Cerchiamo di comprendere alcuni concetti relativi alla
lunghezza della circonferenza.
Essendo la circonferenza una linea curva chiusa, per poterne
misurare la lunghezza occorre rettificarla, cioè trasformarla in un segmento
che potremo misurare senza difficoltà.
Proviamo a rettificare tre circonferenze di lunghezza
diversa.
Possiamo constatare che la lunghezza del diametro è
contenuta nella lunghezza della circonferenza sempre 3,…. volte.
Il problema è la determinazione esatta del valore che segue
la virgola: molti matematici si sono dedicati a questo studio scoprendo che si
tratta di un numero irrazionale con infinite cifre decimali, per cui è
impossibile determinarne esattamente il valore, avremo sempre un valore
approssimato.
Le prime 100 cifre decimali di questo
numero sono:
3,14159 26535 89793 23846 26433
83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825
34211 7067…
e spesso si usa la prima approssimazione di Archimede: 3,14
per cui possiamo ricavare in modo approssimato la lunghezza della circonferenza e del diametro
Vediamo una situazione problematica.
La lunghezza di una
circonferenza è di 163,28 m. Calcola la misura del suo diametro.
Possiamo utilizzare la soluzione numerica approssimata: d = 163,28 : 3,14 = 52 m
Esaminiamo queste altre due situazioni.
·
Una
circonferenza ha il raggio lungo 30 cm; calcola la sua lunghezza.
Possiamo utilizzare la soluzione numerica applicando la
formula C = π . 2r quindi
C = (3,14 . 2 . 30) cm = 188,4 cm
Possiamo usare la soluzione con la costante π:
C = 2 . 30 . π = 60 π
cm
·
Calcola la
misura del raggio di una circonferenza lunga 50 m.
Una volta conosciuta la circonferenza possiamo ricavare la lunghezza anche di qualsiasi arco della circonferenza. Guardiamo questo esempio:
L’angolo al centro di 30° forma l’arco AB, quello di 60°
l’arco AC mentre l’angolo di 90° forma l’arco AD. Ci accorgiamo che le due
grandezze (ampiezza dell’angolo al centro e lunghezza degli archi
corrispondenti) sono direttamente proporzionali perché raddoppiando l’ampiezza
di uno raddoppia la lunghezza dell’altro. Dobbiamo poi ricordare che l’angolo
al centro di 360° corrisponde a tutta la circonferenza.
Ricordando i problemi del tre semplice e chiamando l la lunghezza dell’arco possiamo dire
che:
Vediamo un esempio.
Calcola la lunghezza
di un arco ampio 45° appartenente ad una circonferenza con il raggio di 32 cm.
(Useremo anche in questo caso la soluzione numerica approssimata e la soluzione
esatta con π)
Soluzione numerica
Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che
α° = 45° mentre ignoriamo sia C che l.
Conoscendo il raggio possiamo trovare la circonferenza: (2 . 3,14 . 32) cm = 200,96
cm
Riscriviamo la proporzione per trovare la lunghezza l dell’arco
360° : 45° = 200,96 : x
Soluzione esatta
(2 . π.
32) cm = 64π cm circonferenza
360° : 45° = 64π : x
Un altro esempio
Un arco è lungo 12,88
m ed insiste su un angolo al centro di ampiezza 40°. Quanto misura il raggio
della sua circonferenza? (Useremo anche in questo caso la soluzione
numerica approssimata e la soluzione esatta con π)
Soluzione numerica
Per poter usare la proporzione 360° : α° = C : l sappiamo che
α° = 40° e che l = 12,88 m mentre
ignoriamo C.
Riscriviamo la proporzione per trovare C.
360° : 40° = x : 12,88
ESERCIZI
- La somma delle lunghezze di due circonferenze misura 180π e una è il doppio dell’altra. Calcola la lunghezza dei raggi delle due circonferenze.
- La differenza delle lunghezze di due circonferenze misura 38,16 cm e una è i 4/5 dell’altra. Calcola la misura dei loro diametri. (Cerca il risultato esatto usando π)
- Due circonferenze sono tangenti esternamente e la distanza tra i loro centri è di 30 cm. Sapendo che la lunghezza di una circonferenza è 113,04, calcola la lunghezza dell’altra. (Cerca il risultato approssimato usando π = 3,14)
- Una circonferenza è inscritta in un quadrato avente l’area di 961 cm2. Calcola la lunghezza della circonferenza.
- Un arco appartiene ad una circonferenza avente il raggio di 25 cm; l’angolo al centro corrispondente all’arco è ampio 72°. Calcola la misura della lunghezza dell’arco. (Cerca il risultato esatto usando π).
- Calcola la misura del raggio di una circonferenza sapendo che il suo arco è lungo 87,4 cm ed il corrispondente angolo al centro ha un’ampiezza pari ai 2/5 di un angolo retto. (Cerca il risultato esatto usando π).
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