Superficie e volume del tronco di cono

Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.

Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.

Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è la generatrice e viene detto apotema del tronco di cono, le due basi del trapezio sono i raggi  della base maggiore e della base minore del tronco di cono.

Superficie laterale

La superficie laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del tronco e come altezza l’apotema del tronco.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C + C’)  ^. a)/2

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C + C’ =  S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C + C’  

Superficie totale

L’area della superficie totale di un tronco di cono si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b + A_b’

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t – (A_b + A_b’)                    (A_b + A_b’ ) = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del tronco di piramide.

Siccome A_b= πr²₁ e A_b’= πr²₂

ESERCIZI

·         Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della superficie laterale.

·         Un tronco di cono ha i due raggi lunghi rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 1348 π cm², calcola la misura dell’apotema.

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Superficie e volume del cono

Possiamo ottenere il cono dalla rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.

Se l’apotema del cono è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.

Superficie laterale

La superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla circonferenza di base del cono.

Ora, noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html)  che l’area di un settore circolare  si può calcolare moltiplicando la lunghezza del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C  ^. a)/2 oppure S_l = πra

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C  oppure a = S_l / πr         r =  S_l / πa

Superficie totale

L’area della superficie totale di un cono si otterrà sommando l’area di base all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - A_b                    A_b = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro e dividendo per 3.

Possiamo dunque stabilire che il volume di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo per 3.

V = (A_b ^. h)/ 3 oppure V = πr²h/3

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V  ^. 3 /h                  h = V  ^. 3 / A_b oppure V  ^. 3 / πr²

ESERCIZI

• Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm². Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)

• In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm². Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.

• Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m². Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro  è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.

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