Le aree dei quadrilateri

Ricordiamo alcuni concetti fondamentali, prima di procedere oltre:

- L’area di una figura piana è la misura della superficie occupata dalla figura stessa

- Due figure piane sono equivalenti quando hanno la stessa area

- Se due figure sono congruenti, sono anche equivalenti

- Se due figure sono equivalenti, possono anche non essere congruenti

- L’unità di misura convenzionale per le superfici è il metro quadrato (m²) con i suoi multipli e sottomultipli.

Consideriamo, tra i poligoni quadrilateri, un rettangolo con la base di 5 cm e l’altezza di 4 cm e scegliamo come unità di misura il cm².

Osserviamo che sulla base di 5 cm possiamo riportare 5 cm² mentre sull’altezza di 4 cm possiamo riportare 4 cm². In totale possiamo riportare sulla figura 20 cm², cioè la misura della base per l’altezza. Da qui la formula

A = b x h da cui possiamo ricavare le formule inverse

b = A/h

h = A/b

Consideriamo ora un quadrato con la base di 5 cm e l’altezza di 5 cm e scegliamo come unità di misura il cm².

Siccome il quadrato è un rettangolo con base ed altezza congruenti, possiamo applicare la medesima regola usata per calcolare l’area del rettangolo, cioè A = b x h ma siccome base ed altezza sono congruenti possiamo trasformare la formula A = b x h  in questa

A = l x l= l² da cui possiamo ricavare la formula inversa (ricordando che l’operazione inversa della potenza al quadrato è la radice quadrata)

l =  

Passiamo ora ad esaminare un parallelogramma con la base di 4 cm e l’altezza di 2 cm e scegliamo come unità di misura il cm².

Notiamo come il parallelogramma sia equivalente ad un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza e quindi possiamo usare per calcolare l’area la stessa formula del rettangolo. Quindi:

A = b x h da cui possiamo ricavare le formule inverse

b = A/h

h = A/b

Consideriamo ora un rombo con la diagonale maggiore di 6 cm e la diagonale minore di 4 cm e scegliamo come unità di misura il cm².

Osserviamo che il rombo corrisponde alla metà di un rettangolo avente come base ed altezza le due diagonali del rombo (infatti il rombo è composto da 4 triangoli congruenti, mentre il rettangolo da 8 triangoli congruenti).

Per trovare l’area del rettangolo moltiplichiamo la base per l’altezza, quindi la diagonale maggiore per la diagonale minore. Per trovare l’area del rombo dividiamo per 2 l’area del rettangolo. In sintesi

Passiamo al trapezio, proponendo un’esemplificazione con un trapezio isoscele che si può estendere a qualunque tipo di trapezio.

Osserviamo il trapezio T

Il lato AD è la base maggiore che indichiamo con b₁, il lato BC è la base minore che indichiamo con b₂, h è l’altezza.

Costruiamo un trapezio congruente ed equivalente a quello dato e chiamiamolo T’ed operiamo un ribaltamento del trapezio T’.

Uniamo il trapezio T ed il trapezio T’: notiamo che otteniamo un parallelogramma formato dai due trapezi equivalenti T e T’. 

La base del parallelogramma è il segmento AC’ costituito dalla somma delle due basi del trapezio T (b₁ + b₂).

L’altezza h del parallelogramma corrisponde all’altezza del trapezio T.

L’area del parallelogramma si trova:

b x h e quindi

(b₁ + b₂) x h

Poiché l’area del parallelogramma corrisponde all’area di 2 trapezi equivalenti, è ora sufficiente dividere l’area per 2 e troviamo l’area del trapezio. Quindi

ESERCIZI

In un rettangolo l’altezza misura 9 m e la misura della sua superficie è di 117 m². Qual è la misura della base del rettangolo

Calcola l’area di un rettangolo, sapendo che la base misura 35 m e che l’altezza è i 4/5 della base.

In un rettangolo la base misura 24 cm mentre l’altezza supera di 3 cm il doppio della base. Calcola l’area della figura.

Calcola l’area di un quadrato avente il perimetro di 72 m.

Calcola il perimetro di un quadrato avente l’area di 196 m².

Un quadrato con il perimetro di 144 m è equivalente ai 3/5 di un rettangolo. Conoscendo che l’altezza del rettangolo misura 80 m, calcola il suo perimetro.

In un parallelogramma l’area misura 1 027,95 dam² e l’altezza è di 26,7 dam. Calcola la base.

In un parallelogramma la somma della base e dell’altezza misura 96 cm e una è i 3/5 dell’altra. Calcola l’area.

Un quadrato ha il perimetro di 168 cm. Calcola la misura dell’altezza di un parallelogramma con la superficie equivalente a quella del quadrato e con la base corrispondente ai 2/3 del lato del quadrato

In un rombo la diagonale maggiore misura 42 cm mentre la diagonale minore è i 5/6 della maggiore. Calcola l’area del rombo.

L’area di un rombo è di 112,095 m², la diagonale minore misura 5,3 m. Calcola la diagonale maggiore.

Un rombo è equivalente ad un rettangolo avente il perimetro di 160 cm e la base lunga 60 cm. Calcola la misura della diagonale maggiore sapendo che la diagonale minore misura 30 cm.

In un trapezio le due basi misurano rispettivamente 50 cm e 30 cm. Sapendo che l’altezza è la terza parte della base minore, calcola la sua area.

In un trapezio la differenza delle lunghezze delle basi è di 16 cm e una è i 1/5 dell’altra. Sapendo che l’altezza misura 11 cm, calcola l’area.

Un trapezio, avente l’area di 1 100 m², ha le due basi lunghe rispettivamente 54 m e 46 m. Calcola il perimetro e l’area di un quadrato con il lato congruente all’altezza del trapezio.

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La simmetria assiale

La simmetria assiale è una trasformazione geometrica originata da un ribaltamento di asse a. Questo asse è detto asse di simmetria. Questa trasformazione mantiene invariata l’ampiezza degli angoli e la lunghezza dei segmenti.

Possiamo vedere come ogni punto della prima figura abbia un corrispondente punto nella seconda figura e come la distanza dei punti A, B, C, …. dall’asse a sia uguale alla rispettiva distanza dei punti A’, B’, C’ dall’asse a.

Le due figure ottenute sono inversamente congruenti.

Possiamo avere diverse situazioni realizzando figure corrispondenti in una simmetria assiale:

·     l’asse di simmetria è esterno alla figura, come abbiamo visto nell’esempio sopra.

·     L’asse di simmetria è interno alla figura 

Vediamo quali e quanti sono gli assi di simmetria di alcuni poligoni.

Passiamo ora a considerare alcuni casi di composizione di simmetria assiale, ricordando che comporre due trasformazioni geometriche significa applicarle in successione, questa composizione si chiama prodotto e si indica con Ä

Vediamo il caso A

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse f.

I due assi a e f sono tra loro paralleli.

Se osserviamo la figura originaria E e la figura finale E’’ ci accorgiamo che sono direttamente congruenti: è come se avessimo fatto una traslazione di vettore  

Vediamo il caso B

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse b.

I due assi a e b sono tra loro incidenti e si intersecano nel punto O.

Se osserviamo la figura originaria A e la figura finale A’’ ci accorgiamo che non siamo in presenza né di una simmetria assiale né di una traslazione, bensì di una rotazione che ha il centro nel punto O ed un’ampiezza doppia dell’angolo formato dai due assi.

Vediamo il caso C

Abbiamo una simmetria assiale S₁ di asse a ed una simmetria assiale S₂ di asse c.

I due assi a e c sono tra loro incidenti e perpendicolari e si intersecano nel punto O.

Essendo i due assi incidenti, per quanto detto nell’esempio precedente, il prodotto delle due simmetrie assiali sarà una rotazione di centro O e di ampiezza 180°. Si tratta di una particolare rotazione, detta simmetria centrale.

Infatti, osservando la figura B e la figura B’’ ci accorgiamo che se consideriamo un punto H ed il corrispondente punto H’’ il segmento che li unisce passa per il centro O che è il punto medio del segmento HH’’.

E la stessa cosa vale per ogni punto delle due figure.

Abbiamo visto quindi che, date due simmetrie assiali S₁ ed S₂, il loro prodotto non è mai una simmetria assiale.

I casi possono essere questi:

·    Se i due assi di simmetria sono paralleli, il loro prodotto è una traslazione. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = T (caso A)

·    Se i due assi di simmetria sono incidenti, il loro prodotto è una rotazione. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = R (caso B)

·    Se i due assi di simmetria sono incidenti e perpendicolari, il loro prodotto è una rotazione particolare, detta simmetria centrale. Indichiamo così: S₁ Ä S₂ = S_c (caso C)

ESERCIZI

·     Che cos’è una simmetria assiale?

·     Come sono due figure ottenute per simmetria assiale?

·     Indica se VERO o FALSO

­       Il prodotto di due simmetrie assiali non è mai una simmetria assiale

­       Il prodotto di due simmetrie assiali è una simmetria assiale

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una traslazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi paralleli è una rotazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi incidenti è una rotazione

­       Il prodotto di due simmetrie assiali ad assi perpendicolari è una simmetria centrale

·     Disegna le due figure G’ e G’’ ottenute applicando due simmetrie assiali con gli assi a e b perpendicolari. Qual è il prodotto delle due simmetrie assiali? 

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