La congruenza



In geometria si chiamano movimenti rigidi le trasformazioni che non alterano la forma e l’estensione di una figura.
Due figure geometriche sono congruenti quando, in seguito ad una sovrapposizione attuata con uno o più movimenti rigidi che non comportino deformazioni, coincidono perfettamente.

Per controllare se due figure sono congruenti dobbiamo procedere ad una sovrapposizione attuando un movimento rigido.
Possiamo avere due tipi di movimenti: diretti od inversi.
Consideriamo questo esempio:


Per sovrapporre queste due figure è sufficiente spostare la prima sul piano finché i suoi vertici coincidono con la seconda figura: si tratta di un movimento diretto che avviene nel piano in cui giacciono le due figure. Le due figure si dicono direttamente congruenti.
Se invece consideriamo quest’altro esempio:


vediamo che per sovrapporre le due figure bisogna prima operare un ribaltamento di A, uscendo quindi dal piano in cui giacciono le figure, e successivamente uno spostamento per sovrapporre i vertici: si tratta di un movimento inverso che si compie uscendo dal piano che contiene le due figure da sovrapporre. Le due figure si dicono inversamente congruenti.

La relazione di congruenza si indica con il simbolo @.
Quindi possiamo dire che A @ A’
La relazione di congruenza gode della proprietà riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa.
A @ A

La relazione di congruenza gode della proprietà simmetrica: se A è congruente ad A’, anche A’ sarà congruente ad A.
Se A @ A’Þ A’ @ A


La relazione di congruenza gode della proprietà transitiva: se la figura A è congruente alla figura B e la figura B è congruente alla figura C allora anche A sarà congruente a C.
Se A @ B e B @  C Þ A @ C

Poiché la relazione di congruenza gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, possiamo dire che la relazione di congruenza è una relazione di equivalenza.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

·        Quali, tra le seguenti affermazioni, sono vere?
o       La relazione di congruenza è una relazione di equivalenza
o       La congruenza mantiene uguale l’ampiezza degli angoli, ma non la lunghezza dei segmenti
o       Due figure sono congruenti se coincide un solo vertice
o       La relazione di congruenza è una relazione che non altera la forma e l’estensione di una figura
·        Di quali proprietà gode la relazione di congruenza?
·        Qual è la proprietà indicata in simboli?
A @ A
Se A @ B e B @  C Þ A @ C
Se A @ A’Þ A’ @ A
·        Indica con quale movimento si passa da una figura alle successive figure congruenti

Da A ad A’: movimento …………………
Da A’ ad A’’: movimento …………………
Da A ad A’’: movimento …………………
·        Indica con quale movimento si passa da una figura alle successive figure congruenti

Da B ad B’: movimento …………………
Da B’ ad B’’: movimento …………………
Da B ad B’’: movimento …………………

·        Disegna la figura congruente che si ottiene con un movimento diretto


·        Disegna la figura congruente che si ottiene con un movimento inverso





Quadrilateri: caratteristiche e classificazione


Sappiamo che i quadrilateri sono poligoni con 4 lati, 4 vertici e 4 angoli.
Come abbiamo già visto parlando di poligoni, la somma degli angoli esterni è sempre 360° così come la somma degli angoli interni segue la regola (n° lati – 2) angoli piatti, quindi anche la somma degli angoli interni sarà 360°.
Anche nei quadrilateri ogni lato deve essere minore della somma degli altri lati.
Le diagonali per vertice seguono la regola (n° lati – 3), quindi nei quadrilateri avremo una diagonale per vertice. Un quadrilatero complessivamente ha 2 diagonali.
Vediamo ora come possiamo classificare i quadrilateri.
L’insieme Q dei quadrilateri convessi si può suddividere innanzitutto nel sottoinsieme T dei trapezi (se hanno due lati opposti paralleli) e nel sottoinsieme dei non trapezi (se non hanno lati paralleli).

L’insieme T dei trapezi  poi si può suddividere nel sottoinsieme P dei parallelogrammi (se hanno le due coppie di lati opposti paralleli e congruenti) e nel sottoinsieme dei trapezi non parallelogrammi (una sola coppia di lati opposti paralleli).

L’insieme P dei parallelogrammi a sua volta può essere suddiviso nel sottoinsieme Re dei rettangoli (parallelogrammi con i quattro angoli retti), nel sottoinsieme Ro dei rombi (parallelogrammi con tutti e quattro i lati congruenti) e nel sottoinsieme Qu dei quadrati. Quest’ultimo costituisce l’intersezione del sottoinsieme dei rettangoli con il sottoinsieme dei rombi perché possiede le caratteristiche di entrambi: 4 angoli retti come i rettangoli e 4 lati congruenti come i rombi.


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.



ESERCIZI

·    Che cos’è un quadrilatero?
·    Qual è la misura della somma degli angoli interni di un quadrilatero?
·    Qual è la misura della somma degli angoli esterni di un quadrilatero?
·    Quante diagonali in tutto possiamo tracciare in un quadrilatero? Quante diagonali partono da ciascun vertice?
·    Stabilisci con quali di queste lunghezze, riferite a 4 segmenti, è possibile costruire un quadrilatero.
a.       3, 6, 8, 13;
b.      6, 8, 10, 28;
c.       11, 9, 6, 17;
d.      11, 16, 10, 39;
·    In un quadrilatero gli angoli possono essere tutti e 4 acuti? Tutti e 4 retti? Tutti e 4 ottusi? Giustifica la tua risposta.
·    Stabilisci con quali di queste ampiezze, relative a 4 angoli, si potrà avere un quadrilatero.
a.       90, 120, 110, 50
b.      80, 120, 79, 81
c.       75, 130, 56, 90
d.      150, 88, 31, 100

·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno i lati opposti a due a due paralleli?
a.       Trapezio isoscele
b.      Romboide
c.       Rombo
d.      Quadrato
e.       Rettangolo
·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno i lati opposti a due a due congruenti?
a.       Trapezio isoscele
b.      Romboide
c.       Rombo
d.      Quadrato
e.       Rettangolo

·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno 4 angoli retti?
a.       Trapezio rettangolo
b.      Trapezio isoscele
c.       Romboide
d.      Rombo
e.       Quadrato
f.        Rettangolo

·    Quali, tra i seguenti quadrilateri, hanno 4 lati congruenti?
a.       Trapezio scaleno
b.      Trapezio isoscele
c.       Romboide
d.      Rombo
e.       Quadrato
f.        Rettangolo

·    Nel quadrilatero raffigurato abbiamo:
p = 40 cm
AB = CD + 1 cm
BC = CD + 2 cm
AD = CD + 5 cm
a = b - 3°
d = 115°
y = 72°
Calcola la misura di ogni lato e l’ampiezza degli angoli a e b
  

Caratteristiche dei triangoli e criteri di congruenza

Consideriamo alcune caratteristiche del triangolo isoscele:
·      Gli angoli alla base sono congruenti
·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base coincidono in un unico segmento
·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) sono punti che si trovano su questo unico segmento.
 Vediamo ora le caratteristiche del triangolo equilatero:
·      Ha i tre lati congruenti e gli angoli stessa ampiezza (60°): è quindi un poligono regolare
·      L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato coincidono in un unico segmento
·      Ortocentro (O), circocentro (C), baricentro (B) ed incentro (I) coincidono in un unico punto , detto centro del triangolo equilatero.
Passiamo alle caratteristiche del triangolo rettangolo.
·      Poiché la somma degli angoli interni di un triangolo è 180° ed un angolo è retto, gli altri due angoli sono complementari, la loro somma è cioè 90°
·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 45° anche l’altro angolo acuto quindi sarà di 45°: il triangolo rettangolo sarà anche isoscele con i due cateti congruenti.
·      Se un triangolo rettangolo ha un angolo acuto di 30°, l’altro angolo acuto sarà di 60°: possiamo considerare questo triangolo come la metà di in triangolo equilatero che ha i lati della stessa lunghezza dell’ipotenusa. Nel triangolo equilatero l’altezza BA è anche mediana e bisettrice, quindi A è il punto medio di DC: ne deriva che il cateto AC opposto all’angolo di 30° è la metà dell’ipotenusa BC.


Sappiamo che due triangoli sono congruenti se, sovrapponendoli, coincidono perfettamente.
Esistono però dei criteri per riconoscere la congruenza tra triangoli senza la necessità di procedere a sovrapposizioni.
Il I criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra essi compreso.


Il II criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti un lato ed i due angoli ad esso adiacenti.



Il III criterio di congruenza dei triangoli afferma che due triangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti i tre lati.


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo rettangolo
I due angoli acuti sono …………………………..
Se un angolo acuto è ampio 45°, l’altro angolo acuto misurerà …….. ° e quindi il triangolo è anche ………………………
Se un angolo acuto è ampio 30°, l’altro angolo acuto misurerà ………. ° ed il cateto opposto all'angolo di 30° ………………………………………………………………………………
·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo isoscele
I lati obliqui sono …………………….
Gli angoli alla base sono …………………………..
L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi alla base …………………………………
…………………………………………………………………………………………………
Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro sono punti che si trovano ……………………
…………………………………………………………………………………………………

·    Completa le frasi relative alle caratteristiche del triangolo equilatero
I tre lati sono ………………………….
I tre angoli sono …………………………. e misurano ciascuno ……….. °
E’ un poligono regolare perché ……………………………………………………………
L’altezza, l’asse, la mediana e la bisettrice relativi ad un qualunque lato ……………………
…………………………………………………………………………………………………
Ortocentro, circocentro, baricentro ed incentro coincidono ………………………………, detto ………… del triangolo equilatero.

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:
triangolo ABC: AB = 8 cm – BC = 10 cm - angolo in B = 52°
triangolo FGH: FG = 8 cm – GH = 10 cm - angolo in G = 52°

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli rettangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:
triangolo ABC: cateto AB = 12 cm – cateto BC = 15 cm
triangolo DEF: cateto DE = 12  cm – cateto EF = 15 cm

·    Considera le misure conosciute di questi due triangoli e spiega se sono congruenti ed in base a quale criterio:
triangolo ABC: AB = 16 cm – BC = 21 cm - AC = 29 cm
triangolo CDE: CD = 16 cm – DE = 21 cm - CE = 29 cm

·    Di un triangolo ottusangolo ABC con BH altezza relativa al lato AC, conosciamo questi dati:
BC = 20 cm
AB = 6,2 cm
AH = HC – 15
P = 50,2 cm
b =  125 °
g = 10°

a)      Trova l’ampiezza dell’angolo a
b)      Trova l’ampiezza degli angoli interni del triangolo HBA e del triangolo BCH
c)      Che tipo di triangolo è HBA?
d)      Calcola il perimetro del triangolo HBA e del triangolo BCH

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La notazione esponenziale

Consideriamo le potenze di 10
100 = 1
101 = 10
102 = 100
103 = 1 000
104 = 10 000
105 = 100 000
106 = 1 000 000
107 = 10 000 000
108 = 100 000 000
109 = 1 000 000 000
1010 = 10 000 000 000
Possiamo vedere che i risultati corrispondono al numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le unità indicate dall'esponente.
Ora, come già sappiamo, le potenze ci consentono di scrivere numeri molto grandi in maniera più semplice attraverso la notazione esponenziale.
Vediamo come fare.
Consideriamo il numero 4 567 703
Proviamo a scomporlo utilizzando la scrittura polinomiale:
4 x 1 000 000 + 5 x 100 000 + 6 x 10 000 + 7 x 1 000 + 7 x 100 + 3 x 1
Considerato quanto abbiamo detto all'inizio, dalla scrittura polinomiale passiamo alla notazione esponenziale
4 x 106 + 5 x 105 + 6 x 104 + 7 x 103 + 7 x 102 + 3 x 100
Vediamo un altro esempio.
54 000 540
Scrittura polinomiale: 5 x 10 000 000 + 4 x 1 000 000 + 5 x 100 + 4 x 10
Notazione esponenziale: 5 x 107 + 4 x 106 + 5 x 102 + 4 x 101
Proviamo ora a scrivere subito la notazione esponenziale di questi numeri che terminano tutti con uno o più zeri.
80 000 000 000 = 8 x 1010
25 000 000 000 000 = 2 x 1013 + 5 x 1012 oppure possiamo indicare anche così: 25 x 1012 (dopo le cifre 25 ci sono 12 zeri)
32 400 000 = 3 x 107 + 2 x 106 + 4 x 105 oppure 324 x 105
1 200 = 1 x 103 + 2 x 102 oppure 12 x 102
Le potenze ci permettono di scrivere anche numeri molto piccoli in modo semplificato attraverso la notazione esponenziale.
Vediamo questi esempi:
101 : 102 = 10 : 100 = 0,1
101 : 102 = 101-2 = 10-1
Quindi 0,1 = 10-1

101 : 103 = 10 : 1 000 = 0,01
101 : 103 = 101-3 = 10-2
Quindi 0,01 = 10-2

101 : 104 = 10 : 10 000 = 0,001
101 : 104 = 101-4 = 10-3
Quindi 0,001 = 10-3

Proseguendo
0,0001 = 10-4
0,00001 = 10-5
0,000001 = 10-6
Notiamo che il numero di cifre decimali corrisponde all'esponente negativo

Siamo quindi ora in grado di scrivere con la notazione esponenziale anche i numeri decimali.
Es.:
6,2894
Scrittura polinomiale
6 x 1 + 2 x 0,1 + 8 x 0,01 + 9 x 0,001 + 4 x 0,0001
Notazione esponenziale
6 x 100 + 2 x 10-1 + 8 x 10-2 + 9 x 10-3 + 4 x 10-4

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI
1.      Indica se le seguenti potenze sono esatte e correggi quelle errate
103 = 1 000
108 = 10 000 000
105 = 10 000
107 = 10 000 000
10-3 = 0,0001
10-2 = 0,01
10-5 = 0,00001

2.      Indica se le seguenti uguaglianze sono corrette e procedi alla correzione di quelle sbagliate
6 804 = 6 x 103 + 8 x 102 + 4 x 100
30 482 = 3 x 104 + 4 x 103 + 8 x 102 + 2 x 101
870 000 = 8 x 105 + 7 x 104
400 380 = 4 x 104 + 3 x 103 + 8 x 102
42 x 108 = 42 000 000
8 x 105 = 80 000
32 000 000 = 32 x 106
54 000 000 000 = 54 x 107

3.      Scrivi usando la notazione esponenziale i seguenti numeri
843 000 =
250 000 000 =
6 100 000 000 000 =
0,0008 =
0,0000000006 =

4.      Scomponi usando la notazione esponenziale
6,236 =
818,2 =
3 804,27 =
83,007 =


Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca