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La moltiplicazione in N

Se moltiplichiamo due numeri appartenenti ad N, il prodotto sarà un altro numero ancora appartenente a N. Diciamo quindi che la moltiplicazione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto alla moltiplicazione.
La moltiplicazione può essere considerata come un’addizione ripetuta e quindi gode delle stesse proprietà di cui gode l’addizione.
La moltiplicazione gode quindi della proprietà:
·        commutativa: il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
Es.: 6 x 8 x 5 = 8 x 5 x 6
Possiamo anche dire:
" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)
a x b = b x a
·        associativa: il prodotto di 3 o più fattori non cambia se al posto di 2 o più fattori inseriamo il loro prodotto.
Es.: 4 x 10 x 7 = 40 x 7
Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a x b x c = a x (b x c) = (a x b) x c
·  
Inoltre la moltiplicazione gode anche della proprietà:
·        distributiva: moltiplicando un numero per una somma o una differenza, possiamo moltiplicare il numero per ciascun termine della somma o della differenza e poi aggiungere o sottrarre i prodotti ottenuti.
Es.:      13 x  18 = 13 x (10 + 8) = (13 x 10) + (13 x 8) = 130 + 104 = 234
14 x 15 =  14 x (20 – 5) = (14 x 20) – (14 x 5) = 280 – 70 = 210

Per eseguire una moltiplicazione in colonna considera inizialmente i fattori come interi anche se hanno cifre decimali. Moltiplica ogni cifra del moltiplicatore per il moltiplicando, ottenendo così dei prodotti parziali che ogni volta scriverai spostandoti a sinistra di una posizione.
Al termine somma i prodotti parziali e separa, a partire da destra, tante cifre decimali quante sono quelle dei due fattori considerati insieme.
Es.: 8, 21 x 5,4



ESERCIZI


1) Se consideriamo due numeri naturali esiste sempre un terzo numero naturale che sia il loro prodotto?

2) L’insieme N è aperto o chiuso rispetto alla moltiplicazione?

3) Enuncia la proprietà commutativa della moltiplicazione ed illustrala con un esempio.

4) Quale enunciato spiega in modo corretto la proprietà associativa della moltiplicazione?
a. Il prodotto di tre o più fattori non cambia se si sostituisce un fattore con altri il cui prodotto sia uguale al fattore sostituito.
b. Il prodotto di due o più fattori non cambia cambiando l’ordine dei fattori.
c. Il prodotto di tre o più fattori non cambia sostituendo due o più di essi con un fattore uguale al loro prodotto.

5) Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?

6 x 3 x 4 x 8 = 18 x 32

20 x 15 = (20 x 10) + (20 x 5)

5 x 9 x 6 = 5 x 6 x 9

7 x (8 – 2) = (7 x 8) – (7 x 2)


6) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà commutativa:

2 x 16 x 5 =

7) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà associativa come vedi nell’esempio:

4 x 6 x 3 =



8 x 6 x 5 =


8) Esegui questa moltiplicazione applicando la proprietà distributiva come vedi nell’esempio:

6 x 18 = 6 x (10 + 8) = (6 x 10) + (6 x 8) = 60 + 48 = 108

8 x 23 =

9) Metti in colonna e scrivi il risultato

172 x 5,2 =

6, 34 x 73 =

112, 3 x 7, 25 =

4068 x 543 =

Addizione e sottrazione in N

Se sommiamo due numeri appartenenti ad N il totale sarà un altro numero ancora appartenente a N: possiamo quindi dire che l’addizione è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è chiuso rispetto all’addizione.
L’addizione gode delle seguenti proprietà, che ci aiutano in molti casi a velocizzare e semplificare i calcoli.

Commutativa: la somma di due o più addendi non cambia cambiando l’ordine degli addendi. Possiamo anche dire:
" a,b є N (leggiamo “Per qualunque numero a e b appartenente ad N”)
a + b = b + a

Associativa: la somma di 3 o più addendi non cambia associando a 2 o più addendi la loro somma. Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a + b + c = a + (b + c) = (a + b) + c


Se eseguiamo una sottrazione tra due numeri appartenenti ad N, vediamo che la differenza è un numero appartenente ad N solo se il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo. Se il minuendo è minore del sottraendo, la differenza non è in N: possiamo dunque dire che la sottrazione non è un’operazione interna all’insieme N oppure che l’insieme N è aperto rispetto alla sottrazione.
La sottrazione gode della proprietà

Invariantiva: la differenza tra due numeri non cambia se si aggiunge o si sottrae lo stesso numero sia al minuendo che al sottraendo. Possiamo anche dire:
" a,b, c є N (leggiamo “Per qualunque numero a, b, c appartenente ad N”)
a – b = (a + c) – (b + c)
a – b = (a – c) – (b – c)

Per eseguire addizioni e sottrazioni in colonna occorre scrivere nella stessa colonna le unità dello stesso ordine sia intere che decimali, pareggiando le cifre decimali e considerando come decimali anche i numeri interi.
Si inizia a sommare o sottrarre dalla colonna più a destra e nel risultato la virgola sarà sotto alle altre virgole.
Es.: 453 + 22, 13 + 3,7
Es.: 8456 – 318,279

Abbiamo visto che nella sottrazione, se il minuendo è minore del sottraendo, non è possibile eseguire l’operazione in N. E’ quindi necessario allargare l’ambito numerico considerando non solo i numeri interi positivi, ma introducendo anche i numeri interi negativi.
N+ + N-  formano l’insieme dei numeri interi relativi, detto insieme Z.

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

1.      L’addizione è un’operazione interna all’insieme N?
2.      La sottrazione è un’operazione interna all’insieme N?
3.      Qual è l’insieme indicato dalla lettera Z?
4.      Quali proprietà trovi applicate nelle seguenti uguaglianze?
8 + 7 + 2 = 8 + 2 + 7
38 + 12 + 5 = (38 + 12) + 5
30 + 6 + 9 = 36 + 9
36 – 7 = (36 – 6) – (7 – 6)
5 + 7 + 8 + 2 = 12 + 10
6 + 3 + 4 = 6 + 4 + 3
23 + 16 + 14 = 23 + (16 + 14)

5.      Esegui queste addizioni applicando le proprietà come vedi nell’esempio:
32 + 15 + 18 =  32 + 18 + 15 = (32 + 18) + 15 = 50 + 15 = 65
39 + 16 + 11
43 + 8 + 27 
6.      Esegui queste sottrazioni applicando la proprietà invariantiva come vedi nell’esempio:
38 - 15 =     (38 + 2) – (15 + 2) = 40 – 17 = 23
                   (38 - 5) – (15 - 5) = 33 – 10 = 23
35 - 23
68 – 22
64 - 36 
7.      Metti in colonna e scrivi il risultato
72, 154 + 7,003 + 3, 519
61,84 + 1,5 + 2, 88 + 78,62
3860,47 – 317,31

Sistema di numerazione: l'insieme N

Il nostro sistema di numerazione è posizionale perché il valore delle cifre dipende dalla posizione che occupano nel numero.
Il nostro sistema di numerazione è decimale perché si raggruppa per dieci, in questo modo:
·        Le cifre da 0 a 9 sono chiamate unità del 1° ordine
·        10 unità del 1° ordine formano una decina (unità del 2° ordine)
·        10 unità del 2° ordine formano un centinaio (unità del 3° ordine)
·        10 unità del 3° ordine formano un migliaio (unità del 4° ordine)
·        10 unità del 4° ordine formano una decina di migliaia (unità del 5° ordine)
·        10 unità del 5° ordine formano un centinaio di migliaia (unità del 6° ordine)
e così via.
Abbiamo quindi vari ordini, che vengono raggruppati per 3 in gruppi, chiamati classi o periodi, per renderne più facile la lettura e la scrittura.


Consideriamo, ad esempio, il numero
13 045 523
e vediamo alcuni modi in cui è possibile indicare il valore di ogni cifra. Possiamo scomporre così:

oppure come somma di prodotti:
3 + 2 x 10 + 5 x 100 + 5 x 1 000 + 4 x 10 000 + 3 x 1 000 000 + 1 x 10 000 000
Possiamo anche usare le potenze del 10 ed effettuare la scomposizione polinomiale:
3 x 100 + 2 x 101 + 5 x 102 + 5 x 103 + 4 x 104 + 3 x 106 + 1 x 107

Finora abbiamo parlato di numeri interi positivi e sappiamo che sono infiniti: questi numeri si chiamano naturali ed appartengono all’insieme N dei numeri naturali che è quindi un insieme ordinato (posso stabilire con certezza quale numero precede o segue un altro) ed infinito che si può rappresentare nei soliti 3 modi:
­       per elencazione            N = {0; 1; 2, 3, …….}
­       per caratteristica          N = {x/x è un numero naturale}
­       graficamente con il diagramma di Eulero - Venn


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI

1.      Completa
Le unità del 1° ordine sono …………………….
Le unità del 2° ordine sono …………………….
Le unità del 3° ordine sono …………………….
Le unità del 4° ordine sono …………………….
Le unità del 5° ordine sono …………………….
Le unità del 6° ordine sono …………………….
Gli ordini si raggruppano per tre in gruppi chiamati …………………..
2.      Indica il valore di ogni cifra effettuando la scomposizione polinomiale del numero:
7 321 047
3.      Scrivi qual è il numero espresso in forma polinomiale:
  • 4 + 8 x 10 + 6 x 100 + 2 x 1 000 + 9 x 10 000 + 2 x 100 000
  • 6 x 1 000 + 5 x 10 000 + 1 x 100 000
  • 3 + 5 x 10 + 6 x 10 000 + 4 x 100 000
  • 9 x 10 000 + 3 x 100 000
4.      Dividi in classi i seguenti numeri e poi scrivili in lettere
3433896
6008472
9107328
6000708
5310801270
5.      Scrivi i numeri formati da:
2 milioni, 8 centinaia, 4 decine e 9 unità
9 decine di migliaia, 6 migliaia, 7 decine
1 decina di migliaia, 5 migliaia, 1 centinaio, 7 decine e 3 unità
12 migliaia, 7 centinaia e 5 unità
28 centinaia, 4 decine e 6 unità
6.      Spiega che cos’è l’insieme N
7.      Scegli qual è l’insieme corretto, se A = {n/n è un numero naturale con n < 10}
  • {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
  • {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9}
  • {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}
  • {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7, 8; 9; 10}
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Il peso specifico

Il peso di un corpo dipende essenzialmente da due fattori: il volume occupato e le sostanze da cui è composto quel corpo.
Ad esempio, considerando l’acqua distillata, se si considera un l d’acqua distillata a 4° si vedrà che occupa 1 dm3 e pesa 1 kg.
Quindi nel caso dell’acqua distillata abbiamo questa relazione
Se consideriamo altre unità di misura dei volumi, cambieranno anche la capacità ed il peso.
Ad esempio se invece di 1 dm3  di acqua distillata ne abbiamo 1 m3 (lo spazio occupato quindi è aumentato di 1000 volte), avremo che 1 m3  di acqua distillata avrà una capacità 1000 volte superiore (quindi 1000 litri) ed un peso 1000 volte superiore (quindi 1000 kg, cioè un Megagrammo).
Se invece di 1 dm3  di acqua ne abbiamo 1 cm3 (lo spazio occupato quindi è diminuito di 1000 volte), avremo che 1 cm3  di acqua avrà una capacità 1000 volte inferiore (quindi 1/1000 di litro, cioè un ml) ed un peso 1000 volte inferiore (quindi 1/1000 di kg, cioè un grammo).
Possiamo sintetizzare così le relazioni valide per l’acqua distillata a 4°
Se noi consideriamo un’altra sostanza, ad esempio l’alcool, vediamo che, a parità di capacità o volume, il peso cambia.
Vediamo che, mantenendo sempre il volume di 1 dm3 a cui corrisponde la capacità di 1litro, il peso non è più 1 kg, ma 0,8 kg. Possiamo quindi ricavare gli altri rapporti:
Questo accade perché ogni sostanza ha un proprio peso specifico. Che cos’è il peso specifico? Un po’ semplicisticamente possiamo dire che è il peso di una unità di volume di una certa sostanza.
Ora ti chiederai: “a che cosa serve conoscere il peso specifico di una sostanza?”
Possiamo calcolare il peso di un oggetto senza pesarlo: basta conoscerne il volume
PESO = P.S. x VOLUME
Possiamo calcolare il volume di un oggetto senza misurarlo: basta conoscerne il peso
VOLUME = PESO: P.S.
Attenzione! Il p.s. viene espresso in kg/dm3 ma se il volume è in cm3 il peso sarà in g, se in m3 il peso sarà in Mg.
Detto questo,  un consiglio per le equivalenze è quello di ricordare le relazioni, come puoi vedere dalle tabelle sopra,  e cioè:
Se tu devi fare l’equivalenza:
0,700 dm3 = …………. g
se ricordi che i dm3 corrispondono ai kg è come se l’equivalenza fosse
0,700 kg = ………….. g  ed il risultato è 700
oppure
se ricordi che i g corrispondono ai cm3 è come se l’equivalenza fosse
0,700 dm3 = ………….. cm3  ed il risultato è sempre 700.
Altri esempi:
26 dm3 = …………. g                        diventa 26 Kg = 26 000 g
750 dm3 = …………. Mg                   diventa 750 kg = 0,75 Mg
138 cm3 = …………. Kg                   diventa 138 g = 0,138 kg
3 m3 = …………. Mg                         diventa 3 Mg = 3 Mg
9 cm3 = …………. l                            diventa 9 ml = 0,009 l
58  dm3 = …………. dl                      diventa 58 l = 580 dl
Per quanto riguarda i problemi, ricorda che intervengono 3 grandezze:
P = peso del corpo      V = volume del corpo              ps = peso specifico del corpo  
Dalla lettura del problema devi capire quali conosci e quali devi trovare.

·        1° CASO
Se devi trovare quanto pesa la quantità di una certa sostanza, ricorda che
PESO = P.S.(cioè peso in g, kg, Mg) x VOLUME (in cm3, dm3, m3)
Es: Calcola il peso di un oggetto massiccio d’argento avente il volume di 14 cm3 e il peso specifico di 10,5
P = (10,5 x 14) g = 147 g (scrivi g perché il volume era espresso in cm3)

·        2° CASO
Se devi trovare il volume di una certa sostanza, ricorda che
VOLUME = PESO ( in g, kg, Mg) : P.S. (cioè il peso di un cm3, dm3, m3)
Es: Calcolare il volume di un blocco di marmo avente il peso di 21,6 Kg ed il cui peso specifico è 2,7
V = (21,6 : 2,7) dm3  = 8 dm3 ( scrivi dm3 perché il peso era espresso in kg)

·        3° CASO
Se devi trovare il peso specifico di una certa sostanza, ricorda che
P.s = PESO ( in g, kg, Mg) : VOLUME (in cm3, dm3, m3)
Es: Calcolare il peso specifico di un blocco massiccio di ghisa del peso di 150 kg, sapendo che il suo volume è 20 dm3
(150 : 20) dm3 = 7,5 kg/ dm3

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.


ESERCIZI
  1. Il peso specifico del gesso è 1,4 perché ……………………………………………………
  2. Per trovare il peso di un corpo devo ………………… il suo p.s. per …………………….
  3. Per trovare il p.s. di un corpo devo ………………… il suo peso per …………………….
  4. Per trovare il volume di un corpo devo ………………… il suo peso per …………………
  5. Completa, sapendo che le misure si riferiscono ad acqua distillata a 4°
    • 76 cm3 corrispondono a ………………. ml e pesano ………….. g
    • 10 m3 corrispondono a ………………. l e pesano ………….. Mg
    • 312 dm3 corrispondono a ………………. l e pesano ………….. hg
    • 0,273 m3 corrispondono a ………………. hl e pesano ………….. Kg
  6. Qual è il peso in kg di un oggetto d’avorio (p.s 1,86) che ha il volume di 24 cm3?
  7. Una sfera d’acciaio con il volume di 5,9 dm3 pesa 45,725 kg. Qual è il p.s. dell’acciaio?
  8. Un contenitore pieno di benzina (p.s. 0,75) pesa 10,725Kg, vuoto pesa 2 kg. Qual è la capacità del contenitore?

Angoli e rette

Due angoli della stessa ampiezza sono congruenti.
Due angoli la cui somma sia un angolo retto si dicono complementari.
Due angoli la cui somma sia un angolo piatto si dicono supplementari.
Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono esplementari.

a + b = 90°    a e b sono angoli complementari
d + e = 180°   d e e sono angoli supplementari
w + g = 360°   w e g sono angoli esplementari

Consideriamo ora due rette parallele appartenenti allo stesso piano ed una terza retta incidente ad entrambe. Otteniamo 8 angoli che a coppie godono di alcune proprietà

Consideriamo solo queste coppie

Se invece vediamo queste altre coppie

Consideriamo ora questa situazione

Quindi, per esemplificare, l’angolo 1 è congruente all’angolo 4 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 8 perché angoli alterni esterni, è congruente all’angolo 5 perché angoli corrispondenti.
L’angolo 3, ad esempio, è congruente all’angolo 2 perché angoli opposti al vertice, è congruente all’angolo 6 perché angoli alterni interni, è congruente all’angolo 7 perché angoli corrispondenti.
In sintesi:
1≡4≡5≡8
2≡3≡6≡7

Consideriamo ancora:


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Due angoli si dicono congruenti quando ……………………
2.      Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è ……………….
3.      Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è ……………….
4.      Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è ……………….
5.      Se abbiamo un angolo acuto, l’angolo supplementare può essere un altro angolo acuto? Perché?
6.      



Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni esterni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        1 ≡ 8
·        7 ≡ 2
·        7 ≡ 8
·        7 ≡ 1

7.     

Individua con colori diversi le coppie di angoli corrispondenti. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        4 ≡ 8
·        7 ≡ 4
·        3 ≡ 4
·        5 ≡ 1

8.       
Individua con colori diversi le coppie di angoli alterni interni interni. Quali sono le coppie? Quali affermazioni sono vere?
·        4 ≡ 5
·        4 ≡ 6
·        4 ≡ 3
·        3 ≡ 6





Gli angoli

Ora che le conosciamo, immaginiamo due semirette con lo stesso punto di origine, non appartenenti alla stessa retta. Così:

Queste semirette dividono il piano in due parti, che prendono il nome di angoli.
L’angolo è dunque una delle due parti di piano determinate da due semirette con la stessa origine e giacenti sullo stesso piano.
Le due semirette prendono il nome di lati, mentre il punto di origine si chiama vertice.

Gli angoli si dicono convessi se non contengono il prolungamento dei lati e concavi se, invece, li contengono.




Se l’angolo ha per lati due segmenti consecutivi, lo indicheremo in questo modo

BÂC

oppure in questo



AČB

L’angolo ha una sola dimensione: l’ampiezza (non ha spessore, né lunghezza né larghezza) e, oltre ai modi che abbiamo visto sopra, essendo parte di piano può anche essere indicato con una lettera dell’alfabeto greco.
Non dovrebbe essere difficile ricordare che un angolo, secondo l’ampiezza, può essere:
·        Giro = 360° (i lati sono semirette coincidenti)
·        Piatto = 180° (i lati sono semirette adiacenti)
·        Retto = 90° (i lati sono semirette tra loro perpendicolari)
·        Acuto = minore di 90°
·        Ottuso = maggiore di 90°

Due angoli inoltre sono:
·        Consecutivi se hanno in comune un vertice ed un lato

·        Adiacenti se sono consecutivi ed i due lati non comuni appartengono alla stessa retta

·        Opposti al vertice se i loro lati sono semirette opposte


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      Completa:
L’angolo è una delle due parti di ………….. determinata da due …………………. aventi la stessa origine e giacenti sullo stesso …………… . Il punto di origine si dice ……………… e le due semirette si dicono ……………… .

2.      Indica qual è il vertice e quali i lati di questo angolo. Poi indica qual è l’angolo convesso e qual è l’angolo concavo.

3.      Indica se questi angoli sono convessi o concavi


4.      Indica per ogni figura se i due angoli sono consecutivi, adiacenti o opposti al vertice


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Commenti (da Net Parade e da Facebook)

bravi!!!!

Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

Un sito chiaro che spiega la matematica come si farebbe ai bambini (la semplicità è sempre efficace per fare apprendere concetti che sembrano astratti anche agli adulti). Il m.c.m. spiegato in quel modo è di una semplicità sconcertante e di immediata comprensione. BRAVI!!!

Non sono una docente di matematica, insegno sostegno nella s.sec.di 1° e questo sito è "oro" per chi fa il nostro lavoro. Grazie!:)

Una presentazione chiara ed efficace che può aiutare alunni e docenti. Bravi!
Luisa

Sono un alunno delle medie e vengo spesso a visitare questo sito per ripassare ed esercitarmi.
Luigi

Blog ad uso non solo degli studenti con spegazioni chiare ed efficaci ma anche per i docenti con tanti utilissimi spunti. L'ho condiviso sulla mia pagina e su Google+.
Sonia

Ottimo sito aiuta molto gli studenti.
Luigi

Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

Utile e chiaro. Complimenti!

Ottimo e utilissimo sito.

E' stato il primo sito chiaro e immediatamente utile.
DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca