Superficie e volume del cubo

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti, quindi si tratta di un poliedro regolare limitato da 6 facce quadrate congruenti.

Misura della diagonale

In un cubo le tre dimensioni sono costituite dai tre spigoli (l) uscenti dallo stesso vertice.

Consideriamo la diagonale AG. Come ne possiamo calcolare la misura? Il triangolo GCA è un triangolo rettangolo retto nell’angolo C, per cui applicando il teorema di Pitagora, avremo che 

Ma GC corrisponde a l e AC è la diagonale della base che potremo trovare con

e quindi potremo trovare la diagonale del cubo facendo 

Con la formula inversa, conoscendo la misura della diagonale di un cubo, possiamo calcolare la misura dello spigolo: 

Per i calcoli si può considerare il valore approssimato

Superficie laterale e totale

Le facce laterali un cubo sono quattro quadrati congruenti di lato l quindi possiamo dire che la superficie laterale di un cubo si calcola moltiplicando l’area di una faccia (l² ) per 4.

S_l = 4l²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Le facce totali di un cubo sono sei quadrati congruenti di lato l quindi possiamo dire che la superficie totale di un cubo si calcola moltiplicando l’area di una faccia (l² ) per 6.

S_t = 6l²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Volume

Ricordando che il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti e che il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza, possiamo affermare che il volume del cubo si calcolerà trovando l’area di base (l x l) e moltiplicando poi per l’altezza (l) quindi elevando al cubo la misura dello spigolo.

V = l³

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

ESERCIZI

· Un cubo ha lo spigolo lungo 15 cm. Calcola la misura della diagonale, l’area della superficie laterale e totale.

· L’area della superficie laterale di un cubo è di 1024 cm2. Calcola la misura della diagonale, l’area della superficie totale ed il volume.

· L’area della superficie totale di un cubo è 4056 cm2. Calcola la misura dell’altezza di un parallelepipedo rettangolo equivalente al cubo e avente le due dimensioni della base lunghe rispettivamente 16 cm e 13 cm.

· La diagonale di un cubo misura 15,588 cm, calcola l’area della superficie laterale del cubo. 

. Calcola infine l’altezza di un prisma equivalente al cubo, avente per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 6 cm e 9 cm.

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Superficie e volume del parallelepipedo

Se un prisma ha le basi costituite da parallelogrammi, si tratta di un prisma particolare, detto parallelepipedo. 

Se un parallelepipedo ha le facce laterali perpendicolari alle basi abbiamo un parallelepipedo retto. Le facce laterali sono tutte rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 

Se un parallelepipedo retto la base è un rettangolo abbiamo il parallelepipedo rettangolo. Le facce sono tutte e sei rettangolari e a due a due parallele e congruenti. 

Misura della diagonale

In un parallelepipedo rettangolo le tre dimensioni sono costituite dai tre spigoli uscenti dallo stesso vertice: di solito i primi due sono le dimensioni della base (a e b) mentre il terzo (c) è l’altezza del solido.

Consideriamo la diagonale AC’. Come ne possiamo calcolare la misura? Il triangolo C’CA è un triangolo rettangolo retto nell’angolo C. per cui, applicando il teorema di Pitagora, avremo che 

AC’ = 

ma C’C corrisponde a c e CA è la diagonale della base che potremo trovare con

e quindi potremo trovare la diagonale del parallelepipedo facendo 

Superficie laterale

Poiché il parallelepipedo è un prisma particolare, la superficie laterale, la superficie totale ed il volume si calcoleranno seguendo le stesse regole scoperte per il prisma.

La superficie laterale di un parallelepipedo si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’altezza.

S_l = p ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = S_l/h        h = S_l/p

Superficie totale

S_t = S_l + 2A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - 2A_b                    A_b = (S_t – S_l)/2

Volume

Il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = A_b ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V/h                  h = V/ A_b

Esercizi

·       In un parallelepipedo rettangolo le due dimensioni della base misurano 15 cm e 6 cm mentre la superficie laterale misura 504 cm².

Calcola l’area della superficie totale ed il volume.

·         Il perimetro di base di un parallelepipedo rettangolo è di 98 cm, le due dimensioni della base sono una i ¾ dell’altra. L’altezza del solido è di 12 cm. Calcola la lunghezza della diagonale del parallelepipedo e l’area della sua superficie totale.

·         In un parallelepipedo rettangolo l’area della superficie totale è 4 560 cm², gli spigoli della base sono uno i 4/3 dell’altro, la differenza delle loro lunghezze misura 8 cm. Calcola il volume.

·         Un recipiente ha la forma di parallelepipedo rettangolo con le dimensioni interne rispettivamente di 22 cm, 18 cm e 40 cm ed il peso di 1,2 kg.

Se viene riempito per i 4/5 della sua capacità di olio (ps 0,91), quanto peserà?

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