Lunghezza della circonferenza e di un arco

Cerchiamo di comprendere alcuni concetti relativi alla lunghezza della circonferenza.

Essendo la circonferenza una linea curva chiusa, per poterne misurare la lunghezza occorre rettificarla, cioè trasformarla in un segmento che potremo misurare senza difficoltà.

Proviamo a rettificare tre circonferenze di lunghezza diversa.

Possiamo constatare che la lunghezza del diametro è contenuta nella lunghezza della circonferenza sempre 3,…. volte.

Il problema è la determinazione esatta del valore che segue la virgola: molti matematici si sono dedicati a questo studio scoprendo che si tratta di un numero irrazionale con infinite cifre decimali, per cui è impossibile determinarne esattamente il valore, avremo sempre un valore approssimato.

Le prime 100 cifre decimali di questo numero sono:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067…

e spesso si usa la prima approssimazione di Archimede: 3,14

Abbiamo visto che il rapporto quindi fra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro è sempre costante: 

per cui possiamo ricavare in modo approssimato la lunghezza della circonferenza e del diametro

 C = d  ^. 3,14 e conseguentemente

Vediamo una situazione problematica.

La lunghezza di una circonferenza è di 163,28 m. Calcola la misura del suo diametro.

Possiamo utilizzare la soluzione numerica approssimata: d = 163,28 : 3,14 = 52 m

Esaminiamo queste altre due situazioni.

·      Una circonferenza ha il raggio lungo 30 cm; calcola la sua lunghezza.

Possiamo utilizzare la soluzione numerica applicando la formula C = π ^. 2r quindi

 C = (3,14 ^. 2 ^. 30) cm = 188,4 cm

Possiamo usare la soluzione con la costante π:

C = 2 . 30 . π = 60 π  cm

·      Calcola la misura del raggio di una circonferenza lunga 50 m.

             

 

Una volta conosciuta la circonferenza possiamo ricavare la lunghezza anche di qualsiasi arco della circonferenza. Guardiamo questo esempio:

L’angolo al centro di 30° forma l’arco AB, quello di 60° l’arco AC mentre l’angolo di 90° forma l’arco AD. Ci accorgiamo che le due grandezze (ampiezza dell’angolo al centro e lunghezza degli archi corrispondenti) sono direttamente proporzionali perché raddoppiando l’ampiezza di uno raddoppia la lunghezza dell’altro. Dobbiamo poi ricordare che l’angolo al centro di 360° corrisponde a tutta la circonferenza.

Vediamo un esempio.

Calcola la lunghezza di un arco ampio 45° appartenente ad una circonferenza con il raggio di 32 cm. (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)

Soluzione numerica

Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 45° mentre ignoriamo sia C che l.

Conoscendo il raggio possiamo trovare la circonferenza: (2 ^. 3,14 ^. 32) cm = 200,96 cm

Riscriviamo la proporzione per trovare la lunghezza l dell’arco

360° : 45° = 200,96 : x

 Soluzione esatta

(2 ^. π^. 32) cm = 64π cm circonferenza

360° : 45° = 64π : x

 

Un altro esempio

Un arco è lungo 12,88 m ed insiste su un angolo al centro di ampiezza 40°. Quanto misura il raggio della sua circonferenza? (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)

Soluzione numerica

Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 40° e che l = 12,88 m mentre ignoriamo C.

Riscriviamo la proporzione per trovare C.

360° : 40° = x : 12,88

ESERCIZI

• La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 180π e una è il doppio dell’altra. Calcola la lunghezza dei raggi delle due circonferenze.

• La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 38,16 cm e una è i 4/5 dell’altra. Calcola la misura dei loro diametri. (Cerca il risultato esatto usando π)

• Due circonferenze sono tangenti esternamente e la distanza tra i loro centri è di  30 cm. Sapendo che la lunghezza di una circonferenza è 113,04, calcola la lunghezza dell’altra. (Cerca il risultato approssimato usando π = 3,14) 

•  Una circonferenza è inscritta in un quadrato avente l’area di 961 cm2. Calcola la lunghezza della circonferenza. 

• Un arco appartiene ad una circonferenza avente il raggio di 25 cm; l’angolo al centro corrispondente all’arco è ampio 72°. Calcola la misura della lunghezza dell’arco. (Cerca il risultato esatto usando π). 

•  Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che il suo arco è lungo 87,4 cm ed il corrispondente angolo al centro ha un’ampiezza pari ai 2/5 di un angolo retto. (Cerca il risultato esatto usando π).  

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Angoli al centro e angoli alla circonferenza

ANGOLI ALLA CIRCONFERENZA

Premetto che gli archi e gli angoli dovrebbero essere indicati così:

Per comodità non userò questa notazione, incompatibile con la piattaforma di Blogger.

Consideriamo una circonferenza  di raggio r e di centro O. Su di essa stabiliamo un punto P e da esso facciamo partire due semirette qualsiasi che incontrino la circonferenza nei due punti A e B. Si determina così un arco AB ed un angolo convesso α.

L’ angolo convesso α si chiama angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB.

Sopra abbiamo considerato un cerchio  di raggio r e di centro O. Facciamo partire dal centro O due semirette qualsiasi che incontrano la circonferenza nei due punti A e B. Si determinano così due archi e due angoli, convesso α e concavo α’.

I due angoli α e α’ sono esplementari perché la loro somma è 360°.

Esaminiamo ora due casi particolari di angoli al centro:

Se l’angolo al centro è originato da due semirette perpendicolari, l’angolo al centro α sarà retto e insisterà sull’arco AB che è la quarta parte della circonferenza.

Se l’angolo al centro è determinato da due semirette adiacenti, quindi dal diametro, gli angoli al centro α e α’ saranno piatti ed insisteranno su archi corrispondenti alla semicirconferenza.

Vediamo ora alcune proprietà legate agli angoli al centro o alla circonferenza.

I due angoli al centro α e α’ insistono rispettivamente sui due archi AB e CD non coincidenti e congruenti tra loro (AB@CD): gli angoli al centro α e α’ sono anch’essi congruenti. Possiamo quindi dire che due angoli al centro sono congruenti se insistono su archi congruenti.

Dato un arco AB, tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sul suddetto arco sono tra loro congruenti (α@β@γ). Possiamo quindi affermare  che tutti gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono congruenti.

Dato l’angolo alla circonferenza α  che insiste sull’arco AB e l’angolo alla circonferenza β che insiste sull’arco CD, se gli archi AB e CD sono congruenti e non coincidenti gli angoli α e β sono congruenti (α@β). Possiamo dunque affermare che due angoli alla circonferenza che insistono su due archi congruenti sono anch’essi congruenti.

Consideriamo un arco AB, l’angolo al centro α che insiste sull’arco AB e l’angolo β, uno qualsiasi degli angoli alla circonferenza corrispondenti all’arco AB. L’angolo α è il doppio dell’angolo β (α=2 β). Possiamo dunque dire che in una circonferenza l’angolo al centro che insiste su un arco è sempre il doppio di qualsiasi angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

ESERCIZI

·      Completa la tabella, sapendo che α è l’angolo al centro e β il corrispondente angolo alla circonferenza.

α	β
47°32’
	65°
51°26’
	27°18’

·      Un angolo al centro insiste su una semicirconferenza. Quanto è ampio? Quanto è ampio il corrispondente angolo alla circonferenza?

·      Un angolo alla circonferenza misura 20°; quanto misura il corrispondente angolo al centro? Su quale parte di circonferenza insiste?

·      Un angolo alla circonferenza insiste su un arco uguale a 1/3 della circonferenza. Quanto è ampio?

·      Osserva la seguente figura: sapendo che l’arco CD è pari ai 2/5 della circonferenza, calcola l’ampiezza degli angoli del quadrilatero ACBD.

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