L'area dei poligoni regolari

Sappiamo che ogni poligono regolare può essere diviso in tanti triangoli congruenti quanti sono i lati del poligono (un pentagono in 5 triangoli, un esagono in 6 e così via).

La base di ognuno di questi triangoli coincide con il lato del poligono mentre l’altezza è detta  apotema (a).

Consideriamo un poligono regolare, ad esempio un quadrato, con il lato di 4 cm e misuriamo la sua apotema. Otteniamo a = 2 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2 : 4 = 0,5

Vediamo poi che un quadrato con il lato di 5 cm ha l’apotema lunga 2,5 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2,5: 5 = 0,5

Vediamo anche un quadrato con il lato di 6 cm ha l’apotema lunga 3 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 3 : 6 = 0,5

C’è un rapporto costante tra la misura dell’apotema e quella del lato del quadrato.  Provando anche con altri poligoni regolari constateremo sempre un rapporto costante (dipendente dal numero dei lati del poligono) tra la misura dell’apotema e quella del lato. Possiamo indicare questa costante con f.

Ecco le costanti di alcuni poligoni regolari, arrotondate a tre cifre decimali (quella del quadrato è esatta):

POLIGONO	COSTANTE
Triangolo equilatero	f = 0,289
Quadrato	f = 0,5
Pentagono regolare	f = 0,688
Esagono regolare	f = 0,866
Ettagono regolare	f = 1,038
Ottagono regolare	f = 1,207
Ennagono regolare	f = 1,374
Decagono regolare	f = 1,539
Dodecagono regolare	f = 1,866

Di conseguenza, conoscendo la misura del lato del poligono si può calcolare anche l’apotema:

a = l x f

Conoscendo l’apotema si può calcolare la misura del lato

l = a/f

Vediamo ora come si può calcolare l’area di un poligono regolare.

Ricordando che un poligono regolare di n lati si può scomporre in n triangoli congruenti, per calcolare l’area sarà sufficiente calcolare l’area di uno dei triangoli e moltiplicare il risultato per n (nel pentagono regolare l’area di un triangolo x 5, nell’esagono regolare l’area di un triangolo per 6, ecc.). Vediamo un esempio con l’ettagono regolare:

Constatiamo come 7 x l corrisponda al perimetro dell’ettagono, quindi la formula può diventare valida per ogni poligono regolare:

da cui possiamo ricavare le formule inverse

p = A x 2/a

a = A x 2/p

ESERCIZI

·        Completa la seguente tabella

poligono	lato	apotema	perimetro	area
Pentagono regolare			60 cm
Esagono regolare		34,64 cm
Ettagono regolare	6 dm
Decagono regolare			60 m

·        Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area.

·        Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie?

·        Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m² e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura di un suo lato.

·        Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm.

·        I seguenti due decagoni regolari hanno i lati, paralleli, lunghi rispettivamente 30 cm e 15 cm. Calcola l’area della parte colorata.

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni

L'area dei triangoli

Consideriamo un qualsiasi triangolo ABC, costruiamo un secondo triangolo congruente al primo e spostiamolo nel modo indicato in figura.

Otteniamo un parallelogramma con un’area equivalente a quella di due triangoli: possiamo dunque dire che l’area del triangolo corrisponde alla metà dell’area di un romboide con la stessa base e la stessa altezza del triangolo. Quindi:

A = (b x h) : 2  da cui possiamo ricavare le formule inverse

b = Ax 2/h

h = A x 2/b

Esiste anche la possibilità di calcolare l’area del triangolo conoscendo la misura dei tre lati: occorre applicare la formula di Erone.

Indichiamo con a, b e c la misura dei tre lati di un triangolo e con p il suo perimetro. La formula di Erone è la seguente:

Per trovare quindi l’area di un triangolo occorre estrarre la radice quadrata  del prodotto del semiperimetro per la differenza tra il semiperimetro ed i lati a, b, c.

ESERCIZI

·        Calcola l’area di un triangolo che ha la base di 32 cm e l’altezza uguale ai ¾ della base.

·        Di un triangolo scaleno si conoscono le misure dei tre lati: AB, BC e AC misurano rispettivamente 15 cm, 30 cm e 35 cm. Calcola la misura dell’altezza BH relativa al lato AC.

·        Un triangolo rettangolo ha l’area di 888 m², il cateto minore di 37 m e l’ipotenusa di 60 m. Qual è il suo perimetro?

·        In un triangolo la somma delle lunghezze della base e dell’altezza misura 48 cm mentre la loro differenza è di 14 cm. Calcola l’area del triangolo.

·        Un triangolo è equivalente ad un quadrato avente il lato lungo 36 m. Calcola la misura dell’altezza del triangolo sapendo che la sua base misura 48 m.

Visualizza, scarica e stampa gli esercizi

Visualizza, scarica e stampa le soluzioni