La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.

Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?

Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.

CA = r

Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.

r < CA

Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.

r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.

Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI

•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm². Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.

•          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.

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Superficie e volume del tronco di cono

Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.

Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.

Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è la generatrice e viene detto apotema del tronco di cono, le due basi del trapezio sono i raggi  della base maggiore e della base minore del tronco di cono.

Superficie laterale

La superficie laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del tronco e come altezza l’apotema del tronco.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C + C’)  ^. a)/2

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C + C’ =  S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C + C’  

Superficie totale

L’area della superficie totale di un tronco di cono si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b + A_b’

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t – (A_b + A_b’)                    (A_b + A_b’ ) = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del tronco di piramide.

Siccome A_b= πr²₁ e A_b’= πr²₂

ESERCIZI

·         Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della superficie laterale.

·         Un tronco di cono ha i due raggi lunghi rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 1348 π cm², calcola la misura dell’apotema.

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