Problemi di ripartizione

Esaminiamo questa situazione.

Un segmento lungo 240 cm viene diviso in tre parti direttamente proporzionali ai numeri 4, 5 e 6. Qual è la lunghezza delle tre parti?

Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti direttamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice diretta.

Chiamiamo x, y, z le lunghezze delle tre parti in cui deve essere diviso il segmento; sappiamo poi che queste lunghezze devono essere direttamente proporzionali rispettivamente ai numeri 4, 5 e 6.

Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti:

x : 4 = y : 5 = z : 6

A questa catena si può applicare la proprietà del comporre: la somma degli antecedenti sta alla somma dei conseguenti  come ogni antecedente sta al proprio conseguente. Quindi:

(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = x : 4

(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = y : 5

(x + y + z) : (4 + 5 + 6) = z : 6

da cui otteniamo

240 : 15 = x : 4

240 : 15 = y : 5

240 : 15 = z : 6

Risolviamo le tre proporzioni e scopriremo la lunghezza delle tre parti.

La lunghezza delle tre parti è di 64 cm, 80 cm, 96 cm.

Vediamo ora quest’altra situazione.

In una gara podistica in montagna vengono premiati i primi tre arrivati. L’ammontare totale del premio è di € 1 500 che sarà assegnato in modo inversamente proporzionale al tempo impiegato, che è stato rispettivamente di 55, 50 e 45 minuti. Quale sarà il premio spettante a ciascun podista?

Questo tipo di problemi in cui una grandezza deve essere suddivisa in parti inversamente proporzionali ad un gruppo di numeri si dicono problemi di ripartizione semplice inversa.

Chiamiamo x, y, z l’ammontare dei tre premi; sappiamo poi che questo ammontare deve essere inversamente proporzionale ai tempi 45^m, 50^m, 55 ^m.

Possiamo quindi scrivere la seguente catena di rapporti: 

 

L’ammontare dei tre premi sarà di € 451,50, € 496,66 ed € 551,84

ESERCIZI

·      Un angolo giro deve essere diviso in tre angoli con le ampiezze direttamente proporzionali ai numeri 2, 3 e 5. Qual è l’ampiezza di ciascun angolo?

·      Un angolo piatto viene diviso in 4 parti inversamente proporzionali a 3/5, 5/4, 3/2 e 5. Calcola l’ampiezza di ciascuna parte.

·      In un piccolo condominio di quattro appartamenti occorre affrontare una spesa straordinaria di 24 000 euro che sarà ripartita in ragione diretta alla superficie di ogni appartamento. Se la superficie degli appartamenti è di 100 m², 70 m², 120 m² e 110 m² quanto dovrà pagare ogni proprietario?

·      Tre Comuni devono effettuare un lavoro di manutenzione straordinaria su una galleria che si trova nella strada che collega i suddetti comuni. La somma preventivata è di 196000 euro. Si decide di suddividere la somma dovuta dai Comuni in parti inversamente proporzionali alle distanze dei Comuni dalla galleria. Conoscendo che le distanze sono rispettivamente 5 km, 8 km, 12 km, quale sarà la spesa di ciascun Comune?

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