Due poligoni si dicono simili quando soddisfano due
condizioni: tutti i loro angoli corrispondenti sono congruenti, mentre i lati
corrispondenti sono in rapporto costante.
Consideriamo le due figure:
Notiamo che:
AB : A’B’ = BC : B’C’ = CD : C’D’ = DA : D’A’
Se è soddisfatta una sola delle due condizioni, le figure
non sono simili.
Osserviamo i due poligoni A ed A’: i lati sono in rapporto
costante, ma gli angoli corrispondenti non sono congruenti. I due poligoni non
sono simili.
Osserviamo i due poligoni B e B’: gli angoli corrispondenti
sono congruenti ma i lati corrispondenti non sono in rapporto costante. I due
poligoni non sono simili.
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Per quanto riguarda i triangoli esistono dei criteri di
similitudine per riconoscere se due triangoli sono simili.
I CRITERIO
Due triangoli sono simili se hanno tutti e tre gli angoli
ordinatamente congruenti. Nel caso in figura:
e quindi i due triangoli sono simili.
II CRITERIO
Due triangoli sono simili se hanno le tre coppie di lati
omologhi (opposti agli angoli congruenti) in proporzione costante. Nel caso in
figura:
BC : EF = AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre
1,25)
I due triangoli sono simili.
III CRITERIO
Due triangoli sono simili se hanno due coppie di lati
omologhi in proporzione costante e l’angolo fra essi compreso congruente. Nel
caso in figura:
AB : DE = AC : DF (infatti il rapporto è sempre 2). Inoltre
abbiamo che α è congruente ad α’
I due triangoli sono simili.
I criteri di similitudine dei triangoli vengono applicati in
due teoremi di Euclide, riferiti solo ai triangoli rettangoli.
I teorema di Euclide
Consideriamo un triangolo rettangolo ABC con l’angolo retto
in A e tracciamo l’altezza AH relativa all’ipotenusa BC. Consideriamo un
secondo triangolo A’B’H’ congruente col triangolo ABH.
Confrontiamo ora il triangolo ABC (giallo) con il triangolo
A’B’H’ (bianco).
Sovrapponendo i due triangoli vediamo che gli angoli A e H’
sono congruenti. A è congruente ad H’.
Sovrapponendo i due triangoli vediamo anche che
l’angolo B coincide con l’angolo B’. B è congruente a B'.
I due triangoli
dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché
hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati
omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:
BC : B’A’ = AB : B’H’ ma poiché sappiamo che
possiamo modificare la proporzione
BC : AB = AB : BH
Notiamo quindi che il cateto AB è medio proporzionale tra
l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
La stessa cosa accade confrontando il triangolo AHC ed il
triangolo ABC.
Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo A ed H’
sono congruenti e vediamo anche che l’angolo C coincide con l’angolo C’.
L'angolo A è congruente all'angolo H'.
L'angolo C è congruente all'angolo C'
Sovrapponendo i due triangoli vediamo che l’angolo B
coincide con l’angolo A’.
L'angolo B è congruente all'angolo A'.
I due triangoli
dunque sono simili in base al primo criterio di similitudine perché
hanno tutti e tre gli angoli ordinatamente congruenti. Se sono simili, i lati
omologhi (opposti agli angoli congruenti) saranno in proporzione costante:
BC : A’C’ = AC : H’C’ ma poiché sappiamo che 
possiamo modificare la proporzione
BC : AC = AC : HC
Notiamo quindi che il cateto AC è medio proporzionale tra
l’ipotenusa e la sua proiezione sull’ipotenusa.
Il I teorema di
Euclide afferma che in un triangolo rettangolo ogni cateto è medio
proporzionale fra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa.
II teorema di Euclide
Abbiamo constatato che
A’B’H’ è simile ad ABC
A’H’C’ è simile ad ABC
Possiamo dunque dire, per la proprietà transitiva, che
A’B’H’ è simile ad A’H’C’ e quindi i lati omologhi saranno in proporzione.
B’H’ : A’H’ = A’H’ : H’C’
per cui
BH : AH = AH : HC
Il II teorema di
Euclide afferma che in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa
è media proporzionale fra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa.
ESERCIZI
·
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 7
cm e la proiezione del cateto minore su di essa 2,52 cm. Calcola il perimetro
del triangolo.
·
In un triangolo rettangolo l’altezza relativa
all’ipotenusa misura 24 cm, mentre la proiezione di un cateto sull’ipotenusa
misura 14,4 cm. Calcola l’area del triangolo.
·
In un triangolo rettangolo il cateto minore
misura 54 cm e l’altezza relativa all’ipotenusa è lunga 43,2 cm. Calcola
perimetro e area del triangolo.
·
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 75
cm mentre le due proiezioni dei cateti sull’ipotenusa sono uno i 9/16
dell’altra. Calcola perimetro e area del triangolo.
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