Operazioni tra insiemi: la differenza

Oltre all’unione ed all’intersezione, altra operazione tra gli insiemi è la differenza.

Vediamola tra insiemi intersecati. Siano

A = {rosso; verde; giallo; rosa}

B = {nero; verde; blu; giallo}

Ci accorgiamo che ci sono elementi in comune tra i due insiemi, pertanto possiamo capire meglio la differenza usando la rappresentazione grafica.

Ci sono elementi di A che non appartengono a B e questa è la differenza tra A e B e per indicarla usiamo il simbolo – oppure \. Possiamo dire:

A – B = D oppure A\B = D oppure ancora

A\B = {rosso; rosa}

Definiamo quindi la differenza tra due insiemi A e B l’insieme formato dagli elementi di A che non appartengono a B. La differenza tra due insiemi B e A è l’insieme formato dagli elementi di B che non appartengono ad A. Nel nostro caso: B\A = {nero; blu}

Consideriamo ora due insiemi disgiunti.

A = {1; 3; 5; 7}

B = {2; 4; 6}

A\B = {1; 3; 5; 7}

B\A = {2; 4; 6}

Infine vediamo il caso in cui un insieme è incluso nell’altro.

A = {Mario; Agnese; Luca; Alice; Teo}

B = { Agnese; Alice}

A\B = {Mario; Luca; Teo}. Essendo B un sottoinsieme proprio di A, in questo caso l’insieme differenza può chiamarsi anche complementare di B rispetto ad A.

B\A = {Æ} (infatti non ci sono elementi di B che non appartengano ad A)

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI DA STAMPARE

1.      Data questa rappresentazione grafica

Scrivi per elencazione gli insiemi

A = {

B = {

A Ç B = {

A È B = {

A \ B = {

B \ A = {

2.      Considera questi due insiemi disgiunti

A = {5; 10; 15; 20; 25}

B = {3; 6; 9}

Scrivi per elencazione gli insiemi

A Ç B = {

A È B = {

A \ B = {

B \ A = {

3.      Sia

A = {a; b; c; d; e}

B = {a; e}

Scrivi per elencazione gli insiemi

A Ç B = {

A È B = {

A \ B = {

B \ A = {

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I sottoinsiemi

Per questa lezione consiglio il seguente percorso:

1) leggi questo post
2) esercitati con Genially (lo trovi al termine delle spiegazioni)
3) allenati svolgendo esercizi con i Moduli di Google (fai clic su questo link)
4) verifica il tuo apprendimento on line su questo blog (vedi al termine del post) oppure a questo link
5) Se preferisci puoi svolgere gli esercizi in forma cartacea e controllare le tue risposte con le soluzioni proposte

Superficie e volume della sfera

La superficie di una sfera non è sviluppabile in piano e ciò ha creato non pochi problemi ai geografi per rappresentare in piano la superficie della Terra ed ai matematici per determinare la misura della superficie sferica.

Il grande Archimede riuscì nella dimostrazione dell’equivalenza della superficie sferica e quella di un cilindro equilatero circoscritto ad essa.

Poiché la superficie laterale del cilindro si calcola con questa formula S_l = C  ^. h cioè 2πrh e noi sappiamo che in un cilindro equilatero h = 2r la formula diventa 2πr ^. 2r= 4 πr².

Siccome πr² è l’area del cerchio massimo della sfera possiamo affermare che la superficie della sfera si ottiene moltiplicando l’area del suo cerchio massimo per 4.

S = 4 πr²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che una sfera è equivalente ad un cono con raggio di base congruente al diametro della sfera ed altezza congruente al raggio della sfera: di conseguenza il volume della sfera si può calcolare usando la formula del cono V = (A_b ^. h)/ 3

L’area di base del nostro cono si ottiene quindi moltiplicando il diametro della sfera per se stesso e per π

 A_b= 2r ^. 2r ^. π = 4r² π

Poiché l’altezza del cono è congruente al raggio della sfera avremo che 

V = (4r²π ^. r)/ 3=  

Possiamo dunque affermare che il volume di una sfera si calcolerà moltiplicando il cubo del suo raggio per  4/3 π.

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

ESERCIZI

•       Calcola il volume di una sfera sapendo che l’area della superficie sferica è 900 π cm².
•       Una sfera ha il diametro di 30 cm. Calcola l’area della superficie sferica ed il volume della sfera.
•       Due sfere hanno i raggi lunghi rispettivamente 12 cm e 16 cm. Calcola la misura del raggio di una terza sfera avente l’area della superficie sferica equivalente alla somma delle aree delle superfici delle due sfere date.

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La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.

Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?

Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.

CA = r

Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.

r < CA

Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.

r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.

Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI

•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?

•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm². Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.

•          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.

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Prova Invalsi di matematica 2015 - classe terza

Metto a disposizione di tutti i fruitori del blog un test da svolgere on line contenente tutte le domande della prova Invalsi di matematica assegnata nel 2015 all'esame di Stato: il test può essere eseguito direttamente sul blog.
La prova può essere svolta individualmente o collettivamente se si ha la possibilità di usare un'aula di informatica. Può essere svolta anche con la Lim.
Sono presenti gli stessi items della prova nazionale, ad eccezione di alcune richieste di giustificazione delle risposte date, in quanto il software non è in grado di valutarle.
Al termine della prova ogni studente riceverà una valutazione e si potranno esaminare tutte le risposte fornite ed analizzare quindi eventuali errori.

Stampare la prova Invalsi di matematica a. s. 2014/15

Propongo due documenti in pdf ed in word che ricalcano la prova Invalsi assegnata alle classi terze nell'a.s. 2014/2015. Qual è il vantaggio di scaricarlo e stamparlo?
- Contiene 28 esercizi, uguali alla prova Invalsi dello scorso anno: gli alunni potranno così esercitarsi testando se riescono ad eseguire il lavoro nel tempo assegnato.
- Ho concentrato gli esercizi e curato l'impaginazione per cui occorre solamente stampare 8 pagine per ogni alunno, invece delle 22 contenute nella prova Invalsi.
Non resta allora che stampare, fotocopiare ed analizzare i risultati ottenuti.
Fai clic sul link per stampare la simulazione in pdf (che puoi vedere in anteprima qui sotto) o, per chi preferisce, in word.

La probabilità composta

Mettiamo in due sacchetti due palline con i numeri  1 e 2.

Qual è la probabilità dell’evento E: “esce il numero 2 da entrambi i sacchetti?”

Indichiamo questo evento con E(2, 2). Si tratta di un evento composto formato da due eventi semplici, indipendenti tra loro.

Osserviamo che la probabilità dell’evento semplice E₁: “esce il numero 2 dal primo sacchetto” è ½ mentre la probabilità dell’evento semplice E₂: “esce il numero 2 dal secondo sacchetto” è pure ½.

Riflettiamo:

se nel primo sacchetto esce il numero 1, nell’altro può uscire o il numero 1 o il numero 2. I casi possibili quindi sono (1, 1) e (1, 2);

se nel primo sacchetto esce il numero 2, nell’altro può uscire o il numero 1 o il numero 2. I casi possibili quindi sono (2, 1) e (2, 2).

Osserviamo la rappresentazione dei casi possibili con un grafo ad albero.

Notiamo come i casi possibili sono 4 mentre il caso favorevole E(2,2) è 1, per cui possiamo dire che la probabilità è: p(E) = ¼

Possiamo constatare come la probabilità di E sia data dal prodotto: p(E₁) ^. p(E₂). Infatti: ½  ^. ½ = ¼ .

Vediamo un altro esempio.

Lanciando tre monete, calcoliamo la probabilità dell’evento E: “escono, nell’ordine, croce, croce e testa”.

Indichiamo questo evento con E(C, C, T). Si tratta di un evento composto formato da tre eventi semplici, indipendenti tra loro.

L’evento semplice E₁: “esce croce con la prima moneta ” ha una probabilità p (E₁) =  ½ .

L’evento semplice E₂: “esce croce con la seconda moneta ” ha una probabilità p (E₂) =  ½ .

L’evento semplice E₃: “esce testa con la terza moneta ” ha una probabilità p (E₃) =  ½ .

Osserviamo la rappresentazione dei casi possibili con un grafo ad albero.

Notiamo come i casi possibili sono 8 mentre il caso favorevole E(C, C, T) è 1, per cui possiamo dire che la probabilità è: p(E) = 1/8.

Possiamo constatare anche in questo esempio come la probabilità di E sia data dal prodotto: p(E₁) ^. p(E₂) ^. p(E₃). Infatti: ½  ^. ½ ^. ½ = 1/8.

Possiamo dunque concludere che la probabilità di un evento E, composto da due o più eventi semplici indipendenti tra loro, è data dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi.

ESERCIZI

·         Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nell’estrazione di una pallina da ciascun sacchetto sotto rappresentato, individua gli eventi semplici da cui è composto l’evento E: “escono due palline rosse” e calcola la probabilità dell’evento E: “escono due palline rosse”.

·         Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nell’estrazione di un numero da ciascun sacchetto sotto rappresentato, individua gli eventi semplici da cui è composto l’evento E: “escono due numeri  dispari” e calcola la probabilità dell’evento E: “escono due numeri dispari”.

·         Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nel lancio di tre monete, individua gli eventi semplici da cui è composto l’evento E: “esce testa in tutti e tre i lanci” e calcola la probabilità dell’evento E: “esce testa in tutti e tre i lanci”.

·         Disegna il grafo ad albero dei casi possibili nell’estrazione di una pallina da ciascun sacchetto sotto rappresentato e calcola la probabilità dell’evento E: “escono palline dello stesso colore”.

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Il calcolo delle probabilità

Se tutti i giorni lavorativi vado a scuola con la moto è molto probabile che anche domani vada a scuola con la moto, mentre è poco probabile che ci vada in auto ed è impossibile che ci vada in bicicletta perché non la possiedo.

Naturalmente queste previsioni sono soggettive, si riferiscono a me mentre un’altra persona potrebbe prevedere in modo totalmente diverso.

Lo studio della probabilità matematica, invece, deve sfuggire alla soggettività ed esprimere numericamente la probabilità che un evento casuale avvenga o meno.

Vediamo alcuni esempi.

Qual è la probabilità che venga estratto il numero 35 nel gioco della tombola?

I casi possibili sono 90, il caso favorevole è solo 1 quindi la probabilità è di 1/90.

Qual è la probabilità che al gioco della roulette esca il numero 12?

I casi possibili sono 38 ( i numeri da 1 a 36 + 0 e 00), il caso favorevole è solo uno quindi la probabilità è di 1/38.

Qual è la probabilità che, lanciando un dado, esca un numero dispari?

I casi possibili sono 6, i casi favorevoli sono 3 (i numeri 1, 3, 5), quindi la probabilità è di 3/6, cioè ½.

Possiamo dunque affermare che la probabilità matematica di un evento casuale (p) è data dal rapporto tra i casi favorevoli (f) ed i casi possibili (n)

p = f/n

La probabilità matematica di un evento impossibile è 0.

Infatti, ad esempio, la probabilità di ottenere 7 lanciando un dado sarà 0/6 cioè 0.

La probabilità matematica di un evento certo è 1.

Infatti, ad esempio, la probabilità di estrarre una pallina rossa da un sacchetto contenente solo 5 palline rosse sarà 5/5 cioè 1.

Abbiamo visto che la probabilità di un evento casuale si ottiene attraverso un calcolo del rapporto tra casi favorevoli e casi possibili.

Ad esempio la probabilità di estrarre un numero pari nel gioco della tombola è di 45/90 cioè 0,5 e la probabilità di estrarre un numero dispari è di 45/90, cioè 0,5.

Se noi giochiamo effettivamente a tombola e registriamo il numero di uscite di numeri pari (o dispari) otterremo la frequenza relativa, cioè il rapporto tra le volte in cui l’evento si è verificato ed il numero di prove effettuate. Ecco quello che ho ottenuto io:

NUMERO ESTRAZIONI	EVENTO: NUMERO PARI	FREQUENZA RELATIVA
10	6	6/10 = 0,60
20	11	11/20 = 0,55
50	30	30/50 = 0,60
100	55	55/100 = 0,55
200	103	103/200 = 0,51

Possiamo vedere che aumentando il numero delle prove effettuate, il valore della frequenza relativa si avvicina sempre più al valore della probabilità: infatti la frequenza F, dopo 200 estrazioni, è uguale a 0,51 mentre la probabilità p è uguale a 0,5.

Mettiamo in un sacchetto 10 palline numerate, appunto, da 1 a 10.

Consideriamo ora due eventi possibili, estraendo le palline:

E₁ = “esce un numero pari”

E₂ = “esce un numero minore di 5”

Notiamo che questi due eventi possono verificarsi contemporaneamente (se escono i numeri 2 o 4).

Due eventi che possono verificarsi contemporaneamente si dicono compatibili.

Consideriamo ora altri due eventi possibili, estraendo le palline dallo stesso sacchetto:

E₁ = “esce il numero 5”

E₂ = “esce il numero 4”

Notiamo che questi due eventi non possono verificarsi contemporaneamente e potrebbero anche non verificarsi per niente.

Due eventi che non possono verificarsi contemporaneamente si dicono incompatibili.

Se in un sacchetto mettiamo palline rosse e verdi e consideriamo due eventi:

E₁ = “esce una pallina rossa”

E₂ = “esce una pallina verde”

Notiamo che i due eventi sono incompatibili perché non possono verificarsi contemporaneamente, ma uno dei due si verificherà sicuramente: questi due eventi si dicono complementari.

Due eventi casuali si dicono complementari se non possono verificarsi contemporaneamente ma uno dei due si verificherà sicuramente, quindi la somma delle probabilità di due eventi complementari è sempre uguale ad 1.

ESERCIZI

·        Quali, tra questi eventi, possiamo considerare casuali?

Comprare un quaderno

Trovare 5 euro per strada

Incontrare per strada il vicino di casa

Telefonare all’amico Giorgio

Andare in pizzeria

·        Quali, tra questi eventi, possiamo considerare possibili?

Aprire a pagina 200 un libro di 180 pagine.

Ottenere 7 dal lancio di un dado.

Estrarre il numero 67 dal sacchetto della tombola.

Aprire casualmente il diario sul giorno del 13 dicembre.

Uscire il numero 40 alla roulette.

·        Quali, tra questi eventi, possiamo considerare certi?

Ottenere testa lanciando una moneta.

Estrarre da una scatola contenente palline 5 rosse e 2 gialle una pallina rossa.

Ottenere un numero minore o uguale a 90 estraendo i numeri della tombola.

Dal lancio di due dadi ottenere un numero minore o uguale a 12.

Ottenere alla roulette un numero rosso.

·        Calcola la probabilità sia in frazione sia in percentuale dei seguenti eventi.

Lanciando un dado esce:

à        il numero 5 -

un numero dispari –

à        un numero maggiore di 4 –

un numero dispari maggiore di 2 -

à        un numero pari minore di 5 -

un numero maggiore di 2 –

Estraendo un numero della tombola esce:

à        un numero maggiore di 15 –

un numero minore di 35 –

un numero maggiore di 21 e minore di 59 –

un numero multiplo di 10 –

·         Calcola  la probabilità degli eventi indicati e rispondi alle domande

o  Lanciando un dado:

E₁: esce il 3 –

E₂: esce un numero dispari –

Gli eventi E₁ ed E₂ sono compatibili, incompatibili o complementari?

à     In un astuccio contenente 3 pennarelli neri, 1 pennarello grigio e 4 pennarelli blu:

E₁: estrarre un pennarello nero –

E₂: estrarre un pennarello non nero –

E₂: estrarre un pennarello blu –

Gli eventi E₁ ed E₂ sono compatibili, incompatibili o complementari?

à        Tra i numeri 4 – 7 – 8 – 14 – 21 – 25 - 26:

E₁: esce un multiplo di 4 –

E₂: esce un multiplo di 7 –

Gli eventi E₁ ed E₂ sono compatibili, incompatibili o complementari? 

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