La simmetria assiale

La simmetria assiale è una trasformazione geometrica originata da un ribaltamento di asse a. Questo asse è detto asse di simmetria. Questa trasformazione mantiene invariata l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei segmenti.

Possiamo vedere come ogni punto della prima figura abbia un corrispondente punto nella seconda figura e come la distanza dei punti A, B, C, …. dall’asse a sia uguale alla rispettiva distanza dei punti A’, B’, C’ dall’asse a.

Le due figure ottenute sono inversamente congruenti.

Possiamo avere diverse situazioni realizzando figure corrispondenti in una simmetria assiale:

·     l’asse di simmetria è esterno alla figura, come abbiamo visto nell’esempio sopra.

·     L’asse di simmetria è interno alla figura 

Vediamo quali e quanti sono gli assi di simmetria di alcuni poligoni.

Passiamo ora a considerare alcuni casi di composizione di simmetria assiale, ricordando che comporre due trasformazioni geometriche significa applicarle in successione, questa composizione si chiama prodotto e si indica con Ä

Vediamo il caso A

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse f.

I due assi a e f sono tra loro paralleli.

Se osserviamo la figura originaria E e la figura finale E’’ ci accorgiamo che sono direttamente congruenti: è come se avessimo fatto una traslazione di vettore  

Vediamo il caso B

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse b.

I due assi a e b sono tra loro incidenti e si intersecano nel punto O.

Se osserviamo la figura originaria A e la figura finale A’’ ci accorgiamo che non siamo in presenza né di una simmetria assiale né di una traslazione, bensì di una rotazione che ha il centro nel punto O ed un’ampiezza doppia dell’angolo formato dai due assi.

Vediamo il caso C

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse c.

I due assi a e c sono tra loro incidenti e perpendicolari e si intersecano nel punto O.

Essendo i due assi incidenti, per quanto detto nell’esempio precedente, il prodotto delle due simmetrie assiali sarà una rotazione di centro O e di ampiezza 180°. Si tratta di una particolare rotazione, detta simmetria centrale.

Infatti, osservando la figura B e la figura B’’ ci accorgiamo che se consideriamo un punto H ed il corrispondente punto H’’ il segmento che li unisce passa per il centro O che è il punto medio del segmento HH’’.

E la stessa cosa vale per ogni punto delle due figure.

Abbiamo visto quindi che, date due simmetrie assiali S₁ ed S₂, il loro prodotto non è mai una simmetria assiale.

I casi possono essere questi:

·    Se i due assi di simmetria sono paralleli, il loro prodotto è una traslazione. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = T (caso A)

·    Se i due assi di simmetria sono incidenti, il loro prodotto è una rotazione. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = R (caso B)

·    Se i due assi di simmetria sono incidenti e perpendicolari, il loro prodotto è una rotazione particolare, detta simmetria centrale. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = S_c (caso C)

ESERCIZI

·     Che cos’è una simmetria assiale?

·     Come sono due figure ottenute per simmetria assiale?

·     Indica se VERO o FALSO

­       Il prodotto di due simmetrie assiali non è mai una simmetria assiale

­       Il prodotto di due simmetrie assiali è una simmetria assiale

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una traslazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli è una rotazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti è una rotazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una simmetria centrale

·     Disegna le due figure G’ e G’’ ottenute applicando due simmetrie assiali con gli assi a e b perpendicolari. Qual è il prodotto delle due simmetrie assiali? 

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Rotazioni e traslazioni

Dopo aver esaminato la congruenza, vediamo un altro movimento rigido, la traslazione.

Quella che vedi sopra è una traslazione.

Nel linguaggio matematico il termine “traslazione” significa un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) in cui le traiettorie descritte da ciascuno dei punti che lo compongono sono uguali e parallele.

Puoi verificare nella figura sopra che le linee tratteggiate che descrivono lo spostamento dei punti al vertice risultano essere tra loro parallele e della stessa lunghezza.

Per individuare una traslazione occorre sapere la lunghezza (o modulo), la direzione ed il verso della stessa.

A tal fine si usa il vettore, cioè un segmento con una lunghezza definita (detta anche modulo), una direzione data dalla retta a cui appartiene ed un verso indicato dalla punta della freccia.

Ecco, ad esempio, il vettore della traslazione raffigurata sopra.

E’ evidente che due figure ottenute per traslazione sono direttamente congruenti.

Un altro movimento rigido è la rotazione.

Immaginiamo di avere un punto A qualsiasi e di sottoporlo ad una rotazione.

Ci serve un punto fisso, che chiameremo O, sul quale puntiamo il compasso che avrà un’apertura uguale alla lunghezza del segmento OA.

Per sapere quale dovrà essere l’ampiezza e il verso della rotazione ci serve un angolo orientato che ci indichi l’ampiezza (o modulo) ed il verso orario o antiorario. Immaginiamo di voler ruotare il punto A secondo l’angolo orientato 

Ricordiamo che l’angolo orientato si indica diversamente a seconda che il verso della rotazione sia orario o antiorario. 

Riepilogando: abbiamo il compasso puntato in O con apertura uguale al segmento OA, ruotiamo il compasso in verso orario descrivendo un arco di 50°. Il punto A’ all’estremità dell’arco è il corrispondente di A.

Nel linguaggio matematico il termine “rotazione” indica un movimento rigido di un corpo (che, quindi, non altera né la forma né l’estensione) individuato da un centro di rotazione (il punto fisso O) e da un angolo orientato che indica l’ampiezza ed il verso di spostamento.

Proviamo ora ad effettuare una rotazione, individuata dal punto fisso O, di un triangolo ABC secondo l’angolo orientato 

Sarà sufficiente effettuare la rotazione dei vertici A, B, C secondo la modalità già descritta in modo da trovare i corrispondenti A’, B’, C’.

ESERCIZI

·   Come sono due figure ottenute per traslazione?

·  Che cos’è una rotazione?

·  Come puoi spiegare il concetto di angolo orientato?

·   Disegna le figure A’ e A’’ ottenute (sempre partendo da A) con le traslazioni individuate dai due vettori indicati. 

·     Disegna le figure B’, B’’, B’’’ ottenute con le traslazioni individuate dai tre vettori indicati, applicandole successivamente ad ogni figura ottenuta. 

·     Qual è il vettore che individua la seguente traslazione? 

·     Quali sono i due vettori che individuano le seguenti traslazioni successive? 

·     Data la figura disegnata, effettua la rotazione di centro O e dell’ampiezza indicata 

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