Le divisioni in N

Dividendo due numeri appartenenti ad N, il quoziente è un numero appartenente ad N solo se il dividendo è multiplo del divisore, negli altri casi non troviamo in N il quoziente. Possiamo dunque dire che la divisione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla divisione.

La divisione gode della proprietà:

·        Invariantiva: in una divisione il quoziente tra due numeri non cambia se dividiamo o moltiplichiamo sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero, diverso da zero.

Es.: 252 : 9 = 28

(252 : 3) : (9 : 3) =

84 : 3 = 28

(84 x 5) : (3 x 5) = 420 : 15 = 28

·        Distributiva: dividendo una somma o una differenza per un numero, si può dividere ciascun termine della somma o della differenza per quel numero e poi aggiungere o sottrarre i quozienti così ottenuti.

Es.: (32 + 12) : 4 = 44 : 4 = 11 ma anche

(32 : 4) + (12 : 4) = 8 + 3 = 11

(30 – 20) : 5 = 10 : 5 = 2 ma anche

(30: 5) – (20 : 5) = 6 – 4 = 2

Per eseguire una divisione in colonna con numeri decimali, possiamo distinguere questi due casi:

1. solo il dividendo è decimale ( si esegue la divisione normalmente e si mette la virgola nel quoziente quando si considera la prima cifra decimale del dividendo)

Es.: 415, 52 : 53

2. il divisore è decimale (occorre applicare la proprietà invariantiva della divisione per rendere intero il divisore e poi si procede normalmente)

Es.: 273 : 6,5 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 10 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 2 730 : 65)

Es.: 43, 725 : 8,25 (si applica la proprietà invariantiva moltiplicando per 100 il divisore ed il dividendo e l’operazione diventa 4372,5 : 825).

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1. Scrivi se V (vero) o F (falso)
• La divisione è un’operazione interna all’insieme N
• L’insieme N è aperto rispetto alla divisione
• L’insieme N non è chiuso rispetto alla divisione
• Considerati due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che è il loro quoziente
2. Di quali proprietà gode la divisione?
3. Quale proprietà è stata applicata nelle seguenti uguaglianze?

·        36 : 4 = (36 : 2) : (4 : 2)

·        15 : 5 = (15 x 4) : (5 x 4)

·        (24 + 40) : 8 = (24 : 8) + (40 : 8)

·        120 : 6 = (120: 3) : (6: 3)

·        (39 – 18) : 3 = (39: 3) – (18 : 3)

4. Esegui applicando la proprietà invariantiva come nell’esempio

Es.: 72 : 6

(72 : 3) : (6 : 3) = 24 : 2 = 12

(72 x 3) : (6 x 3) = 216 : 18 = 12

27 : 9

48 : 8

42 : 6

5. Esegui applicando la proprietà distributiva

(24 + 10) : 2

(27 – 12) : 3

(49 – 21 + 14) : 7

6. Esegui in colonna e scrivi il risultato

45,44 : 8

96,48 : 24

3 444 : 0,6

15,689 : 2,9

9234 : 1,8

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La moltiplicazione in N

Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.

La moltiplicazione può essere considerata come un’addizione ripetuta e quindi gode delle stesse proprietà di cui gode l’addizione.

La moltiplicazione gode quindi della proprietà:

·        commutativa: il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.

Es.: 6 x 8 x 5 = 8 x 5 x 6

Possiamo anche dire:

" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)

a x b = b x a

·        associativa: il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto.

Es.: 4 x 10 x 7 = 40 x 7

Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a x b x c = a x (b x c) = (a x b) x c

·  

Inoltre la moltiplicazione gode anche della proprietà:

·        distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun termine della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti.

Es.:      13 x  18 = 13 x (10 + 8) = (13 x 10) + (13 x 8) = 130 + 104 = 234

14 x 15 =  14 x (20 – 5) = (14 x 20) – (14 x 5) = 280 – 70 = 210

Per eseguire una moltiplicazione in colonna considera inizialmente i fattori come interi anche se hanno cifre decimali. Moltiplica ogni cifra del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo così dei prodotti parziali che ogni volta scriverai spostandoti a sinistra di una posizione.

Al termine somma i prodotti parziali e separa, a partire da destra, tante cifre decimali quante sono quelle dei due fattori considerati insieme.

Es.: 8, 21 x 5,4

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1) Se consideriamo due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che sia il loro prodotto?

2) L’insieme N è aperto o chiuso rispetto alla moltiplicazione?

3) Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione ed illustrala con un esempio.

4) Quale enunciato spiega in modo corretto la proprietà associativa della moltiplicazione?a. Il prodotto di tre o più fattori non cambia se si sostituisce un fattore con altri il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito.
b. Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
c. Il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo due o più di essi con un fattore uguale al loro prodotto.

5) Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?

6 x 3 x 4 x 8 = 18 x 32

20 x 15 = (20 x 10) + (20 x 5)

5 x 9 x 6 = 5 x 6 x 9

7 x (8 – 2) = (7 x 8) – (7 x 2)


6) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà commutativa:

2 x 16 x 5 =

7) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà associativa come vedi nell’esempio:

4 x 6 x 3 =



8 x 6 x 5 =
8) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà distributiva come vedi nell’esempio:

6 x 18 = 6 x (10 + 8) = (6 x 10) + (6 x 8) = 60 + 48 = 108

8 x 23 =

9) Metti in colonna e scrivi il risultato

172 x 5,2 =

6, 34 x 73 =

112, 3 x 7, 25 =

4068 x 543 =

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Addizione e sottrazione in N

Se sommiamo due numeri appartenenti ad N il totale sarà un altro numero ancora appartenente a N: possiamo quindi dire che l’addizione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.

L’addizione gode delle seguenti proprietà, che ci aiutano in molti casi a velocizzare e semplificare i calcoli.

Commutativa: la somma di due o più addendi non cambia cambiando l’ordine degli addendi. Possiamo anche dire:

" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)

a + b = b + a

Associativa: la somma di 3 o più addendi non cambia associando a 2 o più addendi la loro somma. Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c

Se eseguiamo una sottrazione tra due numeri appartenenti ad N, vediamo che la differenza è un numero appartenente ad N solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Se il minuendo è minore del sottraendo, la differenza non è in N: possiamo dunque dire che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.

La sottrazione gode della proprietà

Invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero sia al minuendo che al sottraendo. Possiamo anche dire:

" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)

a – b = (a + c) – (b + c)

a – b = (a – c) – (b – c)

Per eseguire addizioni e sottrazioni in colonna occorre scrivere nella stessa colonna le unità dello stesso ordine sia intere che decimali, pareggiando le cifre decimali e considerando come decimali anche i numeri interi.

Si inizia a sommare o sottrarre dalla colonna più a destra e nel risultato la virgola sarà sotto alle altre virgole.

Es.: 453 + 22, 13 + 3,7

Es.: 8456 – 318,279

Abbiamo visto che nella sottrazione, se il minuendo è minore del sottraendo, non è possibile eseguire l’operazione in N. E’ quindi necessario allargare l’ambito numerico considerando non solo i numeri interi positivi, ma introducendo anche i numeri interi negativi.

N⁺ + N^-  formano l’insieme dei numeri interi relativi, detto insieme Z.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      L’addizione è un’operazione interna all’insieme N?

2.      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?

3.      Qual è l’insieme indicato dalla lettera Z?

4.      Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?

8 + 7 + 2 = 8 + 2 + 7

38 + 12 + 5 = (38 + 12) + 5

30 + 6 + 9 = 36 + 9

36 – 7 = (36 – 6) – (7 – 6)

5 + 7 + 8 + 2 = 12 + 10

6 + 3 + 4 = 6 + 4 + 3

23 + 16 + 14 = 23 + (16 + 14)

5.      Esegui queste addizioni applicando le proprietà come vedi nell’esempio:

32 + 15 + 18 =  32 + 18 + 15 = (32 + 18) + 15 = 50 + 15 = 65

39 + 16 + 11
43 + 8 + 27 

6.      Esegui queste sottrazioni applicando la proprietà invariantiva come vedi nell’esempio:

38 - 15 =     (38 + 2) – (15 + 2) = 40 – 17 = 23

                   (38 - 5) – (15 - 5) = 33 – 10 = 23

35 - 23

68 – 22

64 - 36 

7.      Metti in colonna e scrivi il risultato

72, 154 + 7,003 + 3, 519

61,84 + 1,5 + 2, 88 + 78,62

3860,47 – 317,31

9376 – 482,313

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