Rotazioni e traslazioni

Dopo aver esaminato la congruenza, vediamo un altro movimento rigido, la traslazione.

Quella che vedi sopra è una traslazione.

Nel linguaggio matematico il termine “traslazione” significa un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) in cui le traiettorie descritte da ciascuno dei punti che lo compongono sono uguali e parallele.

Puoi verificare nella figura sopra che le linee tratteggiate che descrivono lo spostamento dei punti al vertice risultano essere tra loro parallele e della stessa lunghezza.

Per individuare una traslazione occorre sapere la lunghezza (o modulo), la direzione ed il verso della stessa.

A tal fine si usa il vettore, cioè un segmento con una lunghezza definita (detta anche modulo), una direzione data dalla retta a cui appartiene ed un verso indicato dalla punta della freccia.

Ecco, ad esempio, il vettore della traslazione raffigurata sopra.

E’ evidente che due figure ottenute per traslazione sono direttamente congruenti.

Un altro movimento rigido è la rotazione.

Immaginiamo di avere un punto A qualsiasi e di sottoporlo ad una rotazione.

Ci serve un punto fisso, che chiameremo O, sul quale puntiamo il compasso che avrà un’apertura uguale alla lunghezza del segmento OA

Per sapere quale dovrà essere l’ampiezza e il verso della rotazione ci serve un angolo orientato che ci indichi l’ampiezza (o modulo) ed il verso orario o antiorario. Immaginiamo di voler ruotare il punto A secondo l’angolo orientato 

Ricordiamo che l’angolo orientato si indica diversamente a seconda che il verso della rotazione sia orario o antiorario. 

Riepilogando: abbiamo il compasso puntato in O con apertura uguale al segmento OA, ruotiamo il compasso in verso orario descrivendo un arco di 50°. Il punto A’ all’estremità dell’arco è il corrispondente di A.

Nel linguaggio matematico il termine “rotazione” indica un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) individuato da un centro di rotazione (il punto fisso O) e da un angolo orientato che indica l’ampiezza ed il verso di spostamento.

Proviamo ora ad effettuare una rotazione, individuata dal punto fisso O, di un triangolo ABC secondo l’angolo orientato 

Sarà sufficiente effettuare la rotazione dei vertici A, B, C secondo la modalità già descritta in modo da trovare i corrispondenti A’, B’, C’.

ESERCIZI

·   Come sono due figure ottenute per traslazione?

·  Che cos’è una rotazione?

·  Come puoi spiegare il concetto di angolo orientato?

·   Disegna le figure A’ e A’’ ottenute (sempre partendo da A) con le traslazioni individuate dai due vettori indicati. 

·     Disegna le figure B’, B’’, B’’’ ottenute con le traslazioni individuate dai tre vettori indicati, applicandole successivamente ad ogni figura ottenuta. 

·     Qual è il vettore che individua la seguente traslazione? 

·     Quali sono i due vettori che individuano le seguenti traslazioni successive? 

·     Data la figura disegnata, effettua la rotazione di centro O e dell’ampiezza indicata 

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

Le frazioni

Sappiamo già che frazionare significa suddividere in parti uguali un intero che può essere costituito da una quantità continua o discontinua. 

Consideriamo un rettangolo intero e dividiamolo in 6 parti uguali.

Ognuna delle parti costituisce “un sesto” del rettangolo che indichiamo1/6

Vediamo ora un cerchio intero suddiviso in 4 parti uguali.

Ogni parte rappresenta “un quarto” e si indica 1/4

Poiché queste frazioni rappresentano una ed una sola delle parti in cui abbiamo diviso la grandezza intera, diremo che 1/6 e 1/4 sono unità frazionarie.

 Le unità frazionarie indicano quindi una sola delle parti in cui è diviso un intero.

Guardiamo ora questa figura

Vediamo che abbiamo considerato 4 volte l’unità frazionaria 1/6

1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 4/6

Se invece osserviamo quest’altra figura

vediamo che abbiamo considerato 3 volte l’unità frazionaria ¼

¼ + ¼ + ¼  = ¾

4/6, ¾ sono frazioni

La frazione è quindi un operatore che divide un intero in parti uguali e ne considera alcune di esse.

Possiamo classificare le frazioni in: proprie, improprie, apparenti.

Guardiamo questo esempio

La frazione 3/5 rappresenta la parte colorata del rettangolo. Si tratta di una parte minore dell’intero.

La frazione 5/8 rappresenta la parte colorata dell’intero. Si tratta di una parte minore dell’intero.

3/5 e 5/8 sono frazioni proprie.

Una frazione è propria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza minore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni proprie perché il numeratore è minore del denominatore.

Osserviamo ora questi esempi

La frazione 7/5 rappresenta la parte colorata. Si tratta di una parte maggiore del rettangolo intero.

La frazione 5/4 rappresenta la parte colorata. Si tratta di una parte maggiore del cerchio intero.

7/5 e 5/4 sono frazioni improprie.

Una frazione è impropria quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza maggiore di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni improprie perché il numeratore è maggiore (ma non multiplo) del denominatore.

Consideriamo ora quest’altro esempio

La frazione 5/5 rappresenta la parte colorata e corrisponde all’intero.

La frazione 12/4 rappresenta la parte colorata e corrisponde a 3 interi.

5/5 e 12/4 sono frazioni apparenti.

Una frazione è apparente quando, operando con essa su una grandezza, otteniamo una grandezza congruente o multipla di quella di partenza. Riconosciamo le frazioni apparenti perché il numeratore è uguale o multiplo del denominatore.

Abbiamo operato su una grandezza intera ed abbiamo ottenuto la frazione che rappresenta la parte colorata: 4/9

Abbiamo operato sulla stessa grandezza ed abbiamo ottenuto un’altra frazione che rappresenta la parte colorata: 5/9

Se consideriamo la somma delle due grandezze ottenute otteniamo una grandezza che è congruente alla grandezza di partenza. Infatti: 4/9 + 5/9 = 9/9

4/9 e 5/9 sono frazioni complementari.

Due frazioni sono complementari quando, operando con esse su una grandezza, otteniamo due grandezze la cui somma è congruente alla grandezza di partenza.

ESERCIZI

·     Completa la seguente tabella

Frazioni	Numeratore	Denominatore	Unità frazionaria	N° delle unità frazionarie considerate
4/5
	5	7
6/13
3/7
	4	9

·     Quale unità frazionaria rappresenta la parte colorata di ogni figura?

·     Quale frazione rappresenta la parte colorata di ogni figura?

·     Quando possiamo dire che due frazioni sono complementari?

·     Fra le seguenti coppie di frazioni cerchia quelle complementari

3/8 e 5/8;  5/10 e 4/10; 3/11 e 8/11; 2/9 e 5/9; 8/10 e 6/10; 3/7 e 4/7; 1/10 e 9/10; 13/20 e 7 /20

·     Quando possiamo dire che una frazione è propria?

·     Quando possiamo dire che una frazione è impropria?

·     Quando possiamo dire che una frazione è apparente?

·     Considera l’insieme:

e scrivi per elencazione i seguenti sottoinsiemi:

B = {x/x Î A ed è frazione propria}

C = {x/x Î A ed è frazione impropria}

D = {x/x Î A ed è frazione apparente}

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

Metodi di risoluzione dei problemi: il metodo grafico

Ci sono delle fasi imprescindibili nella risoluzione di un problema di tipo matematico: la lettura e l’analisi del testo, l’individuazione dei dati conosciuti e delle incognite, la scelta delle tecniche risolutive.

Ed è proprio la fase risolutiva che ci permette la possibilità di usare diverse strategie e tecniche, a seconda della natura del problema. Oggi analizzeremo una di queste tecniche: il metodo di risoluzione grafico. Si tratta di rappresentare graficamente i dati conosciuti, in modo da far emergere visivamente le relazioni tra di essi e scoprire più facilmente la soluzione.

Vediamo alcuni esempi della sua applicazione.

Su una spiaggia ci sono 130 ombrelloni in tutto;  gli ombrelloni aperti sono 26 in più di quelli chiusi. Quanti sono gli ombrelloni aperti e quanti quelli chiusi sulla spiaggia?

Indichiamo gli ombrelloni aperti con a e quelli chiusi con c.

DATI

a + c = 130

a = c + 26

INCOGNITE

? a

? c

RISOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma del segmento AB e quella del segmento CD è 130.

La differenza fra i due segmenti è 26.

Togliendo dalla somma 130 la differenza 26, troviamo il doppio degli ombrelloni chiusi, per cui sarà sufficiente dividere per 2 per trovare il numero degli ombrelloni chiusi. A questi basterà aggiungere 26 e troveremo il numero degli ombrelloni aperti.

130 – 26 = 104 doppio degli ombrelloni chiusi

104 : 2 = 52 numero degli ombrelloni chiusi

52 + 26 = 78 numero ombrelloni aperti

La signora Anna al supermercato ha comprato pesce, pane e verdura spendendo in tutto € 17,90.

Il pesce è costato € 10,83 più della verdura, la verdura € 0,16 più del pane. Quanto ha speso Anna per il pesce, il pane e la verdura?

Indichiamo il pesce con p, il pane con a e la verdura con v.

DATI

p + a + v = 17,90

p = v + 10,83

v = a + 0,16

INCOGNITE

? p

? a

? v

RISOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Sappiamo che la somma dei tre segmenti è 17,90.

Togliendo dalla somma 17,90 prima 10,83 e poi 2 volte 0,16 troviamo il triplo del segmento EF, cioè del pane. Sarà ora sufficiente dividere per 3 per trovare il costo del pane. A questo basterà aggiungere 0,16 e troveremo il costo della verdura ed infine, aggiungendo a quest’ultimo valore 10,83 troveremo il costo del pesce.

17,90 – (10,83 + 0,16 x 2) = 17, 90 – (10,83 + 0,32) = 17,90 – 11,15 = 6,75 triplo del costo del pane

6,75 : 3 = 2,25 costo del pane

2,25 + 0,16 = 2,41 costo della verdura

2,41 + 10,83 = 13,24 costo del pesce

Prima di partire per una gita scolastica il professore sul pullman conta i partecipanti, che risultano essere: 50 tra alunni della IA e IB, 31 tra alunni della IA ed insegnanti e 29 tra alunni della IB ed insegnanti. Quanti sono gli insegnanti, gli alunni della IA e della IB che partecipano alla gita?

Indichiamo con A gli alunni della IA, con B gli alunni della IB e con I gli insegnanti

DATI

A + B = 50

A + I = 31

B + I = 29

INCOGNITE

? A

? B

? I

RISOLUZIONE

Rappresentiamo graficamente la soluzione.

Dall’esame grafico della situazione ci accorgiamo che sommando 50, 31 e 29 otteniamo il doppio dei partecipanti alla gita: infatti sia gli alunni di IA, sia gli alunni di IB, sia gli insegnanti sono presenti due volte. Dividendo quindi per 2 il totale della somma troveremo il numero reale dei partecipanti, da cui ricavare successivamente le altre incognite.

50 + 31 + 29 = 110

110 : 2 = 55 numero dei partecipanti alla gita

55 – 50 = 5 numero degli insegnanti

55 – 31 = 24 numero alunni IB

55 – 29 = 26 numero alunni IA

ESERCIZI

·    La somma di due numeri è 28 e la loro differenza è 12. Quali sono i due numeri?

·    In una cassetta vi sono mele e pere per un numero complessivo di 65 frutti; le mele sono 19 in più delle pere. Calcola il numero delle mele e delle pere.

·    Ad una gara podistica partecipano complessivamente 280 atleti fra uomini, donne e ragazzi. Le donne sono 20 in più dei ragazzi e gli uomini 60 in più delle donne. Calcola il numero degli uomini, delle donne e dei ragazzi che partecipano alla gita.

·    Marco, Luigi e Alice sono 3 fratelli. Marco e Luigi hanno complessivamente 57 anni; Marco ed Alice 46, Luigi ed Alice 41. Qual è l’età di ognuno dei tre fratelli?

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

Problemi con il m.c.m ed il M.C.D.

Le tecniche per calcolare il m.c.m. ed il M.C.D. possono essere molto utili nella risoluzione di problemi, come possiamo vedere dai seguenti esempi.

·    E’ necessario recintare un terreno di forma triangolare con i lati lunghi 42 m, 48 m e 60 m. Per far ciò dovranno essere sistemati dei pali di sostegno della recinzione, tutti alla stessa massima distanza tra loro, facendo in modo che ci sia un palo in ogni vertice.

A quale distanza andranno piantati i pali? Quanti pali occorreranno?

Riflettiamo: i pali dovranno essere distribuiti alla stessa distanza tra loro, quindi occorre cercare un divisore comune tra 42, 48 e 60. Poiché la distanza tra i pali deve essere la massima possibile, dobbiamo cercare il massimo divisore comune, quindi il M.C.D.

Effettuata la scomposizione in fattori primi, abbiamo questa situazione

42 = 2 x 3 x 7

48 = 2⁴ x 3

60 = 2² x 3 x 5

M.C.D.: 2 x 3 = 6

I pali andranno piantati ad una distanza di 6 m l’uno dall’altro.

Poiché il perimetro del triangolo misura 42 + 48 + 60 = 150 m, dividendo questa lunghezza per 6 otterremo il numero di pali necessari

150 : 6 = 25 pali occorrenti.

·    Maria, Luigi e Giuseppe vanno in bicicletta percorrendo varie volte un circuito. Partono tutti e tre dallo stesso punto e nello stesso momento. Maria impiega 12 minuti per ritornare al punto di partenza, Luigi ne impiega 6 e Giuseppe invece ritorna al punto di partenza ogni 9 minuti. Dopo quanti minuti si incontreranno nuovamente tutti insieme al punto di partenza?

Riflettiamo: i minuti che dovranno passare per far sì che i tre si incontrino nuovamente dovranno essere un multiplo di 12, 6 e 9, il minimo comune multiplo.

Effettuata la scomposizione in fattori primi, risulta che:

12 = 2² x 3

6 = 2 x 3

9 = 3²

m.c.m.: 2² x 3² = 36

I tre amici si incontreranno nuovamente al punto di partenza dopo 36 minuti.

ESERCIZI

·    Un agricoltore ha raccolto 150 kg di mele, 110 kg di pere e 200 kg di arance.  Vuole sistemare la frutta raccolta in cassette che abbiano tutte lo stesso peso e che contengano ciascuna lo stesso tipo di frutta. Quale sarà il peso di ogni cassetta? Quante cassette potrà riempire?

 ·    Le signore Anna, Fiorenza e Rosanna iniziano oggi, 18 aprile, ad andare in palestra. Per la prima volta vanno insieme, successivamente Anna potrà andare in palestra ogni 3 giorni, Fiorenza andrà ogni 4 giorni, mentre Rosanna potrà andare solo ogni 6 giorni. Quale sarà la data in cui si troveranno nuovamente insieme in palestra?

·    4 ferrovieri si incontrano, durante i loro viaggi in treno, alla stazione di Milano il 1° settembre. Se ritornano a Milano rispettivamente ogni 3, 5, 10, 6 giorni, dopo quanti giorni si incontreranno nuovamente? Quante volte si incontreranno a Milano in un anno?

 ·    In una biblioteca sono arrivati dei nuovi libri: 60 libri di storia, 45 libri di geografia e 40 libri di scienze. Si decide di sistemarli in parti uguali nel maggior numero possibile di scaffali che contengano ciascuno i tre tipi di libri. Quanti scaffali si dovranno usare? In ogni scaffale quanti libri di storia, geografia e scienze si dovranno mettere?

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

Il minimo comune multiplo (m.c.m.)

Mentre l’insieme dei divisori di un numero è un insieme finito, l’insieme dei multipli di un numero, escluso zero, è un insieme infinito.

Consideriamo ad esempio i numeri 4, 5, 6.

I multipli di 4 sono: {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96, 100, 104, 108, 112, 116, 120, …….}

I multipli di 5 sono: {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95, 100, 105, 110, 115, 120, ……….}

I multipli di 6 sono: {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78, 84, 90, 96, 102, 108, 114, 120, ……….}

Notiamo che ci sono dei multipli comuni ai tre numeri: 60, 120, …..

Il minimo comune multiplo è il minore tra i multipli comuni perciò possiamo dire che

m.c.m. (4; 5; 6) = 60

Possiamo quindi dire che il minimo comune multiplo (m.c.m.) fra due o più numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri dati, escludendo lo zero.

Esistono diversi metodi per il calcolo del m.c.m.

·     Cominciamo, anche in questo caso, dal metodo insiemistico

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 8 e 12.

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 8.

M (8) = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ….}

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 12.

M (12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, ….}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei due insiemi precedenti.

M (8) ÇM (12)  = {24, 48, 72, 96, 120, ……}

m.c.m. (8, 12) = 24

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 15, 20, 30.

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 15.

M (15) = {15, 30, 45, 60, 75, 90, 105, 120, 135, 150, 165, 180, ……..}

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 20.

M (20) = {20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200, 220, 240, …….}

Scriviamo l’insieme dei multipli (M) di 30.

M (30) = {30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270, ……}

Calcoliamo l’insieme dei multipli comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.

M (15) ÇM (20)  ÇM (30)  = {60, 120, 180 ……}

m.c.m. (15, 20, 30) = 60

Possiamo quindi dire che con il metodo insiemistico, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei multipli dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione e il m.c.m sarà l’elemento minore dell’insieme intersezione.

·     Esaminiamo ora il metodo della scomposizione in fattori primi,

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 14, 18 e 20.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.

14 = 2 x 7

18 = 2 x 3²

20 = 2² x 5

m.c.m (14, 18, 20) = 2² x 3² x 5 x 7 = 4 x 9 x 5 x 7 = 1260

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il m.c.m. fra 150, 400, 500.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

Consideriamo ora i fattori primi comuni e non comuni e prendiamoli col più grande esponente.

150 = 2 x 3 x 5²

400 = 2⁴ x 5²

500 = 2² x 5³

m.c.m (150, 400, 500) = 2⁴ x 3 x 5³  = 16 x 3 x 125 = 6 000

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il m.c.m tra due o più numeri,  si scompongono i numeri dati in fattori primi  e il m.c.m. sarà il prodotto dei fattori comuni e non comuni considerati con il maggiore esponente.

ESERCIZI

·        Che cos’è il m.c.m. fra due o più numeri?

·     Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:

a) 12, 24, 36;                                      b) 12, 15, 60;

c) 15, 30, 45;                                      d) 16, 32, 40;

·     Calcola il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:

a) 25, 40;                                b) 135, 315;

c) 350, 550, 770;                    d) 315, 216, 504;

·     Calcola il M.C.D. ed il m.c.m. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:

a) 360, 450, 720;                                b) 270, 405, 540;

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi
Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

Metodi per calcolare il M.C.D.

Che cos’è il Massimo Comune Divisore?

Il Massimo Comune Divisore fra due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati. Il Massimo Comune Divisore si abbrevia con M.C.D.

Es: qual è il M.C.D.  tra 24 e 16?

Cerchiamo tutti i divisori di 24

D (24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}

Cerchiamo tutti i divisori di 16

D (16) = {1, 2, 4,  8, 16}

I due numeri 24 e 16 hanno dei divisori comuni: 1, 2, 4, 8. Il maggiore di questi divisori è 8, quindi il M.C.D. (24, 16) = 8

Esistono sistemi diversi per calcolare il M.C.D. fra due o più numeri. Noi qui ne presentiamo due.

·          Cominciamo ad esaminare il cosiddetto metodo insiemistico.

Vogliamo trovare il M.C.D. fra 65, 140 e 90.

Elenchiamo tutti i divisori di 65.

D (65) = {1, 5, 13, 65}

Elenchiamo tutti i divisori di 140.

D (140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}

Elenchiamo tutti i divisori di 90.

D (90) = {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}

Calcoliamo l’insieme dei divisori comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.

D (65) ÇD (140) ÇD (90) = {1, 5,}

M.C.D. (65, 140, 90) = 5

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il M.C.D. fra 140, 105 e 35.

Elenchiamo tutti i divisori di 140.

D (140) = {1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}

Elenchiamo tutti i divisori di 105.

D (105) = {1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105}

Elenchiamo tutti i divisori di 35.

D (35) = {1, 5, 7, 35}

Calcoliamo l’insieme dei divisori comuni, cioè l’intersezione tra gli elementi dei tre insiemi precedenti.

D (140) ÇD (105) ÇD (35) = {1, 5, 7, 35}

M.C.D. (140, 105, 35) = 35

Possiamo quindi dire che con il metodo insiemistico, per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri, si elencano gli insiemi dei divisori dei numeri dati, si calcola l’insieme intersezione e il M.C.D. sarà l’elemento maggiore dell’insieme intersezione.

·          Esaminiamo ora il cosiddetto metodo della scomposizione in fattori primi, raccomandabile soprattutto se i numeri sono grandi.

Vogliamo trovare il M.C.D. fra 288, 360 e 186.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

288	2
144	2
72	2
36	2
18	2
9	3
3	3
1

288 = 2⁵ x 3²

360	2
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5

360 = 2³ x 3² x 5

186	2
93	3
31	31
1

186 = 2 x 3 x 31

Vediamo ora se ci sono fattori primi comuni ai tre numeri e consideriamoli col minore esponente.

288 = 2⁵ x 3²

360 = 2³ x 3² x 5

186 = 2 x 3 x 31

I fattori comuni, presi con il minore esponente, sono 2 e 3, quindi

M.C.D. (288, 360, 186) = 2 x 3 = 6

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il M.C.D. fra 528, 624, 768.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

528	2
264	2
132	2
66	2
33	3
11	11
1

528 = 2⁴ x 3 x 11

624	2
312	2
156	2
78	2
39	3
13	13
1

624 = 2⁴ x 3 x 13

768	2
384	2
192	2
96	2
48	2
24	2
12	2
6	2
3	3
1

768 = 2⁸ x 3

Vediamo ora se ci sono fattori primi comuni ai tre numeri e consideriamoli col minore esponente.

528 = 2⁴ x 3 x 11

624 = 2⁴ x 3 x 13

768 = 2⁸ x 3

I fattori comuni, presi con il minore esponente, sono 2⁴ e 3, quindi

M.C.D. (288, 360, 186) = 2⁴ x 3 = 16 x 3 = 48

Possiamo quindi dire che con il metodo della scomposizione in fattori primi, per calcolare il M.C.D. tra due o più numeri,  si scompongono i numeri dati in fattori primi  e il M.C.D. sarà il prodotto dei fattori comuni considerati con il minore esponente.

Vediamo un altro esempio

Vogliamo trovare il M.C.D. fra 9, 12, 14.

Scomponiamo in fattori primi i tre numeri

9	3
3	3
1

9 = 3²

12	2
6	2
3	3
1

12 = 2² x 3

14	2
7	7
1

14 = 2 x 7

Vediamo ora se ci sono fattori primi comuni ai tre numeri e consideriamoli col minore esponente.

9 = 3²

12 = 2² x 3

14 = 2 x 7

I tre numeri non hanno altri divisori comuni, oltre ad 1, quindi il M.C.D. è 1 e questi numeri si dicono primi tra loro.

ESERCIZI

·     Che cos’è il M.C.D. fra due o più numeri?

·     Quando due o più numeri si dicono primi tra loro?

·     Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri, usando il metodo insiemistico:

a) 70, 42, 98;                                     b) 56, 42, 24;

c) 32, 30;                                             d) 18, 20, 30

                       

                                   

·     Calcola il M.C.D. dei seguenti gruppi di numeri usando il metodo della scomposizione in fattori primi:

a) 60, 75;                                b) 252, 270;

c) 3 150, 3 675;                      d) 72, 128, 216;

e) 324, 729, 486;                    f) 190, 380, 684;

g) 180, 300, 528, 672;            h) 128, 220, 286, 308;           

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni