Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, con il cateto AB
lungo 4 cm, il cateto AC 3 cm e l’ipotenusa BC lunga 5 cm.
Prendiamo come unità di misura u = 1 cm
Abbiamo costruito un quadrato su ogni lato del triangolo
rettangolo. Possiamo constatare che:
1) L’area
del quadrato costruito sul cateto maggiore misura 16 cm2,
corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 16 cm2 = 42
2) L’area
del quadrato costruito sul cateto minore misura 9 cm2, corrisponde
cioè al quadrato della misura del lato. 9 cm2 = 32
3) L’area
del quadrato costruito sull’ipotenusa misura 25 cm2, corrisponde
cioè al quadrato della misura del lato. 25 cm2 = 52
Ci accorgiamo che l’area del quadrato costruito
sull’ipotenusa corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui
cateti.
25 cm2 = 16 cm2 + 9 cm2
Questa caratteristica è valida per tutti i triangoli
rettangoli?
Nel VI secolo a. C. il matematico e filosofo greco Pitagora
enunciò il suo teorema (si tratta di
una proposizione dimostrabile logicamente partendo da un’ipotesi per giungere alla tesi)
generalizzando questa proprietà a tutti i triangoli rettangoli. Il teorema di Pitagora ci dice infatti che
in ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è
uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.
Qual è l’utilità di questo teorema? E’ quella di poter conoscere la
misura di ogni lato di un triangolo rettangolo, essendo note le misure degli
altri due lati.
Dal teorema di Pitagora possiamo ricavare la seguente formula,
indicando con C il cateto maggiore,
con c il cateto minore e con i l’ipotenusa:
C2 + c2
= i2
Da questa formula possiamo derivare le altre due
i2 – c2
= C2
i2 – C2
= c2
E’ evidente che utilizzando queste tre formule possiamo
ricavare la misura di ciascun lato di qualunque triangolo rettangolo,
conoscendo al misura degli altri due.
Immaginiamo di avere questo triangolo
Poiché nelle formule indicate sopra si ricava la misura dei
lati elevati al quadrato, sarà sufficiente eseguire l’operazione opposta
all’elevamento a potenza, cioè l’estrazione di radice quadrata.
Le tre formule quindi diventano:
Se vogliamo trovare l’ipotenusa, conoscendo i due cateti,
dobbiamo sommare il quadrato delle misure dei due cateti ed estrarre la radice
quadrata della somma ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi
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Se vogliamo trovare la misura di uno dei due cateti,
conoscendo la misura dell’ipotenusa e dell’altro cateto, dobbiamo calcolare la
differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa ed il quadrato del
cateto noto ed estrarre la radice quadrata della differenza ottenuta. Nel
triangolo considerato sopra avremo quindi
ESERCIZI
·
Abbiamo un triangolo rettangolo di cui sappiamo
che uno dei cateti è i 3/4 dell’altro e che la loro somma è 77 cm. Qual è il
perimetro e l’area del triangolo?
·
Sommando la lunghezza dell’ipotenusa e di un
cateto di un triangolo rettangolo otteniamo la misura di 392 m; sapendo che la
loro differenza è di 338 m, calcola il perimetro e l’area del triangolo.
·
Di un triangolo rettangolo conosciamo che
l’ipotenusa misura 26 cm mentre la lunghezza di un cateto è di 15,6 cm.
L’altezza relativa all’ipotenusa divide la stessa in due segmenti, di cui
vogliamo conoscere le misure.
·
Un triangolo rettangolo ha un cateto di 14 cm e
l’area di 73,5 cm2. L’altezza relativa all’ipotenusa divide il
triangolo di partenza in due triangoli. Calcola l’area di ciascuno dei due
triangoli.
