Rette e piani nello spazio

Le rette nello spazio

Iniziando ad occuparci della geometria delle figure solide cominciamo a considerare le rette nello spazio. Possiamo avere diversi casi:

a)      rette complanari, cioè appartenenti ad uno stesso piano, che possono avere un punto in comune e si dicono allora incidenti (fig. 1) o non avere nessun punto in comune e si dicono allora parallele (fig. 2). 

b)      rette non appartenenti allo stesso piano e che non hanno alcun punto in comune si dicono sghembe (fig. 3). 

Nel caso di rette sghembe possiamo dire che:

I piani nello spazio

Due diversi piani nello spazio possono essere incidenti o secanti se hanno una retta in comune.

 

Due diversi piani nello spazio possono essere paralleli se non hanno alcun punto in comune.

 

Per un punto passano infiniti piani.

Per una retta passano infiniti piani.

Per tre punti non allineati passa un solo piano.

Per una retta e un punto non appartenente ad essa passa un solo piano. 

 

Per due rette incidenti passa un solo piano. 

 

 

Per due rette parallele passa un solo piano. 

 

Consideriamo ora un piano α ed un punto P non appartenente ad esso: dal punto P tracciamo la perpendicolare p al piano α che incontra il piano nel punto S, notiamo che gli angoli che forma con tutte le rette del piano α passanti per S sono retti. Il punto S è il piede della perpendicolare ed il segmento PS è la distanza del punto P al piano α.

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Criteri di similitudine e teoremi di Euclide

Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati corrispondenti sono in rapporto costante.

Consideriamo le due figure:

 Notiamo che:

AB  : A’B’  = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’

Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili.

Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.

Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni non sono simili.

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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.

I CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:

e quindi i due triangoli sono simili.

II CRITERIO

   

Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in figura:

BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25)

I due triangoli sono simili.

 III CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel caso in figura:

AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre abbiamo che α è congruente ad α’           

I due triangoli sono simili.

I criteri di similitudine dei triangoli vengono applicati in due teoremi di Euclide, riferiti solo ai triangoli rettangoli.

I teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A e tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Consideriamo un secondo triangolo A’B’H’ congruente col triangolo ABH.

 

Confrontiamo ora il triangolo ABC (giallo) con il triangolo A’B’H’ (bianco). 

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che gli angoli A e H’ sono congruenti. A è congruente ad H’.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo anche che l’angolo B coincide con l’angolo B’. B è congruente a B'.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo C coincide con l’angolo A’. C è congruente a A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : B’A’ = AB : B’H’ ma poiché sappiamo che   

possiamo modificare la proporzione

BC : AB = AB : BH

Notiamo quindi che il cateto AB è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

La stessa cosa accade confrontando il triangolo AHC ed il triangolo ABC.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo A ed H’ sono congruenti e vediamo anche che l’angolo C coincide con l’angolo C’.

L'angolo A è congruente all'angolo H'.

L'angolo C è congruente all'angolo C'

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo B coincide con l’angolo A’.

L'angolo B è congruente all'angolo A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : A’C’ = AC : H’C’ ma poiché sappiamo che 

possiamo modificare la proporzione

BC : AC = AC : HC

Notiamo quindi che il cateto AC è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Il I teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

II teorema di Euclide

Abbiamo constatato che

A’B’H’ è simile ad ABC

A’H’C’ è simile ad ABC

Possiamo dunque dire, per la proprietà transitiva, che A’B’H’ è simile ad A’H’C’ e quindi i lati omologhi saranno in proporzione.

B’H’ : A’H’ = A’H’ : H’C’

per cui

BH : AH = AH : HC

Il II teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

ESERCIZI

·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 7 cm e la proiezione del cateto minore su di essa 2,52 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 24 cm, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 14,4 cm. Calcola l’area del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 54 cm e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga 43,2 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 75 cm mentre le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono uno i 9/16 dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo.

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