La sfera

La sfera è il solido che si ottiene dalla rotazione di 360° di un semicerchio attorno al suo diametro, come si può vedere in figura.

Il centro del semicerchio ed il suo raggio costituiscono anche il centro ed il raggio della sfera.

La superficie sferica ha la proprietà di avere tutti i suoi punti alla stessa distanza dal centro: sono, appunto, i raggi della sfera.

Quali sono le reciproche posizioni di una sfera ed un piano?

Una sfera ed un piano sono tangenti se hanno un punto in comune. Il raggio della sfera è anche la distanza dal centro della sfera al piano.

CA = r

Una sfera ed un piano si dicono esterni se non hanno alcun punto in comune. Il raggio della sfera è minore della distanza dal piano al centro della sfera.

r < CA

Una sfera ed un piano sono secanti se il piano taglia la sfera in un cerchio e quindi hanno un cerchio in comune. Il raggio della sfera è maggiore della distanza dal centro della sfera al piano.

r > CA

Se un piano secante passa per il centro della sfera prende il nome di piano diametrale, l’intersezione con la sfera è un cerchio avente lo stesso centro e lo stesso raggio della sfera: il cerchio massimo delimitato dalla circonferenza massima.

·         Vediamo ora come si chiamano le parti che otteniamo secando una sfera con uno o più piani.

Un piano secante divide la sfera in due parti, ognuna delle quali prende il nome di segmento sferico.

La parte di sfera compresa tra due piani secanti paralleli si chiama segmento sferico a due basi.

La parte di sfera compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama spicchio sferico.

·         Ed infine impariamo il nome delle parti che si ottengono secando una superficie sferica con uno o più piani.

Un piano secante divide la superficie sferica in due parti, ognuna delle quali prende il nome di calotta sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due piani secanti paralleli si chiama zona sferica.

La parte di superficie sferica compresa tra due semipiani uscenti dallo stesso diametro si chiama fuso sferico.

ESERCIZI

•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 6 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 9 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera di centro C ha il raggio lungo 8 cm, mentre la distanza di C da un piano α è di 6 cm. Sono tangenti, esterni o secanti?
•          Una sfera ha il raggio di 30 cm ed è secata da un piano; la sezione che si ottiene è un cerchio con l’area di 324 π cm². Calcola la distanza del piano dal centro della sfera.

•          Una sfera è secata da un piano distante 21 cm dal suo centro; la sezione che si ottiene è un cerchio con la circonferenza di 56 π cm. Calcola la misura del raggio della sfera.

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Superficie e volume del tronco di cono

Consideriamo un cono tagliato con un piano parallelo al piano della base: si ottengono due solidi, un cono ed un tronco di cono.

Possiamo definire il tronco di cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.

Il lato attorno a cui ruota il trapezio è l’asse di rotazione e l’altezza del tronco di cono, il lato obliquo è la generatrice e viene detto apotema del tronco di cono, le due basi del trapezio sono i raggi  della base maggiore e della base minore del tronco di cono.

Superficie laterale

La superficie laterale del tronco di cono è una parte di corona circolare equivalente alla superficie di un trapezio che ha come basi le due circonferenze di base del tronco e come altezza l’apotema del tronco.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un tronco di cono si calcola sommando le due circonferenze di base e moltiplicando il totale ottenuto per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C + C’)  ^. a)/2

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C + C’ =  S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C + C’  

Superficie totale

L’area della superficie totale di un tronco di cono si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b + A_b’

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t – (A_b + A_b’)                    (A_b + A_b’ ) = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un tronco di cono è equivalente ad un tronco di piramide con basi equivalenti ed altezze congruenti: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del tronco di piramide.

Siccome A_b= πr²₁ e A_b’= πr²₂

ESERCIZI

·         Un tronco di cono ha i raggi lunghi rispettivamente 20 cm e 10 cm e l’altezza lunga 24 cm. Calcola l’area della superficie laterale.

·         Un tronco di cono ha i due raggi lunghi rispettivamente 22 cm e 16 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 1348 π cm², calcola la misura dell’apotema.

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Superficie e volume del cono

Possiamo ottenere il cono dalla rotazione di 360° di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Possiamo quindi definire il cono come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un triangolo rettangolo attorno ad un suo cateto.

Il lato attorno a cui ruota il triangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cono, l’ipotenusa è la generatrice e viene detta apotema del cono, l’altro cateto è il raggio del cerchio di base del cono.

Se l’apotema del cono è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cono si dice equilatero.

Superficie laterale

La superficie laterale del cono equivale alla superficie di un settore circolare il cui raggio è congruente all’apotema mentre il suo arco è congruente alla circonferenza di base del cono.

Ora, noi sappiamo (mi riferisco al post http://matemedie.blogspot.it/2014/12/area-del-cerchio-e-delle-sue-parti.html)  che l’area di un settore circolare  si può calcolare moltiplicando la lunghezza del suo arco per la lunghezza del raggio e dividendo per due.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cono si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema e dividendo il prodotto per due.

S_l = (C  ^. a)/2 oppure S_l = πra

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = S_l ^.2 /a       a = S_l ^.2 /C  oppure a = S_l / πr         r =  S_l / πa

Superficie totale

L’area della superficie totale di un cono si otterrà sommando l’area di base all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - A_b                    A_b = S_t – S_l

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un cono è equivalente al terzo di un cilindro con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cono si può calcolare usando la formula del cilindro e dividendo per 3.

Possiamo dunque stabilire che il volume di un cono di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo per 3.

V = (A_b ^. h)/ 3 oppure V = πr²h/3

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V  ^. 3 /h                  h = V  ^. 3 / A_b oppure V  ^. 3 / πr²

ESERCIZI

• Un cono ha la circonferenza di base lunga 113,04 cm e l’area della superficie totale di 2712,96 cm². Calcola la lunghezza dell’apotema e dell’altezza. (approssima π a 3,14)

• In un cono l’apotema misura 50 cm e l’area di base è 1600π cm². Calcola l’area della superficie totale e il volume del cono.

• Un solido è formato da un cilindro sormontato da un cono che ha come base la base del cilindro. L’area della superficie del solido è di 1140π m². Sappiamo che il raggio di base è lungo 10 m e che l’area della superficie laterale del cilindro  è tripla di quella laterale del cono. Calcola il volume del solido.

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Superficie e volume del cilindro

Ricordate che possiamo ottenere alcuni solidi a superficie curva attraverso la rotazione di una figura piana attorno ad un suo lato?

Ad esempio possiamo ottenere il cilindro dalla rotazione di 360° di un rettangolo attorno ad un suo lato.

Possiamo quindi definire il cilindro come il solido che si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno ad un suo lato. Il lato attorno a cui ruota il rettangolo è l’asse di rotazione e l’altezza del cilindro, il lato parallelo è la generatrice mentre gli altri due lati del rettangolo sono i raggi dei due cerchi di base del cilindro.

Se l’altezza del cilindro è congruente al diametro della base e quindi alla lunghezza di due raggi, il cilindro si dice equilatero.

Superficie laterale

Consideriamo lo sviluppo di un cilindro.

Notiamo che la superficie laterale equivale alla superficie di un rettangolo avente come base la circonferenza del cilindro rettificata e per altezza la stessa altezza del cilindro.

Possiamo dunque affermare che la superficie laterale di un cilindro si calcola moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza.

S_l = C  ^. h

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

C = S_l /h       h = S_l /C       

Superficie totale

E’ evidente che l’area della superficie totale si otterrà sommando l’area delle due basi all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + 2A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - 2A_b                    A_b = (S_t – S_l)/2

Volume

Per calcolare il volume occorre sapere che un cilindro è equivalente ad un prisma con base equivalente ed altezza congruente: di conseguenza il volume del cilindro si può calcolare usando la stessa formula del prisma.

Possiamo dunque stabilire che il volume di un cilindro di calcolerà moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza.

V = (A_b ^. h)

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V /h                  h = V / A_b

ESERCIZI

·         L’altezza ed il diametro di base di un cilindro misurano rispettivamente 15 cm e 12 cm. Calcola l’area della superficie laterale, totale ed il volume del solido.

·         Un cilindro ha il raggio di 6 cm e l’altezza i 5/2 del raggio. Calcola l’area della superficie laterale ed il volume del cilindro.

·         Un cilindro ha il volume di 972 π cm³ mentre l’altezza è lunga 12 cm. Calcola l’area della superficie totale.

·         Un cilindro si ottiene dalla rotazione completa di un rettangolo attorno al suo lato maggiore. Sapendo che una dimensione è i 5/3 dell’altra e che il perimetro del rettangolo è di 64 cm, calcola l’area della superficie totale ed il volume del cilindro.

·         Un pozzo cilindrico ha l’area della superficie laterale interna di 170,816 m² e una profondità di 8 m. L’acqua in esso contenuta raggiunge un livello di 5 m dal fondo. Calcola quanti litri d’acqua contiene il pozzo. (approssima π a 3,14)

·         Un solido è composto da un cubo sormontato da un cilindro la cui base è inscritta nella faccia superiore del cubo. Il volume del solido è 763,2 cm³ mentre lo spigolo del cubo misura 8 cm. Calcola la misura dell’altezza del cilindro e l’area della superficie del solido. (approssima π a 3,14)

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Superficie e volume della piramide

Sappiamo già che nell’insieme dei poliedri non regolari troviamo il sottoinsieme dei prismi ed il sottoinsieme delle piramidi.

Le piramidi sono quei poliedri che non hanno facce parallele, una base sola che può essere un qualsiasi poligono e la superficie laterale formata da facce triangolari con un vertice in comune.

Il poligono su cui poggia è la base della piramide, le altre facce si dicono facce laterali, il vertice comune alle facce laterali è il vertice della piramide e la distanza fra il vertice e la base è l’altezza della piramide.

La piramide si dice triangolare, quadrangolare, pentagonale, ecc se il poligono di base è rispettivamente un triangolo, un quadrilatero, un pentagono, ecc.

Se la piramide ha come base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza ed il piede dell’altezza coincide col centro del cerchio inscritto nel poligono allora diremo che tale piramide è retta.

Nella figura, come esempio, hai una piramide pentagonale retta.
Notiamo che l’altezza VF di una delle facce laterali (per chiarezza del disegno ne ho disegnato solo una)  è l’ipotenusa del triangolo rettangolo VOF. Osserviamo anche che i cinque triangoli rettangoli VOF, VOG, VOH, VOI, VOL hanno il cateto VO in comune mentre i cateti OF, OG, OH, OI, OL sono congruenti perché raggi dello stesso cerchio. Quindi anche le cinque ipotenuse, altezze delle facce laterali, sono tra loro congruenti.

Le altezze dei triangoli laterali sono chiamate anche apotema della piramide.

Una piramide è regolare se è retta e se la sua base è un poligono regolare: in questo caso tutte le facce laterali saranno triangoli isosceli congruenti tra di loro.

Superficie laterale

Consideriamo la piramide retta vista in precedenza ed osserviamo lo sviluppo delle facce laterali. 

E’ evidente che l’area della superficie laterale è equivalente alla somma delle aree dei triangoli che formano le facce laterali.

Poiché (AB + BC + CD + DE + EA) è il perimetro della base della piramide possiamo dunque affermare che la superficie laterale di una piramide retta si calcola moltiplicando il perimetro di base per la misura dell’apotema della piramide e dividendo il prodotto per 2.

S_l = (p ^. a) /2

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

p = S_l ^. 2/a        a = S_l ^. 2/p       

Se la piramide non è retta occorre calcolare l’area della superficie laterale sommando le aree delle singole facce.

Superficie totale

E’ evidente che l’area della superficie totale si otterrà sommando l’area della base all’area della superficie laterale.

S_t = S_l + A_b

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

S_l = S_t - A_b                    A_b = S_t – S_l

Volume

La piramide è equivalente ad un terzo di un prisma avente l’area di base equivalente e l’altezza congruente rispettivamente all’area di base ed all’altezza della piramide, per cui possiamo dire che il volume di una piramide è un terzo di quello di un prisma con le caratteristiche elencate sopra.

Il volume di una piramide si calcola dunque moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo il prodotto per 3.

V = (A_b ^. h)/3

Dalla formula diretta possiamo ricavare le formule inverse:

A_b = V ^.3/h                  h = V ^.3/ A_b

ESERCIZI

·        Calcola l’area della superficie laterale, totale ed il volume di una piramide quadrangolare regolare sapendo che il lato di base misura 16 cm e l’altezza della piramide 15 cm.

·        Una piramide regolare quadrangolare ha l’area della superficie laterale e quella della superficie totale rispettivamente di 700 cm² e 896 cm². Calcola il suo volume.

·        Un solido è formato da un cubo e da una piramide la cui base coincide con una faccia del cubo. Lo spigolo del cubo misura 48 cm e l’apotema della piramide 40 cm. Calcola la superficie ed il volume del solido.

·        In una piramide quadrangolare regolare il perimetro di base è 144 cm. Sapendo che l’area della superficie totale è 3456 cm², calcola la lunghezza dell’apotema ed il volume della piramide.

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Superficie e volume del cubo

Il cubo è un parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti, quindi si tratta di un poliedro regolare limitato da 6 facce quadrate congruenti.

Misura della diagonale

In un cubo le tre dimensioni sono costituite dai tre spigoli (l) uscenti dallo stesso vertice.

Consideriamo la diagonale AG. Come ne possiamo calcolare la misura? Il triangolo GCA è un triangolo rettangolo retto nell’angolo C, per cui applicando il teorema di Pitagora, avremo che 

Ma GC corrisponde a l e AC è la diagonale della base che potremo trovare con

e quindi potremo trovare la diagonale del cubo facendo 

Con la formula inversa, conoscendo la misura della diagonale di un cubo, possiamo calcolare la misura dello spigolo: 

Per i calcoli si può considerare il valore approssimato

Superficie laterale e totale

Le facce laterali un cubo sono quattro quadrati congruenti di lato l quindi possiamo dire che la superficie laterale di un cubo si calcola moltiplicando l’area di una faccia (l² ) per 4.

S_l = 4l²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Le facce totali di un cubo sono sei quadrati congruenti di lato l quindi possiamo dire che la superficie totale di un cubo si calcola moltiplicando l’area di una faccia (l² ) per 6.

S_t = 6l²

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

Volume

Ricordando che il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo con le tre dimensioni congruenti e che il volume di un parallelepipedo si calcola moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza, possiamo affermare che il volume del cubo si calcolerà trovando l’area di base (l x l) e moltiplicando poi per l’altezza (l) quindi elevando al cubo la misura dello spigolo.

V = l³

Dalla formula diretta possiamo ricavare la formula inversa:

ESERCIZI

· Un cubo ha lo spigolo lungo 15 cm. Calcola la misura della diagonale, l’area della superficie laterale e totale.

· L’area della superficie laterale di un cubo è di 1024 cm2. Calcola la misura della diagonale, l’area della superficie totale ed il volume.

· L’area della superficie totale di un cubo è 4056 cm2. Calcola la misura dell’altezza di un parallelepipedo rettangolo equivalente al cubo e avente le due dimensioni della base lunghe rispettivamente 16 cm e 13 cm.

· La diagonale di un cubo misura 15,588 cm, calcola l’area della superficie laterale del cubo. 

. Calcola infine l’altezza di un prisma equivalente al cubo, avente per base un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 6 cm e 9 cm.

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