Superficie e volume del parallelepipedo

Se un prisma ha le basi costituite da parallelogrammi, si tratta di un prisma particolare, detto parallelepipedo. 

Se un parallelepipedo ha le facce laterali perpendicolari alle basi abbiamo un parallelepipedo retto. Le facce laterali sono tutte rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 

Se un parallelepipedo retto la base è un rettangolo abbiamo il parallelepipedo rettangolo. Le facce sono tutte e sei rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 

Misura della diagonale

In un parallelepipedo rettangolo le tre dimensioni sono costituite dai tre spigoli uscenti dallo stesso vertice: di solito i primi due sono le dimensioni della base (a e b) mentre il terzo (c) è l’altezza del solido.

Consideriamo la diagonale AC’. Come ne possiamo calcolare la misura? Il triangolo C’CA è un triangolo rettangolo retto nell’angolo C. per cui, applicando il teorema di Pitagora, avremo che 

AC’ = 

ma C’C corrisponde a c e CA è la diagonale della base che potremo trovare con

e quindi potremo trovare la diagonale del parallelepipedo facendo 

Superficie laterale

Poiché il parallelepipedo è un prisma particolare, la superficie laterale, la superficie totale ed il volume si calcoleranno seguendo le stesse regole scoperte per il prisma.

La superficie laterale di un parallelepipedo si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’altezza.

S_l = p ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = S_l/h        h = S_l/p

Superficie totale

S_t = S_l + 2A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - 2A_b                    A_b = (S_t – S_l)/2

Volume

Il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = A_b ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V/h                  h = V/ A_b

Esercizi

·       In un parallelepipedo rettangolo le due dimensioni della base misurano 15 cm e 6 cm mentre la superficie laterale misura 504 cm².

Calcola l’area della superficie totale ed il volume.

·         Il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo è di 98 cm, le due dimensioni della base sono una i ¾ dell’altra. L’altezza del solido è di 12 cm. Calcola la lunghezza della diagonale del parallelepipedo e l’area della sua superficie totale.

·         In un parallelepipedo rettangolo l’area della superficie totale è 4 560 cm², gli spigoli della base sono uno i 4/3 dell’altro, la differenza delle loro lunghezze misura 8 cm. Calcola il volume.

·         Un recipiente ha la forma di parallelepipedo rettangolo con le dimensioni interne rispettivamente di 22 cm, 18 cm e 40 cm ed il peso di 1,2 kg.

Se viene riempito per i 4/5 della sua capacità di olio (ps 0,91), quanto peserà?

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Superficie e volume nell’insieme dei prismi

Abbiamo già visto che i prismi sono quei poliedri che hanno almeno due facce parallele e congruenti.

Le facce parallele e congruenti sono le basi del prisma, le altre facce sono parallelogrammi e si dicono facce laterali; la distanza fra le due basi è l’altezza del prisma.

Un prisma può essere triangolare se il poligono di base è un triangolo, quadrangolare se il poligono di base è un quadrilatero, pentagonale se il poligono di base è un pentagono e così via.

I prismi come quello a sinistra, in cui tutte le facce laterali sono perpendicolari alla base, vengono chiamati prismi retti e le loro facce laterali sono rettangoli mentre l’altezza coincide con gli spigoli laterali, i prismi come quello a destra vengono chiamati prismi obliqui e le loro facce sono dei parallelogrammi.  

Un prisma può essere regolare se è retto e i poligoni di base sono poligoni regolari: in questo caso le facce laterali sono rettangoli congruenti.

Superficie laterale

Consideriamo un prisma triangolare retto ed il suo sviluppo.

Notiamo che la superficie laterale del prisma coincide con la superficie di un rettangolo, la cui base è congruente al perimetro di base del prisma e la cui altezza è congruente all’altezza del prisma.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un prisma retto si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’altezza.

S_l = p ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = S_l/h        h = S_l/p       

Superficie totale

E’ abbastanza evidente che l’area della superficie totale sarà data dalla somma dell’area della superficie laterale e dell’area delle due basi.

S_t = S_l + 2A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - 2A_b                    A_b = (S_t – S_l)/2

Volume

Misurare il volume di un solido significa calcolare quante volte l’unità di misura del volume scelta è contenuta nel solido.

Guardiamo questo prisma retto a base quadrata: 

l’area di base è di 9 cm² quindi per ricoprire la base occorreranno 9 cm².

Quanti strati di cm² saranno necessari per occupare tutto lo spazio del nostro prisma? 7 strati perché l’altezza è di 7 cm.

Il volume del nostro solido misurerà quindi 63 cm³ (3 x 3 x 7).

Abbiamo prima calcolato l’area della base e poi abbiamo moltiplicato per l’altezza.

Il volume di un prisma retto si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = A_b ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V/h                  h = V/ A_b

ESERCIZI

·        Un prisma retto ha per base un quadrato la cui area è 225 cm². L’altezza del prisma è di 26 cm. Calcola l’area della sua superficie totale.

·        Un prisma retto ha per base un triangolo rettangolo con il cateto minore di 100 cm ed il cateto maggiore che è i 21/20 del cateto minore. Sapendo che il prisma è alto 130 cm, calcola l’area della superficie totale ed il volume.

·        Un prisma retto, di volume 5400 cm³, ha per base un rombo avente la diagonale minore e il lato lunghi rispettivamente 18 cm e 15 cm. Calcola l’area della superficie totale.

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Solidi rotondi e misure dei solidi

Solidi rotondi,

Consideriamo ora alcuni solidi rotondi, come quelli rappresentati in figura.

Notiamo che possiamo ottenere alcuni di essi attraverso la rotazione di una figura piana attorno ad un suo lato.

Ad esempio possiamo ottenere il cilindro dalla rotazione di un rettangolo attorno ad un suo lato.

Possiamo ottenere un cono dalla rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Possiamo ottenere una sfera dalla rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro.

Tutti i solidi che si possono ottenere dalla rotazione di una figura piana attorno ad una retta, si chiamano solidi di rotazione. La retta attorno a cui ruota la figura si chiama asse di rotazione mentre la retta che, nella rotazione, descrive la superficie del solido si chiama generatrice.

Le misure di un solido

Mentre delle figure piane calcoliamo perimetro ed area, di un solido potremo calcolare la superficie laterale e la superficie totale (area della superficie laterale + area delle basi) oppure lo spazio occupato, cioè il volume.

Due solidi aventi lo stesso volume si dicono equivalenti o equiestesi.

ESERCIZI

·        Che cos’è un solido di rotazione?

·        Disegna i solidi che ottieni ruotando completamente le seguenti figure attorno al segmento AB.

·        Per ognuno dei seguenti solidi segna con una crocetta rossa le facce che rappresentano la superficie laterale e con una crocetta blu le basi.

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Corpi solidi: i poliedri

I corpi solidi la cui superficie è formata solo da poligoni situati in piani diversi si dicono poliedri (insieme A della figura).

I corpi solidi la cui superficie è curva invece si dicono solidi rotondi o a superficie curva (insieme B della figura).

Cominciamo ad esaminare i poliedri.

I poligoni che delimitano il poliedro si dicono facce del poliedro, i lati dei poligoni si dicono spigoli del poliedro, i vertici dei poligoni sono i vertici del poliedro.

Si dice invece diagonale del poliedro ogni segmento che unisce due vertici non appartenenti alla stessa faccia.

Da questa immagine tratta dal sito http://freeforumzone.leonardo.it possiamo vedere come, in ogni poliedro, il numero delle facce più il numero dei vertici sia sempre uguale al numero degli spigoli più 2. Chiamiamo f il numero di facce, v il numero di vertici, s il numero di spigoli.

	f + v	s + 2
Tetraedro	4 + 4 = 8	6 + 2 = 8
Cubo	6 + 8 = 14	12 + 2 = 14
Ottaedro	8 + 6 = 14	12 + 2 = 14

Questa relazione è detta relazione di Eulero e possiamo sintetizzarla così: in qualsiasi poliedro è sempre vero che f + v = s + 2

Noi considereremo ora solo i poliedri convessi, cioè i poligoni le cui facce appartengono  a piani che non intersecano il poliedro.

I poliedri convessi possono essere regolari o non regolari.

POLIEDRI REGOLARI

Un poliedro si dice regolare se le sue facce sono poligoni regolari congruenti tra loro.

Ci sono solo 5 tipi di poliedro regolare, detti anche poliedri platonici.

In questa immagine vediamo quali sono: 

	f
Tetraedro	4 triangoli equilateri
Cubo (o esaedro regolare)	6 quadrati
Ottaedro	8 triangoli equilateri
Dodecaedro	12 pentagoni regolari
Icosaedro	20 triangoli equilateri

Lo sviluppo di un poliedro è la rappresentazione su un piano della superficie totale del poliedro stesso: in pratica si tratta della rappresentazione in piano di tutte le facce del poliedro. Nell’immagine sopra vediamo lo sviluppo in piano dei poliedri regolari (ultima colonna della tabella).

POLIEDRI NON REGOLARI

Nell’insieme dei poliedri non regolari troviamo il sottoinsieme dei prismi ed il sottoinsieme delle piramidi.

Sottoinsieme dei prismi

Sono quei poliedri che hanno almeno due facce parallele e congruenti.

Le facce parallele e congruenti sono le basi del prisma, le altre facce si dicono facce laterali e la distanza fra le due basi è l’altezza del prisma.

Consideriamo ora questi due prismi. Vediamo come nel prisma a sinistra gli spigoli delle facce laterali siano tutti perpendicolari alla basi mentre nel prisma a destra sono obliqui.

I prismi come quello a sinistra vengono chiamati prismi retti e le loro facce laterali sono rettangoli, i prismi come quello a destra vengono chiamati prismi obliqui e le loro facce sono dei parallelogrammi.  

Se un prisma ha le basi costituite da parallelogrammi, si tratta di un prisma particolare, detto parallelepipedo. 

Se un parallelepipedo ha le facce laterali perpendicolari alle basi abbiamo un parallelepipedo retto. Le facce laterali sono tutte rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 

Se un parallelepipedo retto la base è un rettangolo abbiamo il parallelepipedo rettangolo. Le facce sono tutte e sei rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 

Un particolare parallelepipedo rettangolo è il cubo, in cui tutte e sei le facce sono congruenti. 

Rappresentiamo il sottoinsieme dei prismi con il diagramma di Eulero-Venn.

Sottoinsieme delle piramidi

Sono quei poliedri che non hanno facce parallele, una base sola che può essere un qualsiasi poligono e la superficie laterale formata da facce triangolari con un vertice in comune.

Il poligono su cui poggia è la base della piramide, le altre facce si dicono facce laterali, il vertice comune alle facce laterali è il vertice della piramide e la distanza fra il vertice e la base è l’altezza della piramide.

Riassumiamo quindi l’insieme dei poliedri in un diagramma di Eulero-Venn.

ESERCIZI

·      Che cos’è un poliedro?

·      Quando un poliedro è regolare?

·      Quando un poliedro viene chiamato prisma?

·      Che cos’è un parallelepipedo?

·      Per ognuno dei seguenti solidi verifica la relazione di Eulero 

·      Stabilisci quali poliedri sono regolari e quali non regolari 

·      Stabilisci fra i seguenti poliedri quali sono prismi e quali piramidi 

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Rette e piani nello spazio

Le rette nello spazio

Iniziando ad occuparci della geometria delle figure solide cominciamo a considerare le rette nello spazio. Possiamo avere diversi casi:

a)      rette complanari, cioè appartenenti ad uno stesso piano, che possono avere un punto in comune e si dicono allora incidenti (fig. 1) o non avere nessun punto in comune e si dicono allora parallele (fig. 2). 

b)      rette non appartenenti allo stesso piano e che non hanno alcun punto in comune si dicono sghembe (fig. 3). 

Nel caso di rette sghembe possiamo dire che:

I piani nello spazio

Due diversi piani nello spazio possono essere incidenti o secanti se hanno una retta in comune.

 

Due diversi piani nello spazio possono essere paralleli se non hanno alcun punto in comune.

 

Per un punto passano infiniti piani.

Per una retta passano infiniti piani.

Per tre punti non allineati passa un solo piano.

Per una retta e un punto non appartenente ad essa passa un solo piano. 

 

Per due rette incidenti passa un solo piano. 

 

 

Per due rette parallele passa un solo piano. 

 

Consideriamo ora un piano α ed un punto P non appartenente ad esso: dal punto P tracciamo la perpendicolare p al piano α che incontra il piano nel punto S, notiamo che gli angoli che forma con tutte le rette del piano α passanti per S sono retti. Il punto S è il piede della perpendicolare ed il segmento PS è la distanza del punto P al piano α.

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