Applicazioni del teorema di Pitagora

Il teorema di Pitagora si applica solo ai triangoli rettangoli, ma la sua conoscenza può essere utile in tutti quei casi in cui in una figura piana è possibile ricavare un triangolo rettangolo.

Vediamo qualche esempio.

Triangolo equilatero

Tracciando l’altezza di un triangolo equilatero otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno.

Abbiamo:

AB = ipotenusa (il lato del triangolo equilatero corrisponde all’ipotenusa)

BH = cateto (l’altezza del triangolo equilatero corrisponde ad un cateto)

AH = cateto (metà del lato del triangolo equilatero corrisponde all’altro cateto)

Proviamo a risolvere:

Un triangolo rettangolo ha il perimetro di 78 cm. Calcola la sua area.

(78 : 3) cm = 26 cm  misura dei lati AB, BC, AC

(26 : 2) cm = 13 cm misura di AH

(26 x 22,51) : 2 cm² = 292,63 cm² area del triangolo ABC

Triangolo isoscele

Tracciando l’altezza di un triangolo isoscele otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno.

Abbiamo:

AB = ipotenusa (il lato del triangolo isoscele corrisponde all’ipotenusa)

BH = cateto (l’altezza del triangolo isoscele corrisponde ad un cateto)

AH = cateto (metà della base del triangolo isoscele corrisponde all’altro cateto)

Proviamo a risolvere:

Un triangolo isoscele con l’area di 480 cm², ha l’altezza lunga 30 cm. Calcola il perimetro del triangolo.

(480 x 2) : 30 cm = 32 cm misura della base AC

(32 : 2) cm = 16 cm misura di AH

(34 x 2) + 32 = 100 cm perimetro del triangolo ABC

Quadrato

Tracciando una diagonale del quadrato otteniamo due triangoli rettangoli isosceli , cioè con i cateti della stessa misura. Consideriamone uno.

Abbiamo:

BD = ipotenusa (la diagonale corrisponde all’ipotenusa)

AD = AB = cateti (i lati del quadrato corrispondono ai cateti)

Proviamo a risolvere:

Un quadrato ha la superficie che misura 1747,24 m². Calcola la misura della diagonale.

 

Rettangolo

Tracciando una diagonale del rettangolo otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo ABD.

Abbiamo:

AB = cateto (l’altezza del rettangolo corrisponde ad un cateto)

AD = cateto (la base del rettangolo corrisponde all’altro cateto)

BD = ipotenusa (la diagonale del rettangolo corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

Un rettangolo ha il perimetro di 252 cm e l’altezza è i 3/11 della base. Calcola l’area e la misura della diagonale.

(252 : 2) cm = 126 cm semiperimetro

3/11 + 11/11 = 14/11 = 126 cm

(126: 14) cm = 9 cm valore di 1/11

(9 x 3) cm = 27 cm misura dell’altezza AB

(9 x 11) cm = 99 cm misura della base AD

(99 x 27) cm² = 2 673 cm² area del rettangolo

Romboide

Tracciando le altezze del romboide otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo ABH.

Abbiamo:

BH = cateto (l’altezza del romboide corrisponde ad un cateto)

AH = cateto

AB = ipotenusa (il lato obliquo del romboide corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

Un romboide con la base di 54 cm ha l’area di 1296 cm2. L’altezza divide la base in due parti una doppia dell’altra. Calcola il perimetro del romboide.

(1296 : 54) cm = 24 cm misura di BH

(54 : 3) cm = 18 cm misura di AH

(54 x 2) + (30 x 2) cm = 168 cm perimetro

Rombo

Tracciando le due diagonali del rombo otteniamo quattro triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo ABE.

Abbiamo:

BE = cateto (metà della diagonale maggiore corrisponde ad un cateto)

AE = cateto (metà della diagonale minore corrisponde all’altro cateto)

AB = ipotenusa (il lato del rombo corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

In un rombo la somma della lunghezza delle due diagonali misura 392 cm, una diagonale è i ¾ dell’altra. Calcolare perimetro, area ed altezza del rombo.

¾ + 4/4 = 7/4 = 392 cm

(392 : 7) cm = 56 cm valore di ¼

(56 x 3) cm = 168 cm misura della diagonale minore AC

(56 x 4) cm = 224 cm misura della diagonale maggiore BD

(168 : 2) cm = 84 cm misura di AE

(224 : 2) cm = 112 cm misura di BE

(140 x 4) cm = 560 cm misura del perimetro

(224 x 168) : 2 cm² = 18816 cm² area del rombo

(18816 : 140) cm = 134,4 cm misura di CF, altezza del rombo

Trapezio rettangolo

Tracciando l’altezza di un trapezio rettangolo otteniamo un triangolo rettangolo. Consideriamo il triangolo rettangolo CHD.

Abbiamo:

CH = cateto (l’altezza del trapezio corrisponde ad un cateto)

HD = cateto (la differenza tra base maggiore e base minore corrisponde all’altro cateto)

CD = ipotenusa (il lato obliquo del trapezio corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

Di un trapezio rettangolo conosciamo la misura della base minore, 60 cm e la misura della diagonale minore, 68 cm . Sappiamo anche che il lato obliquo è i 2/3 della base minore. Calcoliamo il perimetro di un rettangolo equivalente al trapezio e con la base di 64 cm.

 (60 : 3) x 2 cm = 40 cm misura di CD

(60 + 24) cm = 84 cm misura di AD

(84 + 60) x 32 : 2 cm² = 2304 cm² misura dell’area del trapezio e del rettangolo

(2304 : 64) cm = 36 cm misura dell’altezza EF del rettangolo

(64 x 2) + (36 x 2) cm = 200 cm perimetro del rettangolo

Trapezio isoscele

Tracciando le altezze di un trapezio isoscele otteniamo due triangoli rettangoli. Consideriamone uno, il triangolo rettangolo ABH.

Abbiamo:

BH = cateto (l’altezza del trapezio corrisponde ad un cateto)

AH = cateto (la metà della differenza tra base maggiore e base minore corrisponde all’altro cateto)

AB = ipotenusa (il lato obliquo del trapezio corrisponde all’ipotenusa)

Proviamo a risolvere:

In un trapezio isoscele la base maggiore, l’altezza ed una diagonale misurano rispettivamente 280 cm, 150 cm e 250 cm. Calcola il perimetro e l’area del trapezio.

Consideriamo il triangolo rettangolo ACK.

Troviamo la lunghezza del segmento KD = AH

(280 – 200) cm = 80 cm misura di KD e AH

Troviamo la lunghezza della base minore

280 – (80 x 2) cm = 120 cm misura di BC

Ora possiamo trovare la misura del lato obliquo

Possiamo calcolare il perimetro

280 + 120 + (170 x 2) cm = 740 cm perimetro

Possiamo calcolare l’area

(280 + 120) x 150 : 2 = 30 000 cm² area

ESERCIZI

·    Il quadrilatero ABCD è formato dal triangolo rettangolo ABD e dal triangolo isoscele BCD. Il cateto minore e l’ipotenusa del triangolo rettangolo misurano rispettivamente 15 cm e 25 cm, mentre il lato obliquo del triangolo isoscele misura 12,5 cm. Calcola il perimetro e l’area del quadrilatero.

·    Un quadrato con il lato lungo 300 cm ed un triangolo isoscele formano un pentagono come vedi in figura. Se l’area del pentagono è 102 000 cm2, qual è il perimetro del pentagono?

·    Un triangolo rettangolo  con i cateti lunghi 140 cm e 48 cm ha lo stesso perimetro di un rettangolo con la base di 56 cm. Calcola l’area e la diagonale del rettangolo (approssima ai decimi).

·    Un trapezio isoscele ha la base maggiore di 525 cm e la base minore di 147 cm, mentre il lato obliquo misura 315 cm.  Calcola la base di un romboide equivalente al trapezio e con l’altezza di 294 cm.

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I prodotti notevoli

Divisione

Consideriamo il caso della divisione di un polinomio per un monomio.

Vediamo un esempio:

(-6x³y + 9x²y² – 3xy²) : (-3xy)

Possiamo applicare la proprietà distributiva:

- 6x³y : (-3xy) + 9x²y² : (-3xy) - 3xy² : (-3xy) =

= + 2x² – 3xy + y

Possiamo quindi dire che, se vogliamo dividere un polinomio per un monomio, possiamo dividere ciascun termine del polinomio per il monomio e poi addizionare i quozienti ottenuti.

Vediamo ancora un esempio.

Potenza di polinomi

Se dobbiamo calcolare la potenza di questo polinomio, possiamo operare così

(-2xy + 3x – 2y)² =

= (-2xy + 3x – 2y) (-2xy + 3x – 2y) =

= + 4x²y² – 6x²y + 4xy² – 6x²y + 9x² - 6xy + 4xy² – 6xy +4y² =

= + 4x²y² - 12 x²y + 8xy² + 9x² – 12xy +4y²

Prodotti notevoli

Vi sono alcune moltiplicazioni e potenze particolari, i cui risultati sono chiamati prodotti notevoli, che possiamo eseguire più facilmente applicando alcune regole, che ora andremo a scoprire.

Prodotto della somma per la differenza di due monomi

Sia dato (x + y) (x – y)

Eseguiamo

(x + y) (x – y) = x² – xy + xy - y² = x² - y²

Vediamo un altro caso. Sia dato (3a + 2b) (3a – 2b)

Eseguiamo

(3a + 2b) (3a – 2b) = 9a² – 6ab + 6ab – 4b² = 9a²  – 4b²

In entrambi i casi vediamo  che il prodotto è uguale alla differenza dei quadrati dei monomi

Quadrato della somma di due monomi

Vediamo un esempio.

(ab + 2a)²

Eseguiamo

(ab + 2a) (ab + 2a) = a²b² + 2a²b + 2a²b + 4a² = a²b² + 4a²b + 4a²

Vediamo un altro esempio

In entrambi i casi osserviamo che il quadrato della somma di due monomi è uguale al quadrato del primo monomio più il doppio prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo monomio.

Cubo della somma o della differenza di due monomi

Consideriamo questo caso

(a + 2b)³

Eseguiamo

(a + 2b) (a + 2b) (a + 2b)

Ci accorgiamo che l’operazione sottolineata rientra nel caso visto in precedenza (il quadrato della somma di due monomi) quindi:

(a² + 4ab + 4b²) (a + 2b) =

= a³ + 2a²b + 4a²b + 8ab² + 4ab² + 8b³ =

= a³ + 6a²b + 12ab² +8b³

Possiamo notare che il cubo della somma di due monomi è uguale al cubo del primo monomio (a³) più il cubo del secondo monomio (b³) più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo (3 ^. a^{2 .} 2b) più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo ( 3 ^. a ^. 4b²)

Vediamo un altro caso usando le proprietà dei prodotti notevoli.

Vediamo un esempio con la differenza

(a – b)³ = a³ + 3 ^. a^{2 .} (- b) + 3 ^. a ^. (-b)² + (-b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

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Il teorema di Pitagora

Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, con il cateto AB lungo 4 cm, il cateto AC 3 cm e l’ipotenusa BC lunga 5 cm.

Prendiamo come unità di misura u = 1 cm

 

Abbiamo costruito un quadrato su ogni lato del triangolo rettangolo. Possiamo constatare che:

1)      L’area del quadrato costruito sul cateto maggiore misura 16 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 16 cm² = 4²

2)      L’area del quadrato costruito sul cateto minore misura 9 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 9 cm² = 3²

3)      L’area del quadrato costruito sull’ipotenusa misura 25 cm², corrisponde cioè al quadrato della misura del lato. 25 cm² = 5²

Ci accorgiamo che l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa corrisponde alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

25 cm² = 16 cm² + 9 cm²

Questa caratteristica è valida per tutti i triangoli rettangoli?

Nel VI secolo a. C. il matematico e filosofo greco Pitagora enunciò il suo teorema (si tratta di una proposizione dimostrabile logicamente partendo da un’ipotesi per giungere alla tesi) generalizzando questa proprietà a tutti i triangoli rettangoli. Il teorema di Pitagora ci dice infatti che in ogni triangolo rettangolo l’area del quadrato costruito sull’ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui due cateti.

Qual è l’utilità di questo teorema? E’ quella di poter conoscere la misura di ogni lato di un triangolo rettangolo, essendo note le misure degli altri due lati.

Dal teorema di Pitagora possiamo ricavare la seguente formula, indicando con C il cateto maggiore, con c il cateto minore e con i l’ipotenusa:

C² + c² = i²

Da questa formula possiamo derivare le altre due

i² – c² = C²

i² – C² = c²

E’ evidente che utilizzando queste tre formule possiamo ricavare la misura di ciascun lato di qualunque triangolo rettangolo, conoscendo al misura degli altri due.

Immaginiamo di avere questo triangolo 

Poiché nelle formule indicate sopra si ricava la misura dei lati elevati al quadrato, sarà sufficiente eseguire l’operazione opposta all’elevamento a potenza, cioè l’estrazione di radice quadrata.

Le tre formule quindi diventano:

Se vogliamo trovare l’ipotenusa, conoscendo i due cateti, dobbiamo sommare il quadrato delle misure dei due cateti ed estrarre la radice quadrata della somma ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi

--------------------------------------------------------------------------------------------------

Se vogliamo trovare la misura di uno dei due cateti, conoscendo la misura dell’ipotenusa e dell’altro cateto, dobbiamo calcolare la differenza tra il quadrato della misura dell’ipotenusa ed il quadrato del cateto noto ed estrarre la radice quadrata della differenza ottenuta. Nel triangolo considerato sopra avremo quindi

ESERCIZI

·        Abbiamo un triangolo rettangolo di cui sappiamo che uno dei cateti è i 3/4 dell’altro e che la loro somma è 77 cm. Qual è il perimetro e l’area del triangolo?

·        Sommando la lunghezza dell’ipotenusa e di un cateto di un triangolo rettangolo otteniamo la misura di 392 m; sapendo che la loro differenza è di 338 m, calcola il perimetro e l’area del triangolo.

·        Di un triangolo rettangolo conosciamo che l’ipotenusa misura 26 cm mentre la lunghezza di un cateto è di 15,6 cm. L’altezza relativa all’ipotenusa divide la stessa in due segmenti, di cui vogliamo conoscere le misure. 

·        Un triangolo rettangolo ha un cateto di 14 cm e l’area di 73,5 cm². L’altezza relativa all’ipotenusa divide il triangolo di partenza in due triangoli. Calcola l’area di ciascuno dei due triangoli. 

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Operazioni con i polinomi: addizione e moltiplicazione

Addizione algebrica

Vediamo quali regole bisogna seguire per risolvere un’addizione algebrica fra polinomi.

1) togliere le parentesi tra un polinomio e l’altro ricordando che se la parentesi è preceduta dal segno +  si trascrivono i numeri in essa contenuti con lo stesso segno, se invece la parentesi è preceduta dal segno – si trascrivono i numeri cambiandoli di segno.

2) Si opera la riduzione dei termini simili del polinomio, cioè si esegue la somma fra i monomi eventualmente simili.

Consideriamo questo esempio:

Moltiplicazione

Possiamo avere il caso della moltiplicazione di un polinomio per un monomio (o viceversa) ed il caso della moltiplicazione di un polinomio per un altro polinomio. Vediamo il primo caso. 

Vediamo ora il secondo caso, quello della moltiplicazione fra polinomi.

(2a² – ab + 4b²) (2a + b)

E’ sufficiente moltiplicare ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo polinomio.

 

Vediamo ancora un esempio: 

 

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L'area dei poligoni regolari

Sappiamo che ogni poligono regolare può essere diviso in tanti triangoli congruenti quanti sono i lati del poligono (un pentagono in 5 triangoli, un esagono in 6 e così via).

La base di ognuno di questi triangoli coincide con il lato del poligono mentre l’altezza è detta  apotema (a).

Consideriamo un poligono regolare, ad esempio un quadrato, con il lato di 4 cm e misuriamo la sua apotema. Otteniamo a = 2 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2 : 4 = 0,5

Vediamo poi che un quadrato con il lato di 5 cm ha l’apotema lunga 2,5 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2,5: 5 = 0,5

Vediamo anche un quadrato con il lato di 6 cm ha l’apotema lunga 3 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 3 : 6 = 0,5

C’è un rapporto costante tra la misura dell’apotema e quella del lato del quadrato.  Provando anche con altri poligoni regolari constateremo sempre un rapporto costante (dipendente dal numero dei lati del poligono) tra la misura dell’apotema e quella del lato. Possiamo indicare questa costante con f.

Ecco le costanti di alcuni poligoni regolari, arrotondate a tre cifre decimali (quella del quadrato è esatta):

POLIGONO	COSTANTE
Triangolo equilatero	f = 0,289
Quadrato	f = 0,5
Pentagono regolare	f = 0,688
Esagono regolare	f = 0,866
Ettagono regolare	f = 1,038
Ottagono regolare	f = 1,207
Ennagono regolare	f = 1,374
Decagono regolare	f = 1,539
Dodecagono regolare	f = 1,866

Di conseguenza, conoscendo la misura del lato del poligono si può calcolare anche l’apotema:

a = l x f

Conoscendo l’apotema si può calcolare la misura del lato

l = a/f

Vediamo ora come si può calcolare l’area di un poligono regolare.

Ricordando che un poligono regolare di n lati si può scomporre in n triangoli congruenti, per calcolare l’area sarà sufficiente calcolare l’area di uno dei triangoli e moltiplicare il risultato per n (nel pentagono regolare l’area di un triangolo x 5, nell’esagono regolare l’area di un triangolo per 6, ecc.). Vediamo un esempio con l’ettagono regolare:

Constatiamo come 7 x l corrisponda al perimetro dell’ettagono, quindi la formula può diventare valida per ogni poligono regolare:

da cui possiamo ricavare le formule inverse

p = A x 2/a

a = A x 2/p

ESERCIZI

·        Completa la seguente tabella

poligono	lato	apotema	perimetro	area
Pentagono regolare			60 cm
Esagono regolare		34,64 cm
Ettagono regolare	6 dm
Decagono regolare			60 m

·        Un pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area.

·        Un esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie?

·        Un ettagono regolare ha l’area di 59,64 m² e l’apotema misura 4,26 m. Calcola la misura di un suo lato.

·        Un ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm.

·        I seguenti due decagoni regolari hanno i lati, paralleli, lunghi rispettivamente 30 cm e 15 cm. Calcola l’area della parte colorata.

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