negativi I^- (- Ö2).

L’unione degli insiemi Z⁺, Q⁺, I⁺ ci dà l’insieme R⁺ dei numeri reali positivi.

Z⁺ È Q⁺ È I⁺ = R⁺

L’unione degli insiemi Z^-, Q^-, I^- ci dà l’insieme R^- dei numeri reali negativi.

Z^- È Q^- È I^- = R^-

R⁺  È R^- = insieme dei numeri reali relativi R

Puoi seguire questa lezione ed esercitarti anche on line, con Genially.

 

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Come si indica l’insieme dei numeri interi relativi? Da che cosa è formato?

2.      Come si indica l’insieme dei numeri reali relativi?

3.      Utilizzando il diagramma di Eulero – Venn che rappresenta l’insieme R, inserisci in esso i seguenti numeri relativi:

-         9/2; +  Ö15; + 8; - 4,5; + Ö25; + 7/3; 0,57; - Ö20; - 19; - 16/4; - 4,26

4.      Completa la seguente tabella che contiene i dati delle vendite di alcune marche di auto nel periodo gennaio – maggio degli anni 2010 – 2011. Quali marche hanno avuto un incremento positivo di vendite?

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Superficie e volume della sfera

La superficie di una sfera non è sviluppabile in piano e ciò ha creato non pochi problemi ai geografi per rappresentare in piano la superficie della Terra ed ai matematici per determinare la misura della superficie sferica.

Il grande Archimede riuscì nella dimostrazione dell’equivalenza della superficie sferica e quella di un cilindro equilatero circoscritto ad essa.

Poiché la superficie laterale del cilindro si calcola con questa formula S_l = C  ^. h cioè 2πrh e noi sappiamo che in un cilindro equilatero h = 2r la formula diventa 2πr ^. 2r= 4 πr².

Siccome πr² è l’area del cerchio massimo della sfera possiamo affermare che la superficie della sfera si ottiene moltiplicando l’area del suo cerchio massimo per 4.

S = 4 πr²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che una sfera è equivalente ad un cono con raggio di base congruente al diametro della sfera ed altezza congruente al raggio della sfera: di conseguenza il volume della sfera si può calcolare usando la formula del cono V = (A_b ^. h)/ 3

L’area di base del nostro cono si ottiene quindi moltiplicando il diametro della sfera per se stesso e per π

 A_b= 2r ^. 2r ^. π = 4r² π

Poiché l’altezza del cono è congruente al raggio della sfera avremo che 

V = (4r²π ^. r)/ 3=  

Possiamo dunque affermare che il volume di una sfera si calcolerà moltiplicando il cubo del suo raggio per  4/3 π.

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

ESERCIZI

•       Calcola il volume di una sfera sapendo che l’area della superficie sferica è 900 π cm².
•       Una sfera ha il diametro di 30 cm. Calcola l’area della superficie sferica ed il volume della sfera.
•       Due sfere hanno i raggi lunghi rispettivamente 12 cm e 16 cm. Calcola la misura del raggio di una terza sfera avente l’area della superficie sferica equivalente alla somma delle aree delle superfici delle due sfere date.

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La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.

Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?

Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.

CA = r

Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.

r < CA

Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.

r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.

Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI

•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm². Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.

•          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.

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