Risoluzione di problemi mediante le equazioni

Vediamo ora di affrontare la soluzione di problemi mediante equazioni di primo grado ad una incognita.

Consideriamo questo problema.

Calcola un numero tale che la somma della sua metà con il suo triplo è uguale alla differenza fra se stesso e 15. Calcola il numero.

Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.

Occorre poi individuare l’incognita. 

Vediamo un altro problema.

Marco, Luigi e Giorgio complessivamente hanno 27 anni. Giorgio ha 3 anni più di Marco e Luigi12 anni in meno di Giorgio. Qual è l’età dei tre ragazzi?

Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.

Occorre poi individuare l’incognita.

In questo problema l’incognita è l’età dei tre ragazzi quindi chiamiamo x l’età di uno di loro, per esempio Luigi. Allora l’età di Giorgio sarà x + 12, mentre l’età di Marco sarà x + 12 - 3.

Occorre poi tradurre il problema in equazione.

x + (x + 12) + (x + 12 – 3) = 27

Dobbiamo ora risolvere l’equazione.

x + (x + 12) + (x + 12 – 3) = 27

x + x + x = - 12 – 12 + 3 + 27

3 x = +6

x = 2 età di Luigi

2 + 12 = 14 età di Giorgio

14 – 3 = 11 età di Marco 

Analizziamo ora un terzo problema.

L’ipotenusa di un triangolo rettangolo misura 20 cm e il cateto maggiore è i 4/3 del cateto minore. Calcola il perimetro del triangolo.

Iniziamo sempre con la lettura, l’analisi del testo, l’individuazione dei dati.

Occorre poi individuare l’incognita.

In questo problema possiamo considerare come incognita il cateto minore, che chiameremo quindi x.

  

Naturalmente non possiamo avere una misura negativa, quindi consideriamo x = 12, perciò il cateto minore è lungo 12 cm.

Allora il cateto maggiore sarà  4/3 x 12 = 16 cm

E il perimetro sarà (20 + 16 + 12) cm = 48 cm

ESERCIZI

· La differenza fra un numero e 5 è uguale alla somma del suo doppio ed i suoi ¾ diminuita di 19. Calcola il numero.
· Calcola due numeri la cui somma è 21, conoscendo che la differenza tra i due numeri è 3.
· Un padre ha 38 anni ed il figlio 17. Fra quanti anni l’età del padre sarà il doppio di quella del figlio?
· In una cantina da una botte piena di vino si travasano prima 1/3 del contenuto e successivamente 56 litri; dopo queste operazioni la botte resta piena per i 2/5 della sua capacità. Qual è la capacità del recipiente?
· Il perimetro di un rettangolo è 162 cm e la base è i 3/5 dell’altezza. Calcola la misura della base, dell’altezza e la sua area.
· Un triangolo ha un angolo ampio 54°. Gli altri due angoli sono uno i 9/5 dell’altro. Calcolane l’ampiezza.
· In un rombo la differenza fra la lunghezza delle due diagonali misura 10 cm ed una diagonale è i ¾ dell’altra. Calcola il perimetro e l’area del rombo.
· In un triangolo isoscele l’altezza è i 2/3 della base. Calcola la sua area sapendo che il perimetro misura 176 cm. 

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Le disequazioni

Abbiamo visto come le equazioni siano la traduzione matematica di frasi aperte, come ad esempio:

“il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale a 3” che diventa 2x – 5 = 3.

Se abbiamo invece una frase aperta del tipo “il doppio di un numero diminuito di 5 è maggiore di 12”, la traduzione matematica diventa 2x – 5 > 12.

In questo caso non siamo di fronte ad una uguaglianza, ma ad una disuguaglianza che prende il nome di disequazione.

La soluzione della disequazione è data dall’insieme di valori che rendono vera la frase aperta: questo insieme di valori può essere chiamato insieme verità e può essere finito, infinito o vuoto.

Consideriamo le seguenti disequazioni:

x < 6

le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme verità finito: {0; 1; 2; 3; 4; 5}

x > 5

le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme verità infinito: {6; 7; 8; 9; 10; ……}

x < 0

nell’insieme N non ci sono soluzioni quindi l’insieme verità è vuoto: {Ø}

Anche per le disequazioni valgono le proprietà viste per le equazioni.

Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di una disequazione lo stesso numero ottenendo una disequazione equivalente a quella data.

La conseguenza di ciò è che anche per le disequazioni vale la legge del trasporto: in ogni disequazione un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.

Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero positivo ottenendo una disequazione equivalente a quella data.

Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una disequazione per uno stesso numero negativo ottenendo una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto ( il < diventa > e viceversa).

La conseguenza è che possiamo ottenere una disequazione equivalente a quella data ma di verso opposto cambiando il segno di tutti i suoi termini.

Vediamo alcuni esempio su come risolvere una disequazione. Il segno ≤ si legge minore o uguale mentre il segno ≥ si legge maggiore o uguale.

·      3(2x-3) ≤ 4x - 7

Dobbiamo prima di tutto eliminare le parentesi

6x-9 ≤ 4x – 7

Ora trasportiamo al primo membro tutti i termini in x

6x – 4x ≤ 9 – 7

Eseguiamo le addizioni algebriche

2x ≤ 2

Dividiamo entrambi i membri per 2

x ≤ 1

Troviamo il mcm dei denominatori, in questo caso 2. Eliminiamo i denominatori moltiplicando tutti i termini per il mcm 2.

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Stampare la prova Invalsi di matematica a. s. 2012/13

Propongo un documento in pdf ed in word che ricalca la prova Invalsi assegnata alle classi terze nell'a.s. 2012/2013. Qual è il vantaggio di scaricarlo e stamparlo?

- Contiene 28 esercizi, uguali alla prova Invalsi dello scorso anno: gli alunni potranno così esercitarsi testando se riescono ad eseguire il lavoro nel tempo assegnato.

- Ho concentrato gli esercizi e curato l'impaginazione per cui occorre solamente stampare 9 pagine per ogni alunno, invece delle 21 contenute nella prova Invalsi.

Non resta allora che stampare, fotocopiare ed analizzare i risultati ottenuti.

Fai clic sul link per stampare la simulazione in pdf (che puoi vedere in anteprima qui sotto) o, per chi preferisce, in word.

Prova Invalsi di matematica 2013 - classe terza

Metto a disposizione di tutti i fruitori del blog un test da svolgere on line contenente tutte le domande della prova Invalsi di matematica assegnata nel 2013 all'esame di Stato.
La prova può essere svolta individualmente o collettivamente se si ha la possibilità di usare un'aula di informatica. Può essere svolta anche con la Lim.
Ogni studente ha un tempo prestabilito per terminare il test pari a quello assegnato in sede d'esame e cioè 75 minuti.
Sono presenti gli stessi items della prova nazionale, ad eccezione di alcune richieste di giustificazione delle risposte date, in quanto il software non è in grado di valutarle.
Al termine della prova ogni studente riceverà una valutazione e si potranno esaminare tutte le risposte fornite ed analizzare quindi eventuali errori.
Nel caso si notino imprecisioni od errori segnalatemelo sulla pagina facebook.https://www.facebook.com/pages/Matematica-scuola-secondaria-1grado/239805639396528

Per iniziare il quiz fai clic su questo link.

Risolvere equazioni di primo grado

Sappiamo che la soluzione di un’equazione è data dal calcolo dei valori delle incognite che rendono vera l’equazione. Se consideriamo l’equazione 3x = 21 notiamo che il primo membro dell’equazione è formato da un unico termine, detto coefficiente della x, mentre il secondo membro è formato da un unico termine noto. Un’equazione di questo tipo si dice ridotta in forma normale.

Come possiamo risolvere un’equazione ridotta in forma normale? E’ sufficiente dividere il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.

3x = 21           x = 21/3 = 7

Vediamo alcuni altri esempi

E se l’equazione non è ridotta a forma normale? Occorre ridurla a forma normale seguendo alcune regole.

1) Occorre innanzitutto eliminare le parentesi eseguendo le operazioni indicate secondo le regole già note.

 

2) Se, come in questo caso, l’equazione è con termini frazionari, occorre ridurla a forma intera. A tal fine bisogna calcolare il m.c.m. dei denominatori; m.c.m. (3; 2) = 6 e successivamente moltiplicare ciascun membro dell’equazione per l’m.c.m.

  

3) Una volta ridotta l’equazione a forma intera, in virtù del 1° principio di equivalenza che ci consente di spostare qualsiasi termine da un membro all’altro cambiandolo di segno, trasportiamo tutti i termini in x al 1° membro e tutti i termini noti al 2° membro.

4 + 3x + 18x – 18x + 12x = - 4 – 12 - 4

4) Ora eseguiamo l’addizione algebrica dei termini del 1° e del 2° membro, riducendo così l’equazione a forma normale.

3x + 18x – 18x + 12x = - 4 – 12 - 4

15x = -20

 

5) Risolviamo ora l’equazione dividendo il termine noto dell’equazione per il coefficiente dell’incognita.

Quando siamo nella fase 5 e quindi abbiamo l’equazione ridotta in forma normale da risolvere, possono presentarsi questi casi, di cui ora proporremo un’esemplificazione:

a)      Nell’equazione risolta sopra abbiamo avuto al termine

    

La soluzione esiste ed è unica: l’equazione è determinata.

b)      Immaginiamo di avere questa equazione ridotta a forma normale

Anche in questo caso a soluzione esiste ed è unica: l’equazione è determinata.

c)      Immaginiamo di avere questa equazione ridotta a forma normale

0x = 15

x non può avere nessun valore perché non esiste un numero che moltiplicato per zero dia 15 o qualunque altro numero diverso da zero: l’equazione è impossibile.

d)      Immaginiamo di avere questa equazione ridotta a forma normale

0x = 0

x può assumere il valore di qualsiasi numero perché qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero: l’equazione è indeterminata perché ha infinite soluzioni.

ESERCIZI

·      Risolvi le seguenti equazioni

11x + 3 – 4 = 12x + 6 – 2x

4(x + 2) – 2x = 2(x + 6)

5x + 6(3x – 1) = 7x + 4(x – 2) + 1

3(6x – 4) + 12x = 5(4x + 1) + 10x – 17

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Identità ed equazioni

Iniziamo prendendo in esame alcuni enunciati veri ed esprimendoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:

a)      La differenza tra un numero e zero è uguale al numero stesso

x – 0 = x

b)      Il prodotto di un numero per zero è uguale a zero

x ^. 0 = 0

c)      Un numero moltiplicato per se stesso tre volte è uguale al suo cubo

x ^. x ^. x = x³

Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, sempre vere, qualunque sia il valore assegnato. Infatti:

a)      per x = 5 abbiamo 5 – 0 = 5

per x = - 3 abbiamo -3 - 0 = - 3

per x = 3/5 abbiamo 3/5 – 0 = 3/5

b)      per x = 6 abbiamo 6 x 0 = 0

per x = - 5 abbiamo - 5 ^. 0 = - 3

per x = 1/4 abbiamo 1/4 ^. 0 = 0

c)      per x = 4 abbiamo 4 x 4 x 4 = 4³

per x = - 2 abbiamo (- 2) (- 2) (-2) = - 2³

per x = 1/3 abbiamo (1/3) (1/3) (1/3) = (1/3)³

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati veri si dicono identità. Quindi l’identità è un’uguaglianza fra due espressioni verificata per qualunque valore delle lettere presenti.

Prendiamo ora in esame alcuni enunciati aperti ed esprimiamoli in termini matematici, usando x per indicare il numero:

a)      La differenza tra un numero e tre è uguale a quattro

x – 3 = 4

b)      Il prodotto di un numero per due è uguale a dieci

x ^. 2 = 10

c)      Il quadrato di un numero è uguale a 36

x² = 36

Abbiamo ottenuto delle uguaglianze tra espressioni letterali, vere solo per alcuni valori di x. Infatti:

a)      se x = 7 abbiamo 7 – 3 = 4 l’uguaglianza è vera

per x = 5 abbiamo 5 - 3 = 4 l’uguaglianza è falsa

b)      per x = 5 abbiamo 5 x 2 = 10 l’uguaglianza è vera

per x = - 5 abbiamo - 5 ^. 2 = 10 l’uguaglianza è falsa

c)      per x = 6 abbiamo 6² = 36 l’uguaglianza è vera

per x = 7 abbiamo 7² = 36 l’uguaglianza è falsa

Possiamo affermare che queste uguaglianze che esprimono in termini matematici enunciati aperti e che sono soddisfatte solo per determinati valori, si dicono equazioni. Quindi l’equazione è un’uguaglianza fra due espressioni verificata solo per determinati valori delle lettere presenti.

Vediamo ora la corretta terminologia, considerando ad esempio la seguente equazione

xy – 3x = 6 – 3x

Vediamo che l’equazione è composta da due espressioni letterali, dette rispettivamente 1° e 2° membro dell’equazione.

Le lettere presenti nell’equazione sono dette incognite, mentre i termini che non contengono le incognite sono detti termini noti.

A seconda del numero di lettere diverse presenti in una equazione si parla di equazione a una, a due, a tre, a …. incognite. Nell’esempio sopra abbiamo un’equazione a due incognite.

15 x + 13 = x – 1 è un’equazione ad una incognita.

Il grado di un’equazione si determina individuando il grado più elevato dei monomi che formano l’equazione: 4x² – x = 0 è un’equazione di 2° grado; x²y + y⁴ = 10 è un’equazione di 4° grado.

La soluzione di un’equazione è data dal calcolo dei valori delle incognite che rendono vera l’equazione.

Dobbiamo ora considerare i principi di equivalenza delle equazioni.

Il 1° principio di equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di un’equazione lo stesso numero o una espressione algebrica contenente l’incognita, ottenendo un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione 5x + 2 = 17. La soluzione dell’equazione è x = 3. Infatti:

5^. 3 + 2 = 17

Applichiamo ora il 1° principio di equivalenza aggiungendo ad entrambi i membri un numero, ad esempio il numero 4. Otteniamo:

5x + 2 + 4 = 17 + 4 e vediamo che la soluzione è ancora x = 3. Infatti

5^. 3 + 2  + 4 = 17 + 4

Proviamo ora a togliere uno stesso numero, ad esempio 2. Otteniamo:

5x + 2 – 2 = 17 – 2 e notiamo che la soluzione è ancora x = 3. Consideriamo meglio questo esempio:

Confrontiamo questa equazione con quella di partenza, sapendo che sono equivalenti:

5x + 2 = 17

5x = 17 – 2

Notiamo che abbiamo spostato il termine noto dal 1° al 2° membro, cambiandolo di segno.

Possiamo dunque affermare che, in ogni equazione, un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo di segno.

Vediamo un esempio

3x – 4 – 2x = 26 – 5x                        è equivalente a 3x – 2x  + 5x = 4 + 26 e cioè 6x = 30

Consideriamo un altro esempio

4x - 6 + 2x = 2x + 6              è equivalente a 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e cioè 4x = 12

Se confrontiamo 4x + 2x – 2x = 6 + 6 e  4x = 12 vediamo che in pratica abbiamo eliminato + 2x che era presente in entrambi i membri dell’equazione.  Possiamo dunque affermare che in un’equazione possiamo eliminare eventuali termini uguali presenti sia nel 1° che nel 2° membro.

Ora consideriamo il 2° principio di equivalenza delle equazioni.

Il 2° principio di equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di un’equazione per uno stesso numero (diverso da zero), ottenendo un’equazione equivalente a quella data.

Consideriamo l’equazione x – 2 = 14

Moltiplichiamo entrambi i membri per -1. Otteniamo

-1 ^. (x – 2) = -1^. 14     cioè –x + 2 = -14

Questa equazione è equivalente a quella di partenza: possiamo notare come siano cambiati i segni di tutti i termini dell’equazione.

Affermiamo dunque che possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data cambiando il segno di tutti i suoi termini.

Consideriamo ora un’equazione a termini frazionari. Ad esempio:

Notiamo che otteniamo un’equazione equivalente a quella di origine ma ridotta a forma intera.

Possiamo dunque affermare che, data un’equazione a termini frazionari,  possiamo ottenere un’equazione equivalente a quella data e ridotta a forma intera moltiplicando ciascun termine dell’equazione per il m.c.m. di tutti i denominatori.

Sintetizzando tutto il lungo discorso possiamo dire

ESERCIZI

·      Stabilisci quali delle seguenti uguaglianze sono identità o equazioni

4 (x + y) = 4x + 4y

x + 6 = 2x

(a + b)² = a² + 2ab + b²

a + 3 = - (- a – 3)

2 x + 3 = x – 4

·      Individua il grado di ciascuna equazione

3x² – x = 0

xy² + y⁴ = 10

a³ – 3a² + 3a = -1

3a - 7 = - a + 2

·      Indica quali sono le incognite e i termini noti di ciascuna equazione

	Termini noti	Incognite
-2x + 4 = x – 6
x + 2y = 8
ab3 – a2b + c = 2a + 1

·      Che cosa afferma il primo principio di equivalenza?

·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 1° principio di equivalenza

16 = 7x + 2

- 9 + 7x = 2x + 1

8x + 7 – x = 3x + 9

·      Che cosa afferma il secondo principio di equivalenza?

·      Scrivi un’equazione equivalente a quella data in base al 2° principio di equivalenza

3x – 2x + 1 = 10x

·      Riduci a forma intera le seguenti equazioni

                    

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