Superficie e volume della piramide

Sappiamo già che nell’insieme dei poliedri non regolari troviamo il sottoinsieme dei prismi ed il sottoinsieme delle piramidi.

Le piramidi sono quei poliedri che non hanno facce parallele, una base sola che può essere un qualsiasi poligono e la superficie laterale formata da facce triangolari con un vertice in comune.

Il poligono su cui poggia è la base della piramide, le altre facce si dicono facce laterali, il vertice comune alle facce laterali è il vertice della piramide e la distanza fra il vertice e la base è l’altezza della piramide.

La piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc se il poligono di base è rispettivamente un triangolo, un quadrilatero, un pentagono, ecc.

Se la piramide ha come base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza ed il piede dell’altezza coincide col centro del cerchio inscritto nel poligono allora diremo che tale piramide è retta.

Nella figura, come esempio, hai una piramide pentagonale retta.
Notiamo che l’altezza VF di una delle facce laterali (per chiarezza del disegno ne ho disegnato solo una)  è l’ipotenusa del triangolo rettangolo VOF. Osserviamo anche che i cinque triangoli rettangoli VOF, VOG, VOH, VOI, VOL hanno il cateto VO in comune mentre i cateti OF, OG, OH, OI, OL sono congruenti perché raggi dello stesso cerchio. Quindi anche le cinque ipotenuse, altezze delle facce laterali, sono tra loro congruenti.

Le altezze dei triangoli laterali sono chiamate anche apotema della piramide.

Una piramide è regolare se è retta e se la sua base è un poligono regolare: in questo caso tutte le facce laterali saranno triangoli isosceli congruenti tra di loro.

Superficie laterale

Consideriamo la piramide retta vista in precedenza ed osserviamo lo sviluppo delle facce laterali. 

E’ evidente che l’area della superficie laterale è equivalente alla somma delle aree dei triangoli che formano le facce laterali.

Poiché (AB + BC + CD + DE + EA) è il perimetro della base della piramide possiamo dunque affermare che la superficie laterale di una piramide retta si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’apotema della piramide e dividendo il prodotto per 2.

S_l = (p ^. a) /2

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = S_l ^. 2/a        a = S_l ^. 2/p       

Se la piramide non è retta occorre calcolare l’area della superficie laterale sommando le aree delle singole facce.

Superficie totale

E’ evidente che l’area della superficie totale si otterrà sommando l’area della base all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - A_b                    A_b = S_t – S_l

Volume

La piramide è equivalente ad un terzo di un prisma avente l’area di base equivalente e l’altezza congruente rispettivamente all’area di base ed all’altezza della piramide, per cui possiamo dire che il volume di una piramide è un terzo di quello di un prisma con le caratteristiche elencate sopra.

Il volume di una piramide si calcola dunque moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto per 3.

V = (A_b ^. h)/3

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V ^.3/h                  h = V ^.3/ A_b

ESERCIZI

·        Calcola l’area della superficie laterale, totale ed il volume di una piramide quadrangolare regolare sapendo che il lato di base misura 16 cm e l’altezza della piramide 15 cm.

·        Una piramide regolare quadrangolare ha l’area della superficie laterale e quella della superficie totale rispettivamente di 700 cm² e 896 cm². Calcola il suo volume.

·        Un solido è formato da un cubo e da una piramide la cui base coincide con una faccia del cubo. Lo spigolo del cubo misura 48 cm e l’apotema della piramide 40 cm. Calcola la superficie ed il volume del solido.

·        In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è 144 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 3456 cm², calcola la lunghezza dell’apotema ed il volume della piramide.

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Superficie e volume del cubo

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti, quindi si tratta di un poliedro regolare limitato da 6 facce quadrate congruenti.

Misura della diagonale

In un cubo le tre dimensioni sono costituite dai tre spigoli (l) uscenti dallo stesso vertice.

Consideriamo la diagonale AG. Come ne possiamo calcolare la misura? Il triangolo GCA è un triangolo rettangolo retto nell’angolo C, per cui applicando il teorema di Pitagora, avremo che 

Ma GC corrisponde a l e AC è la diagonale della base che potremo trovare con

e quindi potremo trovare la diagonale del cubo facendo 

Con la formula inversa, conoscendo la misura della diagonale di un cubo, possiamo calcolare la misura dello spigolo: 

Per i calcoli si può considerare il valore approssimato

Superficie laterale e totale

Le facce laterali un cubo sono quattro quadrati congruenti di lato l quindi possiamo dire che la superficie laterale di un cubo si calcola moltiplicando l’area di una faccia (l² ) per 4.

S_l = 4l²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Le facce totali di un cubo sono sei quadrati congruenti di lato l quindi possiamo dire che la superficie totale di un cubo si calcola moltiplicando l’area di una faccia (l² ) per 6.

S_t = 6l²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Volume

Ricordando che il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti e che il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza, possiamo affermare che il volume del cubo si calcolerà trovando l’area di base (l x l) e moltiplicando poi per l’altezza (l) quindi elevando al cubo la misura dello spigolo.

V = l³

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

ESERCIZI

· Un cubo ha lo spigolo lungo 15 cm. Calcola la misura della diagonale, l’area della superficie laterale e totale.

· L’area della superficie laterale di un cubo è di 1024 cm2. Calcola la misura della diagonale, l’area della superficie totale ed il volume.

· L’area della superficie totale di un cubo è 4056 cm2. Calcola la misura dell’altezza di un parallelepipedo rettangolo equivalente al cubo e avente le due dimensioni della base lunghe rispettivamente 16 cm e 13 cm.

· La diagonale di un cubo misura 15,588 cm, calcola l’area della superficie laterale del cubo. 

. Calcola infine l’altezza di un prisma equivalente al cubo, avente per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 6 cm e 9 cm.

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