Abbiamo visto come le equazioni siano la traduzione
matematica di frasi aperte, come ad esempio:
“il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale a 3” che
diventa 2x – 5 = 3.
Se abbiamo invece una frase aperta del tipo “il doppio di un
numero diminuito di 5 è maggiore di 12”, la traduzione matematica diventa 2x –
5 > 12.
In questo caso non siamo di fronte ad una uguaglianza, ma ad
una disuguaglianza che prende il
nome di disequazione.
La soluzione della disequazione è data dall’insieme di
valori che rendono vera la frase aperta: questo insieme di valori può essere
chiamato insieme verità e può essere finito, infinito o vuoto.
Consideriamo le seguenti disequazioni:
x < 6
le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme
verità finito: {0;
1; 2; 3; 4; 5}
x > 5
le soluzioni nell’insieme N sono date da questo insieme
verità infinito: {6;
7; 8; 9; 10; ……}
x < 0
nell’insieme N non ci sono soluzioni quindi l’insieme verità
è vuoto: {Ø}
Anche per le disequazioni valgono le proprietà viste per le
equazioni.
Il 1° principio di
equivalenza permette di addizionare o sottrarre ai due membri di una
disequazione lo stesso numero ottenendo una disequazione equivalente a quella
data.
La conseguenza di ciò è che anche per le disequazioni vale
la legge del trasporto: in ogni
disequazione un termine può essere spostato da un membro all’altro cambiandolo
di segno.
Il 2° principio di
equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una
disequazione per uno stesso numero positivo ottenendo una disequazione equivalente
a quella data.
Il 2° principio di
equivalenza permette di moltiplicare o dividere i due membri di una
disequazione per uno stesso numero negativo ottenendo una disequazione
equivalente a quella data ma di verso opposto ( il < diventa > e viceversa).
La conseguenza è che
possiamo ottenere una disequazione equivalente a quella data ma di verso
opposto cambiando il segno di tutti i suoi termini.
Vediamo alcuni esempio su come risolvere una disequazione.
Il segno ≤ si legge minore o uguale mentre il segno ≥ si legge maggiore o
uguale.
·
3(2x-3) ≤ 4x - 7
Dobbiamo prima di tutto eliminare le parentesi
6x-9 ≤ 4x – 7
Ora trasportiamo al primo membro tutti i termini in x
6x – 4x ≤ 9 – 7
Eseguiamo le addizioni algebriche
2x ≤ 2
Dividiamo entrambi i membri per 2
x ≤ 1
Troviamo il mcm dei denominatori, in questo caso 2.
Eliminiamo i denominatori moltiplicando tutti i termini per il mcm 2.
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