Consideriamo due grandezze, ad esempio il lato di un
quadrato ed il perimetro dello stesso quadrato.
Chiamiamo x la
grandezza variabile “lato di un quadrato”
e chiamiamo y la grandezza variabile
“perimetro del quadrato”.
Vediamo cosa può succedere:
lato del quadrato
(x)
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Perimetro del quadrato
(y)
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5 cm
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20 cm
|
10 cm
|
40 cm
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15 cm
|
60 cm
|
Ci accorgiamo che le due grandezze x ed y sono dipendenti perché dalla variazione della
prima (x) consegue la variazione
della seconda (y).
Vediamo anche che ad ogni valore della x corrisponde uno ed un solo valore della y: diciamo dunque che le grandezze x (variabile indipendente) e y
(variabile dipendente) stabiliscono una
funzione y = f(x).
Torniamo alla tabella sopra: osserviamo che se raddoppia,
triplica, ecc la variabile indipendente x,
raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y: il loro rapporto resta dunque costante.
Infatti:
Possiamo affermare che la grandezza variabile indipendente x e la variabile dipendente y sono direttamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono direttamente proporzionali se
raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, raddoppia, triplica, ecc anche la variabile dipendente y.
Vediamo un altro esempio di grandezze direttamente
proporzionali
Quantità di merce
(x)
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Costo della merce
(y)
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1 kg di farina
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€ 0,80
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2 kg di farina
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€ 1,60
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3 kg di farina
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€ 2,40
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Consideriamo ora le seguenti grandezze variabili x e y
tali che y = f (x)
Velocità di una macchina
(x)
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Tempo impiegato
(y)
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50 km/h
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90 minuti
|
100 km/h
|
45 minuti
|
150 km/h
|
30 minuti
|
Osserviamo che se raddoppia, triplica, ecc la variabile
indipendente x, la variabile
dipendente y diventa la metà, la
terza parte, ecc.
Osserviamo anche che il prodotto x . y resta costante.
Infatti:
50 . 90 = 100 . 45 = 150 .
30 = ….. = 4 500
Possiamo affermare che in questo caso la grandezza variabile
indipendente x e la variabile
dipendente y sono inversamente proporzionali perché due grandezze variabili dipendenti sono inversamente
proporzionali se raddoppiando, triplicando, ecc la variabile indipendente x, la variabile dipendente y diventa la metà, la terza parte, ecc.
Vediamo un altro esempio di grandezze inversamente
proporzionali
Numero addetti
(x)
|
Tempo impiegato in ore
(y)
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1
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6
|
2
|
3
|
3
|
2
|
Vediamo ora la rappresentazione della proporzionalità
diretta ed inversa.
Consideriamo il primo esempio fatto di proporzionalità
diretta.
lato del quadrato
(x)
|
Perimetro del quadrato
(y)
|
5 cm
|
20 cm
|
10 cm
|
40 cm
|
15 cm
|
60 cm
|
La funzione della proporzionalità diretta y = f(x)
è data dalla formula y = 4x
Il numero 4 è il rapporto costante k ed è quindi il coefficiente di proporzionalità diretta.
Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano:
Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da
una semiretta uscente dall’origine degli assi cartesiani.
Consideriamo ancora un esempio.
Compiliamo la tabella
della funzione data
(x)
|
(y)
|
0
|
0
|
4
|
3
|
8
|
6
|
Tracciamo il diagramma
corrispondente
Consideriamo ora il primo esempio fatto di proporzionalità
inversa.
Velocità di una macchina
(x)
|
Tempo impiegato
(y)
|
50 km/h
|
90 minuti
|
100 km/h
|
45 minuti
|
150 km/h
|
30 minuti
|
La funzione della proporzionalità inversa y = f(x)
è data dalla formula xy = 4500
Il numero 4500 è il prodotto costante h ed è quindi il coefficiente di proporzionalità inversa.
Rappresentiamo questa funzione sul piano cartesiano.
Vediamo che otteniamo un diagramma cartesiano costituito da
una parte di curva detta iperbole equilatera.
Consideriamo ancora un esempio.
Compiliamo la tabella
della funzione data
(x)
|
(y)
|
1
|
8
|
2
|
4
|
4
|
2
|
8
|
1
|
Tracciamo il diagramma
corrispondente
ESERCIZI
·
Quando
due grandezze si dicono direttamente proporzionali?
·
Quando
due grandezze si dicono inversamente proporzionali?
·
Qual è la
funzione che esprime la legge di proporzionalità diretta?
·
Qual è il
diagramma della funzione di proporzionalità diretta?
·
Qual è il
diagramma della funzione di proporzionalità inversa?
·
Osserva
le seguenti funzioni, per ognuna completa la tabella e stabilisci se si tratta
di funzioni di proporzionalità diretta o inversa.
