La simmetria assiale

La simmetria assiale è una trasformazione geometrica originata da un ribaltamento di asse a. Questo asse è detto asse di simmetria. Questa trasformazione mantiene invariata l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei segmenti.

Possiamo vedere come ogni punto della prima figura abbia un corrispondente punto nella seconda figura e come la distanza dei punti A, B, C, …. dall’asse a sia uguale alla rispettiva distanza dei punti A’, B’, C’ dall’asse a.

Le due figure ottenute sono inversamente congruenti.

Possiamo avere diverse situazioni realizzando figure corrispondenti in una simmetria assiale:

·     l’asse di simmetria è esterno alla figura, come abbiamo visto nell’esempio sopra.

·     L’asse di simmetria è interno alla figura 

Vediamo quali e quanti sono gli assi di simmetria di alcuni poligoni

Passiamo ora a considerare alcuni casi di composizione di simmetria assiale, ricordando che comporre due trasformazioni geometriche significa applicarle in successione, questa composizione si chiama prodotto e si indica con Ä

Vediamo il caso A

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse f.

I due assi a e f sono tra loro paralleli.

Se osserviamo la figura originaria E e la figura finale E’’ ci accorgiamo che sono direttamente congruenti: è come se avessimo fatto una traslazione di vettore  

Vediamo il caso B

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse b.

I due assi a e b sono tra loro incidenti e si intersecano nel punto O.

Se osserviamo la figura originaria A e la figura finale A’’ ci accorgiamo che non siamo in presenza né di una simmetria assiale né di una traslazione, bensì di una rotazione che ha il centro nel punto O ed un’ampiezza doppia dell’angolo formato dai due assi.

Vediamo il caso C

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse c.

I due assi a e c sono tra loro incidenti e perpendicolari e si intersecano nel punto O.

Essendo i due assi incidenti, per quanto detto nell’esempio precedente, il prodotto delle due simmetrie assiali sarà una rotazione di centro O e di ampiezza 180°. Si tratta di una particolare rotazione, detta simmetria centrale.

Infatti, osservando la figura B e la figura B’’ ci accorgiamo che se consideriamo un punto H ed il corrispondente punto H’’ il segmento che li unisce passa per il centro O che è il punto medio del segmento HH’’.

E la stessa cosa vale per ogni punto delle due figure.

Abbiamo visto quindi che, date due simmetrie assiali S₁ ed S₂, il loro prodotto non è mai una simmetria assiale.

I casi possono essere questi:

·    Se i due assi di simmetria sono paralleli, il loro prodotto è una traslazione. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = T (caso A)

·    Se i due assi di simmetria sono incidenti, il loro prodotto è una rotazione. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = R (caso B)

·    Se i due assi di simmetria sono incidenti e perpendicolari, il loro prodotto è una rotazione particolare, detta simmetria centrale. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = S_c (caso C)

ESERCIZI

·     Che cos’è una simmetria assiale?

·     Come sono due figure ottenute per simmetria assiale?

·     Indica se VERO o FALSO

­       Il prodotto di due simmetrie assiali non è mai una simmetria assiale

­       Il prodotto di due simmetrie assiali è una simmetria assiale

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una traslazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli è una rotazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti è una rotazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una simmetria centrale

·     Disegna le due figure G’ e G’’ ottenute applicando due simmetrie assiali con gli assi a e b perpendicolari. Qual è il prodotto delle due simmetrie assiali? 

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