Area del cerchio e delle sue parti

Nell’immagine si vedono alcuni cerchi in cui sono stati inscritti dei poligoni regolari con un numero crescente di lati (7, 9 12 rispettivamente): notiamo che aumentando il numero dei lati del poligono, il perimetro di questo tende sempre più a coincidere con la circonferenza mentre la lunghezza dell’apotema tende sempre più ad essere congruente a quella del raggio.

E’ chiaro quindi che immaginando un poligono con sempre più lati, anzi con infiniti lati, il suo perimetro andrà a coincidere con la circonferenza, l’apotema sarà congruente al raggio e quindi l’area del poligono sarà uguale all’area del cerchio.

L’area del poligono si calcola con la formula 

Dovendo risolvere problemi sul calcolo dell’area della superficie di un cerchio  potremo approssimare π a 3,14 oppure lasciare indicato il simbolo π.

Area del settore circolare

C’è una formula che permette di calcolare l’area di un settore circolare: indichiamo con l la lunghezza dell’arco che limita il settore circolare, con r il raggio della circonferenza. 

 

 

Si può procedere anche diversamente. Notiamo dall’immagine sopra che ad un angolo al centro di 360° corrisponde l’area di tutto il cerchio ed osserviamo anche che l’angolo al centro e l’area del rispettivo settore circolare sono grandezze direttamente proporzionali. Potremo dunque dire che:

A_s : A_c = α° : 360°

Area del segmento circolare

Sappiamo che una qualsiasi corda appartenente ad un cerchio permette di ottenere due segmenti circolari, uno minore della semicirconferenza (fig. 1) ed uno maggiore della semicirconferenza (fig 2).

Nel primo caso l’area del segmento circolare si otterrà sottraendo dall’area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza l’area del triangolo ABO (fig 1 bis); nel secondo caso l’area si otterrà invece sommando all’area del settore circolare corrispondente l’area del triangolo ABO (fig 2 bis).

Area della corona circolare

L’area della corona circolare si otterrà sottraendo dall’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore. Quindi: π R² - π r²

ESERCIZI

·      Due cerchi hanno l’area rispettivamente di 615,44 cm² e di 379,94 cm². Calcola l’area di un terzo cerchio con il raggio congruente alla differenza dei raggi dei due cerchi dati.

·      L’area di un settore circolare è di 314 cm² e il diametro del cerchio a cui appartiene misura 24 cm. Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Un settore circolare è limitato da un arco lungo 62 cm e appartiene ad un cerchio con l’area di 3364 π cm². Calcola l’area del settore.

·      In un cerchio un settore circolare ha l’area di 32 π cm² ed è limitato da un arco lungo 12,56 cm. Calcola l’area del cerchio.

·      Sapendo che un settore circolare ha l’area di 28,26 cm² e il raggio del cerchio a cui appartiene misura 6 cm, calcola:

a.      La lunghezza dell’arco che delimita il settore.

b.      L’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 90° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 24 cm.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 270° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 30 cm.

·      Una corona circolare è limitata da due circonferenze aventi i rispettivi raggi lunghi 25 e 15 cm. Calcola l’area della corona circolare.

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Lunghezza della circonferenza e di un arco

Cerchiamo di comprendere alcuni concetti relativi alla lunghezza della circonferenza.

Essendo la circonferenza una linea curva chiusa, per poterne misurare la lunghezza occorre rettificarla, cioè trasformarla in un segmento che potremo misurare senza difficoltà.

Proviamo a rettificare tre circonferenze di lunghezza diversa.

Possiamo constatare che la lunghezza del diametro è contenuta nella lunghezza della circonferenza sempre 3,…. volte.

Il problema è la determinazione esatta del valore che segue la virgola: molti matematici si sono dedicati a questo studio scoprendo che si tratta di un numero irrazionale con infinite cifre decimali, per cui è impossibile determinarne esattamente il valore, avremo sempre un valore approssimato.

Le prime 100 cifre decimali di questo numero sono:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 7067…

e spesso si usa la prima approssimazione di Archimede: 3,14

Abbiamo visto che il rapporto quindi fra la lunghezza di una circonferenza e la lunghezza del suo diametro è sempre costante: 

per cui possiamo ricavare in modo approssimato la lunghezza della circonferenza e del diametro

 C = d  ^. 3,14 e conseguentemente

Vediamo una situazione problematica.

La lunghezza di una circonferenza è di 163,28 m. Calcola la misura del suo diametro.

Possiamo utilizzare la soluzione numerica approssimata: d = 163,28 : 3,14 = 52 m

Esaminiamo queste altre due situazioni.

·      Una circonferenza ha il raggio lungo 30 cm; calcola la sua lunghezza.

Possiamo utilizzare la soluzione numerica applicando la formula C = π ^. 2r quindi

 C = (3,14 ^. 2 ^. 30) cm = 188,4 cm

Possiamo usare la soluzione con la costante π:

C = 2 . 30 . π = 60 π  cm

·      Calcola la misura del raggio di una circonferenza lunga 50 m.

             

 

Una volta conosciuta la circonferenza possiamo ricavare la lunghezza anche di qualsiasi arco della circonferenza. Guardiamo questo esempio:

L’angolo al centro di 30° forma l’arco AB, quello di 60° l’arco AC mentre l’angolo di 90° forma l’arco AD. Ci accorgiamo che le due grandezze (ampiezza dell’angolo al centro e lunghezza degli archi corrispondenti) sono direttamente proporzionali perché raddoppiando l’ampiezza di uno raddoppia la lunghezza dell’altro. Dobbiamo poi ricordare che l’angolo al centro di 360° corrisponde a tutta la circonferenza.

Vediamo un esempio.

Calcola la lunghezza di un arco ampio 45° appartenente ad una circonferenza con il raggio di 32 cm. (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)

Soluzione numerica

Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 45° mentre ignoriamo sia C che l.

Conoscendo il raggio possiamo trovare la circonferenza: (2 ^. 3,14 ^. 32) cm = 200,96 cm

Riscriviamo la proporzione per trovare la lunghezza l dell’arco

360° : 45° = 200,96 : x

 Soluzione esatta

(2 ^. π^. 32) cm = 64π cm circonferenza

360° : 45° = 64π : x

 

Un altro esempio

Un arco è lungo 12,88 m ed insiste su un angolo al centro di ampiezza 40°. Quanto misura il raggio della sua circonferenza? (Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione esatta con π)

Soluzione numerica

Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che α° = 40° e che l = 12,88 m mentre ignoriamo C.

Riscriviamo la proporzione per trovare C.

360° : 40° = x : 12,88

ESERCIZI

• La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 180π e una è il doppio dell’altra. Calcola la lunghezza dei raggi delle due circonferenze.

• La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 38,16 cm e una è i 4/5 dell’altra. Calcola la misura dei loro diametri. (Cerca il risultato esatto usando π)

• Due circonferenze sono tangenti esternamente e la distanza tra i loro centri è di  30 cm. Sapendo che la lunghezza di una circonferenza è 113,04, calcola la lunghezza dell’altra. (Cerca il risultato approssimato usando π = 3,14) 

•  Una circonferenza è inscritta in un quadrato avente l’area di 961 cm2. Calcola la lunghezza della circonferenza. 

• Un arco appartiene ad una circonferenza avente il raggio di 25 cm; l’angolo al centro corrispondente all’arco è ampio 72°. Calcola la misura della lunghezza dell’arco. (Cerca il risultato esatto usando π). 

•  Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che il suo arco è lungo 87,4 cm ed il corrispondente angolo al centro ha un’ampiezza pari ai 2/5 di un angolo retto. (Cerca il risultato esatto usando π).  

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