Espressioni con le potenze

Per eseguire espressioni con le potenze, ricordiamo di eseguire le potenze, prima di tutte le altre operazioni. Fatto ciò, sarà sufficiente seguire le regole già conosciute per calcolare il valore di una espressione.
Vediamo un esempio.

{[(93: 9 + 65: 63 – 33) : 32 + 1]2 – 202 : (32 x 2 – 23)2 - 34}2 : 33
{[(92 + 62 – 27) : 9 + 1]2 – 400 : (9 x 2 – 8)2 - 81}2 : 27
{[(81 + 36 – 27) : 9 + 1]2 – 400 : (18 – 8)2 - 81}2 : 27
{[90 : 9 + 1]2 – 400 : 102 - 81}2 : 27
{[10 + 1]2 – 400 : 100 - 81}2 : 27
{112 – 4 - 81}2 : 27
{121 – 4 - 81}2 : 27
362 : 27
1296 : 27 = 48

Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.



ESERCIZI

{ 53 + 40 – [102 + 132 : 13 x 5 – 55 + (52 x 22 + 23 x 10) : 4 – 20]}

{[(72 – 23 x 6)5 x (82 – 63)3 + (32 x 5 – 148 : 147)] : 42 + 25 - 22}2

{53 – 30 – 2 x [52 – 4 x (64 : 64 – 1 + 5)] + 7 x 2} + 43 : 43

[(32 – 2) x 5 – 32] : 13 + [(34 : 3 + 5 ) : 24 + 16] : 18


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Le potenze

Un’altra operazione molto importante in N è l’elevamento a potenza. Di che si tratta? Di un modo più semplice di scrivere numeri molto grandi o molto piccoli.
Consideriamo e risolviamo questo problema:
“Un caseificio ha 4 corridoi destinati alla vendita della mozzarella. In ogni corridoio ci sono 4 scaffali. Ogni scaffale è composto da 4 ripiani. Su ogni ripiano vengono messe 4 confezioni di mozzarella ed ogni confezione contiene 4 mozzarelle. Quante sono in tutto le mozzarelle?”
Potremmo risolvere in questo modo:
4 x 4 = 16 n° scaffali
16 x 4 = 64 n° totale ripiani
64 x 4 = 256 n° totale confezioni di mozzarella
256 x 4 = 1024 n° totale mozzarelle
L’operazione risolutiva è quindi:
4 x 4 x 4 x 4 x 4 = 1024
Notiamo che il fattore 4 è stato moltiplicato per se stesso 5 volte. Potremmo esprimere questa operazione anche così: 45


Abbiamo fatto un elevamento a potenza, cioè un’operazione in cui abbiamo moltiplicato la base per se stessa tante volte quante sono indicate dall'esponente.

45 si legge “quattro alla quinta”
52 = 5 x 5 = 25 e si legge “cinque alla seconda(o al quadrato) uguale 25”
33 = 3 x 3 x 3 = 27 e si legge “tre alla terza (o al cubo) uguale 27”
64 = 6 x 6 x 6 x 6 = 1296 e si legge “sei alla quarta uguale 1296”

Come le quattro operazioni già analizzate, anche le potenze godono di alcune proprietà:
·        Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno la stessa base, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la somma degli esponenti
34 x 35 = 34+5 = 39
23 x 22 = 23+2 = 25
·        Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi
24 x 34 = (2 x 3)4 = 64
23 x 53 = (2 x 5)3 = 103

·        Se dobbiamo dividere due potenze che hanno la stessa base, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti
45 : 43 = 45-3= 42
23 : 22 = 23-2 = 21
·        Se dobbiamo dividere due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi
64 : 34 = (6 : 3)4 = 24
153 : 53 = (15 : 5)3 = 33
·        Se troviamo questo calcolo
(22)3 siamo di fronte alla potenza di una potenza, che si legge “2 alla seconda elevato alla terza”.
(22)3 = 22 x 22 x 22 =
2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2  = 26
Se dobbiamo calcolare la potenza di una potenza, il risultato sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti
(34)2 = 34 x 2 = 38
(51)2 = 51 x 2 = 52
·        La potenza di un qualunque numero naturale con esponente 1 è uguale al numero stesso
51 = 5
121 = 12
·        La potenza di un qualunque numero naturale con esponente 0 è sempre uguale ad 1
50 = 1
120 = 1


Ecco una serie di esercizi che puoi svolgere on line seguiti da esercizi in forma cartacea.

ESERCIZI

1.      La potenza 34 indica:
·        Il prodotto di 3 fattori tutti uguali a 4
·        Il prodotto di 3 e 4
·        Il prodotto di 4 fattori tutti uguali a 3

2.      In una potenza la base indica:
·        quante volte bisogna moltiplicare l’esponente
·        i fattori (uguali) che bisogna moltiplicare tra di loro
·        il fattore che bisogna moltiplicare per l’esponente

3.      In una potenza l’esponente indica:
·        quante volte bisogna moltiplicare la base per se stessa
·        i fattori (uguali) che bisogna moltiplicare tra di loro
·        il fattore che bisogna moltiplicare per la base

4.      Calcola le seguenti potenze:
·        63 =
·        42 =
·        84 =
·        53 =
·        71 =
·        90 =

5.      Quali uguaglianze sono esatte?
·        43 = 4 x 4 x 4
·        62 = 6 x 6
·        34 = 3 x 4
·        42 = 4 x 4
·        75 = 7 x 7 x 7 x 7 x 7
·        25 = 5 x 5

6.      Scrivi il risultato
·        63 x 66 =
·        85 : 83 =
·        63 x 23  x 33 =
·        (23)4 =
·        454 : 94 =

7.      Esegui i seguenti calcoli
·        (65 x 64) : 63 =
·        (42)4 x (42)3 =
·        (78 : 73) x 74 =
·        (32)5 : (33)3 =
·        [(53 x 83 x 23) x (85 x 25 x 55)] : (403 x 23)2

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Potenze con i numeri relativi


Ricordiamo che l’elevamento a potenza è quella operazione in cui moltiplichiamo la base per se stessa tante volte quante sono indicate dall’esponente.
Esaminiamo alcuni esempi con i numeri relativi:

(+ 5)2 = (+5) . (+5) = +25
(+3)3 = (+3) . (+3) . (+3) =  (+ 9) . (+3) = +27
(-2)4 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) =  (+4) . (-2) . (-2) =  (-8) . (-2) = +16
(-6)5 = (-6) . (-6) . (-6) . (-6) . (-6) = (+36) . (-6) . (-6) . (-6) = (- 216) . (-6) . (-6) = (+1296) . (-6) = (- 7776)

Possiamo osservare come il risultato di potenze che hanno per base un numero relativo sia un altro numero relativo ottenuto moltiplicando il valore assoluto della base per se stesso tante volte quante indicate dall'esponente e sempre con segno positivo tranne il caso in cui la base è negativa e l’esponente è dispari.

Anche con i numeri relativi, le potenze mantengono le loro proprietà
·    Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno la stessa base, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la somma degli esponenti
Es.: 
 
·    Se dobbiamo moltiplicare due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il prodotto sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il prodotto delle basi.
Es.:
·    Se dobbiamo dividere due potenze che hanno la stessa base, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente la differenza degli esponenti.
Es.:
(+ 5) 4 : (+ 5)2 = (+ 5)4-2 = (+ 5)2 = 25

·    Se dobbiamo dividere due o più potenze che hanno lo stesso esponente, il quoziente sarà una potenza che avrà ancora lo stesso esponente e come base il quoziente delle basi.
Es.:
(+15)6 : (-3)6 = [(+15) : (-3)]6 = [-5]6 = 15625

·    Se dobbiamo calcolare la potenza di una potenza, il risultato sarà una potenza che avrà ancora la stessa base e come esponente il prodotto degli esponenti
 Es.:
·    La potenza di un numero relativo con esponente 1 è uguale al numero stesso
Es.:
 
·    La potenza di un qualunque numero relativo con esponente 0 è sempre uguale ad 1
Es.:



--------------------------------------------------------------------------------------------------
Tutte le potenze considerate finora avevano esponente positivo. Come fare se una potenza, invece, ha esponente negativo?

Consideriamo, ad esempio,
(+8)- 3
Facendo riferimento ad una delle proprietà precedentemente viste, possiamo considerare la potenza come quoziente della divisione (+8)3 : (+8)6
(+8)- 3 = (+8)3 : (+8)6
Proviamo a scrivere questa divisione sotto forma di frazione


Possiamo dunque affermare che la potenza di un numero relativo che ha esponente negativo è il reciproco della potenza data con esponente positivo opposto all'esponente dato. Vediamo qualche altro esempio:


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ESERCIZI

Calcola e risolvi applicando le proprietà adatte
·    (+4)2 . (+4)
·    (-2)3 . (-2)2
·    (-6)5 : (-6)3
·    (+5)3 . (+2)3

Commenti (da Net Parade e da Facebook)

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Molto utile! Grazie
ottimo insegnante ottimo lavoro complimenti

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Siete un valido aiuto per i genitori che aiutano i figli e, purtroppo devono sostituire la spiegazione inesistente di qualche insegnante di matematica svogliato. Grazie.

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DOPO ANNI DI SCUOLA FINALMENTE HO CAPITO IL SENSO DI:M.C.M. e m.c.m. !! Vi ho conosciuto oggi e siete diventati i miei migliori amici... Grazie per il Vostro impegno e competenza. Essere chiari e semplici non è da tutti, ciao da Luca