Le addizioni algebriche

Poiché con i numeri relativi la sottrazione, in pratica, diventa un’addizione, ecco che possiamo ricondurre una successione di addizioni e sottrazioni fra numeri relativi ad un’unica operazione, chiamata addizione algebrica che ci darà un risultato detto somma algebrica.

L’addizione algebrica può essere resa più semplice sopprimendo le parentesi usate per separare il segno di operazione dal segno del numero e togliendo il segno di operazione.

Nel caso dell’addizione il numero mantiene lo stesso segno.

Es. : (+ 6) + (- 8) diventa 6 – 8 = - 2

Nel caso della sottrazione il secondo numero cambia il segno.

Es. : (+ 6) - (- 8) diventa 6 + 8 = 14

Vediamo un esempio su come si può eseguire un’addizione algebrica.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·         - 15 – (8 – 3 – 11) + ( - 3 – 8) – (+4 – 13) – 9

·        (+ 2 – 5 – 8) + 12 – (+ 4 + 4 – 9) + (- 2 + 10)

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La sottrazione con i numeri relativi

Vediamo le sottrazioni con i numeri relativi.

Se dobbiamo fare (+7) – (-5), occorre trovare un terzo numero che sommato al secondo dia come risultato il primo.

…….. + (-5) = (+7)

Immaginiamo una retta orientata su cui i numeri positivi sono a destra dello 0 e quelli negativi a sinistra. Partendo da (-5) per arrivare a (+7) dobbiamo spostarci di 12 verso destra.

Il numero che cerchiamo è (+12). Quindi

(+7) – (-5) = +12

Avremmo ottenuto lo stesso risultato operando così:

(+7) + (+5) = + 12

Questo esempio ci fa capire la regola fondamentale: per trovare la differenza di due numeri relativi possiamo addizionare al primo l’opposto del secondo.

Trasformiamo così la sottrazione in un’addizione di cui conosciamo già le regole di esecuzione.

Vediamo alcuni esempi per capire meglio:

·        (+7) – (+4)            trasformo in addizione mettendo l’opposto del secondo numero

(+7) + (-4) = +3

·        (+8) – (-11)

(+8) + (+11) = + 19

·        (-4) – (+9)

(-4) + (-9) = - 13

·        (-8) – (-3)

(-8) + (+3) = -5

Nel caso di sottrazioni con numeri razionali la regola fondamentale resta la stessa. Vediamo un esempio.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Individua, tra le seguenti, quali sono le sottrazioni errate e poi scrivi il risultato corretto

· (+6) – (+6)

  (+6) + (+6) = +12

· (+11) – (-2)

  (+11) + (+2) = +13

· (-8) – (-3)

  (+8) + (+3) = +11

· (-4) – (-4)

  (-4) + (+4) = 0

2) Esegui

(-3) – (+5)

(+1) – (-1)

(+9) – (+11)

(-20) – (-11)

(-4,6) – (+2,4)



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Operazioni con i numeri relativi: l'addizione

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

1) leggi questo post
2) esercitati con Genially (lo trovi al termine delle spiegazioni)
3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Numeri relativi: concordi, discordi, opposti

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

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5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Insiemi numerici

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

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3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Naturalmente conosciamo tutti la necessità di usare i numeri col segno, i numeri relativi. + 4000 potrebbe essere l’altitudine di una montagna, - 4000 invece potrebbe essere la profondità di un mare.

L’insieme dei numeri interi relativi costituisce l’insieme Z, formato da due sottoinsiemi. Infatti sappiamo che i numeri relativi possono essere preceduti dal segno + (si parla in questo caso di numeri interi relativi positivi Z⁺ che corrispondono all'insieme N perché, ad esempio, +8 = 8) o dal segno – (ed in questo caso abbiamo i numeri interi relativi negativi Z^-). Lo “zero” appartiene all'insieme Z⁺, ma non gli si attribuisce alcun segno.

Abbiamo poi l’insieme Q dei numeri razionali, anche questo formato da numeri razionali positivi Q⁺ (+4/5) e da numeri razionali negativi Q^-.

Poiché, ad esempio, + 4 può essere considerato + 4/1 e – 4 può essere considerato – 4/1, i numeri interi Z costituiscono un sottoinsieme dei numeri razionali.

Troviamo successivamente l’insieme I dei numeri irrazionali, formato dai numeri irrazionali positivi I⁺ (+ Ö2) e dai numeri irrazionali negativi I^- (- Ö2).

L’unione degli insiemi Z⁺, Q⁺, I⁺ ci dà l’insieme R⁺ dei numeri reali positivi.

Z⁺ È Q⁺ È I⁺ = R⁺

L’unione degli insiemi Z^-, Q^-, I^- ci dà l’insieme R^- dei numeri reali negativi.

Z^- È Q^- È I^- = R^-

R⁺  È R^- = insieme dei numeri reali relativi R

Puoi seguire questa lezione ed esercitarti anche on line, con Genially.

 

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Come si indica l’insieme dei numeri interi relativi? Da che cosa è formato?

2.      Come si indica l’insieme dei numeri reali relativi?

3.      Utilizzando il diagramma di Eulero – Venn che rappresenta l’insieme R, inserisci in esso i seguenti numeri relativi:

-         9/2; +  Ö15; + 8; - 4,5; + Ö25; + 7/3; 0,57; - Ö20; - 19; - 16/4; - 4,26

4.      Completa la seguente tabella che contiene i dati delle vendite di alcune marche di auto nel periodo gennaio – maggio degli anni 2010 – 2011. Quali marche hanno avuto un incremento positivo di vendite?

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Superficie e volume della sfera

La superficie di una sfera non è sviluppabile in piano e ciò ha creato non pochi problemi ai geografi per rappresentare in piano la superficie della Terra ed ai matematici per determinare la misura della superficie sferica.

Il grande Archimede riuscì nella dimostrazione dell’equivalenza della superficie sferica e quella di un cilindro equilatero circoscritto ad essa.

Poiché la superficie laterale del cilindro si calcola con questa formula S_l = C  ^. h cioè 2πrh e noi sappiamo che in un cilindro equilatero h = 2r la formula diventa 2πr ^. 2r= 4 πr².

Siccome πr² è l’area del cerchio massimo della sfera possiamo affermare che la superficie della sfera si ottiene moltiplicando l’area del suo cerchio massimo per 4.

S = 4 πr²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che una sfera è equivalente ad un cono con raggio di base congruente al diametro della sfera ed altezza congruente al raggio della sfera: di conseguenza il volume della sfera si può calcolare usando la formula del cono V = (A_b ^. h)/ 3

L’area di base del nostro cono si ottiene quindi moltiplicando il diametro della sfera per se stesso e per π

 A_b= 2r ^. 2r ^. π = 4r² π

Poiché l’altezza del cono è congruente al raggio della sfera avremo che 

V = (4r²π ^. r)/ 3=  

Possiamo dunque affermare che il volume di una sfera si calcolerà moltiplicando il cubo del suo raggio per  4/3 π.

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

ESERCIZI

•       Calcola il volume di una sfera sapendo che l’area della superficie sferica è 900 π cm².
•       Una sfera ha il diametro di 30 cm. Calcola l’area della superficie sferica ed il volume della sfera.
•       Due sfere hanno i raggi lunghi rispettivamente 12 cm e 16 cm. Calcola la misura del raggio di una terza sfera avente l’area della superficie sferica equivalente alla somma delle aree delle superfici delle due sfere date.

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La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.

Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?

Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.

CA = r

Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.

r < CA

Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.

r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.

Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI

•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm². Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.

•          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.

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Superficie e volume del tronco di cono

Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.

Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.

Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è la generatrice e viene detto apotema del tronco di cono, le due basi del trapezio sono i raggi  della base maggiore e della base minore del tronco di cono.

Superficie laterale

La superficie laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del tronco e come altezza l’apotema del tronco.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C + C’)  ^. a)/2

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C + C’ =  S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C + C’  

Superficie totale

L’area della superficie totale di un tronco di cono si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b + A_b’

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t – (A_b + A_b’)                    (A_b + A_b’ ) = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del tronco di piramide.

Siccome A_b= πr²₁ e A_b’= πr²₂

ESERCIZI

·         Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della superficie laterale.

·         Un tronco di cono ha i due raggi lunghi rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 1348 π cm², calcola la misura dell’apotema.

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Superficie e volume del cono

Possiamo ottenere il cono dalla rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.

Se l’apotema del cono è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.

Superficie laterale

La superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla circonferenza di base del cono.

Ora, noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html)  che l’area di un settore circolare  si può calcolare moltiplicando la lunghezza del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C  ^. a)/2 oppure S_l = πra

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C  oppure a = S_l / πr         r =  S_l / πa

Superficie totale

L’area della superficie totale di un cono si otterrà sommando l’area di base all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - A_b                    A_b = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro e dividendo per 3.

Possiamo dunque stabilire che il volume di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo per 3.

V = (A_b ^. h)/ 3 oppure V = πr²h/3

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V  ^. 3 /h                  h = V  ^. 3 / A_b oppure V  ^. 3 / πr²

ESERCIZI

• Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm². Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)

• In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm². Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.

• Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m². Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro  è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.

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