Criteri di similitudine e teoremi di Euclide

Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati corrispondenti sono in rapporto costante.

Consideriamo le due figure:

 Notiamo che:

AB  : A’B’  = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’

Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure non sono simili.

Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non sono simili.

Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due poligoni non sono simili.

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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.

I CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:

e quindi i due triangoli sono simili.

II CRITERIO

   

Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in figura:

BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 1,25)

I due triangoli sono simili.

 III CRITERIO

Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel caso in figura:

AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre abbiamo che α è congruente ad α’           

I due triangoli sono simili.

I criteri di similitudine dei triangoli vengono applicati in due teoremi di Euclide, riferiti solo ai triangoli rettangoli.

I teorema di Euclide

Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto in A e tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Consideriamo un secondo triangolo A’B’H’ congruente col triangolo ABH.

 

Confrontiamo ora il triangolo ABC (giallo) con il triangolo A’B’H’ (bianco). 

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che gli angoli A e H’ sono congruenti. A è congruente ad H’.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo anche che l’angolo B coincide con l’angolo B’. B è congruente a B'.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo C coincide con l’angolo A’. C è congruente a A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : B’A’ = AB : B’H’ ma poiché sappiamo che   

possiamo modificare la proporzione

BC : AB = AB : BH

Notiamo quindi che il cateto AB è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

La stessa cosa accade confrontando il triangolo AHC ed il triangolo ABC.

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo A ed H’ sono congruenti e vediamo anche che l’angolo C coincide con l’angolo C’.

L'angolo A è congruente all'angolo H'.

L'angolo C è congruente all'angolo C'

Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo B coincide con l’angolo A’.

L'angolo B è congruente all'angolo A'.

I due triangoli  dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:

BC : A’C’ = AC : H’C’ ma poiché sappiamo che 

possiamo modificare la proporzione

BC : AC = AC : HC

Notiamo quindi che il cateto AC è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.

Il I teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.

II teorema di Euclide

Abbiamo constatato che

A’B’H’ è simile ad ABC

A’H’C’ è simile ad ABC

Possiamo dunque dire, per la proprietà transitiva, che A’B’H’ è simile ad A’H’C’ e quindi i lati omologhi saranno in proporzione.

B’H’ : A’H’ = A’H’ : H’C’

per cui

BH : AH = AH : HC

Il II teorema di Euclide afferma che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.

ESERCIZI

·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 7 cm e la proiezione del cateto minore su di essa 2,52 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa misura 24 cm, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa misura 14,4 cm. Calcola l’area del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo il cateto minore misura 54 cm e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga 43,2 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.

·      In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 75 cm mentre le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono uno i 9/16 dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo.

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Area del cerchio e delle sue parti

Nell’immagine si vedono alcuni cerchi in cui sono stati inscritti dei poligoni regolari con un numero crescente di lati (7, 9 12 rispettivamente): notiamo che aumentando il numero dei lati del poligono, il perimetro di questo tende sempre più a coincidere con la circonferenza mentre la lunghezza dell’apotema tende sempre più ad essere congruente a quella del raggio.

E’ chiaro quindi che immaginando un poligono con sempre più lati, anzi con infiniti lati, il suo perimetro andrà a coincidere con la circonferenza, l’apotema sarà congruente al raggio e quindi l’area del poligono sarà uguale all’area del cerchio.

L’area del poligono si calcola con la formula 

Dovendo risolvere problemi sul calcolo dell’area della superficie di un cerchio  potremo approssimare π a 3,14 oppure lasciare indicato il simbolo π.

Area del settore circolare

C’è una formula che permette di calcolare l’area di un settore circolare: indichiamo con l la lunghezza dell’arco che limita il settore circolare, con r il raggio della circonferenza. 

 

 

Si può procedere anche diversamente. Notiamo dall’immagine sopra che ad un angolo al centro di 360° corrisponde l’area di tutto il cerchio ed osserviamo anche che l’angolo al centro e l’area del rispettivo settore circolare sono grandezze direttamente proporzionali. Potremo dunque dire che:

A_s : A_c = α° : 360°

Area del segmento circolare

Sappiamo che una qualsiasi corda appartenente ad un cerchio permette di ottenere due segmenti circolari, uno minore della semicirconferenza (fig. 1) ed uno maggiore della semicirconferenza (fig 2).

Nel primo caso l’area del segmento circolare si otterrà sottraendo dall’area del settore circolare che insiste sullo stesso arco di circonferenza l’area del triangolo ABO (fig 1 bis); nel secondo caso l’area si otterrà invece sommando all’area del settore circolare corrispondente l’area del triangolo ABO (fig 2 bis).

Area della corona circolare

L’area della corona circolare si otterrà sottraendo dall’area del cerchio maggiore l’area del cerchio minore. Quindi: π R² - π r²

ESERCIZI

·      Due cerchi hanno l’area rispettivamente di 615,44 cm² e di 379,94 cm². Calcola l’area di un terzo cerchio con il raggio congruente alla differenza dei raggi dei due cerchi dati.

·      L’area di un settore circolare è di 314 cm² e il diametro del cerchio a cui appartiene misura 24 cm. Calcola l’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Un settore circolare è limitato da un arco lungo 62 cm e appartiene ad un cerchio con l’area di 3364 π cm². Calcola l’area del settore.

·      In un cerchio un settore circolare ha l’area di 32 π cm² ed è limitato da un arco lungo 12,56 cm. Calcola l’area del cerchio.

·      Sapendo che un settore circolare ha l’area di 28,26 cm² e il raggio del cerchio a cui appartiene misura 6 cm, calcola:

a.      La lunghezza dell’arco che delimita il settore.

b.      L’ampiezza dell’angolo al centro corrispondente.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 90° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 24 cm.

·      Calcola l’area di un segmento circolare corrispondente ad un angolo al centro ampio 270° e appartenente ad un cerchio con il raggio di 30 cm.

·      Una corona circolare è limitata da due circonferenze aventi i rispettivi raggi lunghi 25 e 15 cm. Calcola l’area della corona circolare.

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