Se tutti i giorni lavorativi vado a scuola con la moto è molto probabile che anche domani vada a
scuola con la moto, mentre è poco
probabile che ci vada in auto ed è impossibile
che ci vada in bicicletta perché non la possiedo.
Naturalmente queste previsioni sono soggettive, si
riferiscono a me mentre un’altra persona potrebbe prevedere in modo totalmente
diverso.
Lo studio della probabilità matematica, invece, deve
sfuggire alla soggettività ed esprimere numericamente la probabilità che un
evento casuale avvenga o meno.
Vediamo alcuni esempi.
Qual è la probabilità che venga estratto il numero 35 nel
gioco della tombola?
I casi possibili sono 90, il caso favorevole è solo 1 quindi
la probabilità è di 1/90.
Qual è la probabilità che al gioco della roulette esca il
numero 12?
I casi possibili sono 38 ( i numeri da 1 a 36 + 0 e 00), il caso favorevole è solo uno
quindi la probabilità è di 1/38.
Qual è la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero
dispari?
I casi possibili sono 6, i casi favorevoli sono 3 (i numeri
1, 3, 5), quindi la probabilità è di 3/6, cioè ½.
Possiamo dunque affermare che la probabilità matematica di un evento casuale (p) è data dal rapporto tra i casi favorevoli (f) ed i casi possibili (n)
p
= f/n
La probabilità
matematica di un evento impossibile è 0.
Infatti, ad esempio, la probabilità di ottenere 7 lanciando
un dado sarà 0/6 cioè 0.
La probabilità
matematica di un evento certo è 1.
Infatti, ad esempio, la probabilità di estrarre una pallina
rossa da un sacchetto contenente solo 5 palline rosse sarà 5/5 cioè 1.
Abbiamo visto che la probabilità di un evento casuale si
ottiene attraverso un calcolo del rapporto tra casi favorevoli e casi
possibili.
Ad esempio la probabilità di estrarre un numero pari nel
gioco della tombola è di 45/90 cioè 0,5 e la probabilità di estrarre un numero
dispari è di 45/90, cioè 0,5.
Se noi giochiamo effettivamente a tombola e registriamo il
numero di uscite di numeri pari (o dispari) otterremo la frequenza relativa,
cioè il rapporto tra le volte in cui l’evento si è verificato ed il numero di
prove effettuate. Ecco quello che ho ottenuto io:
NUMERO ESTRAZIONI
|
EVENTO: NUMERO PARI
|
FREQUENZA RELATIVA
|
10
|
6
|
6/10 = 0,60
|
20
|
11
|
11/20 = 0,55
|
50
|
30
|
30/50 = 0,60
|
100
|
55
|
55/100 = 0,55
|
200
|
103
|
103/200 = 0,51
|
Possiamo vedere che aumentando il numero delle prove
effettuate, il valore della frequenza relativa si avvicina sempre più al valore
della probabilità: infatti la frequenza F, dopo 200 estrazioni, è uguale a 0,51
mentre la probabilità p è uguale a
0,5.
Mettiamo in un sacchetto 10 palline numerate, appunto, da 1
a 10.
Consideriamo ora due eventi possibili, estraendo le palline:
E1 = “esce un numero pari”
E2 = “esce un numero minore di 5”
Notiamo che questi due eventi possono verificarsi
contemporaneamente (se escono i numeri 2 o 4).
Due eventi che
possono verificarsi contemporaneamente si dicono compatibili.
Consideriamo ora altri due eventi possibili, estraendo le
palline dallo stesso sacchetto:
E1 = “esce il numero 5”
E2 = “esce il numero 4”
Notiamo che questi due eventi non possono verificarsi
contemporaneamente e potrebbero anche non verificarsi per niente.
Due eventi che non
possono verificarsi contemporaneamente si dicono incompatibili.
Se in un sacchetto mettiamo palline rosse e verdi e
consideriamo due eventi:
E1 = “esce una pallina rossa”
E2 = “esce una pallina verde”
Notiamo che i due eventi sono incompatibili perché non
possono verificarsi contemporaneamente, ma uno dei due si verificherà
sicuramente: questi due eventi si dicono complementari.
Due eventi casuali si
dicono complementari se non possono verificarsi contemporaneamente ma uno dei
due si verificherà sicuramente, quindi la somma delle probabilità di due eventi
complementari è sempre uguale ad 1.
ESERCIZI
·
Quali, tra questi eventi, possiamo considerare
casuali?
Comprare un quaderno
Trovare 5 euro per strada
Incontrare per strada il vicino di casa
Telefonare all’amico Giorgio
Andare in pizzeria
·
Quali, tra questi eventi, possiamo considerare
possibili?
Aprire a pagina 200 un libro di 180 pagine.
Ottenere 7 dal lancio di un dado.
Estrarre il numero 67 dal sacchetto della tombola.
Aprire casualmente il diario sul giorno del 13 dicembre.
Uscire il numero 40 alla roulette.
·
Quali, tra questi eventi, possiamo considerare
certi?
Ottenere testa lanciando una moneta.
Estrarre da una scatola contenente palline 5 rosse e 2
gialle una pallina rossa.
Ottenere un numero minore o uguale a 90 estraendo i numeri
della tombola.
Dal lancio di due dadi ottenere un numero minore o uguale a
12.
Ottenere alla roulette un numero rosso.
·
Calcola la probabilità sia in frazione sia in
percentuale dei seguenti eventi.
Lanciando un dado esce:
à
il numero 5 -
un numero dispari –
à
un numero maggiore di 4 –
un numero dispari maggiore di 2 -
à
un numero pari minore di 5 -
un numero maggiore di 2 –
Estraendo un numero della tombola esce:
à
un numero maggiore di 15 –
un numero minore di 35 –
un numero maggiore di 21 e minore
di 59 –
un numero multiplo di 10 –
·
Calcola
la probabilità degli eventi indicati e rispondi alle domande
o Lanciando
un dado:
E1: esce il 3 –
E2: esce un numero
dispari –
Gli eventi E1 ed E2
sono compatibili, incompatibili o complementari?
à
In un astuccio contenente 3 pennarelli neri, 1
pennarello grigio e 4 pennarelli blu:
E1: estrarre un pennarello nero –
E2: estrarre un
pennarello non nero –
E2: estrarre un
pennarello blu –
Gli eventi E1 ed E2
sono compatibili, incompatibili o complementari?
à
Tra i numeri 4 – 7 – 8 – 14 – 21 – 25 - 26:
E1: esce un multiplo
di 4 –
E2: esce un multiplo
di 7 –
Gli eventi E1 ed E2
sono compatibili, incompatibili o complementari?
