Sappiamo che ogni poligono regolare può essere diviso in
tanti triangoli congruenti quanti sono i lati del poligono (un pentagono in 5
triangoli, un esagono in 6 e così via).
La base di ognuno di questi triangoli coincide con il lato
del poligono mentre l’altezza è detta
apotema (a).
Consideriamo un poligono regolare, ad esempio un quadrato,
con il lato di 4 cm e misuriamo la sua apotema. Otteniamo a = 2 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2 : 4 = 0,5
Vediamo poi che un quadrato con il lato di 5 cm ha l’apotema
lunga 2,5 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 2,5: 5 = 0,5
Vediamo anche un quadrato con il lato di 6 cm ha l’apotema
lunga 3 cm. Dividiamo la misura dell’apotema per il lato 3 : 6 = 0,5
C’è un rapporto costante tra la misura dell’apotema e quella
del lato del quadrato. Provando anche
con altri poligoni regolari constateremo sempre un rapporto costante
(dipendente dal numero dei lati del poligono) tra la misura dell’apotema e
quella del lato. Possiamo indicare questa costante con f.
Ecco le costanti di alcuni poligoni regolari, arrotondate a
tre cifre decimali (quella del quadrato è esatta):
POLIGONO
|
COSTANTE
|
Triangolo equilatero
|
f = 0,289
|
Quadrato
|
f = 0,5
|
Pentagono regolare
|
f = 0,688
|
Esagono regolare
|
f = 0,866
|
Ettagono regolare
|
f = 1,038
|
Ottagono regolare
|
f = 1,207
|
Ennagono regolare
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f = 1,374
|
Decagono regolare
|
f = 1,539
|
Dodecagono regolare
|
f = 1,866
|
Di conseguenza, conoscendo la misura del lato del poligono
si può calcolare anche l’apotema:
a = l x f
Conoscendo l’apotema si può calcolare la misura del lato
l = a/f
Vediamo ora come si può calcolare l’area di un poligono
regolare.
Ricordando che un poligono regolare di n lati si può scomporre in n
triangoli congruenti, per calcolare l’area sarà sufficiente calcolare l’area di
uno dei triangoli e moltiplicare il risultato per n (nel pentagono regolare l’area di un triangolo x 5, nell’esagono
regolare l’area di un triangolo per 6, ecc.). Vediamo un esempio con l’ettagono
regolare:
Constatiamo come 7 x l
corrisponda al perimetro dell’ettagono, quindi la formula può diventare valida
per ogni poligono regolare:
da cui possiamo ricavare le formule inverse
p = A x 2/a
a = A x 2/p
ESERCIZI
·
Completa
la seguente tabella
poligono
|
lato
|
apotema
|
perimetro
|
area
|
Pentagono regolare
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60 cm
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|||
Esagono regolare
|
34,64 cm
|
|||
Ettagono regolare
|
6 dm
|
|||
Decagono regolare
|
60 m
|
·
Un
pentagono regolare ha l’apotema di 3,784 m. Calcola la sua area.
·
Un
esagono regolare ha il perimetro di 49,2 dm. Quanto misura la sua superficie?
·
Un
ettagono regolare ha l’area di 59,64 m2 e l’apotema misura 4,26 m.
Calcola la misura di un suo lato.
·
Un
ottagono regolare ha il lato di 50 cm. Calcola l’altezza di un rettangolo
equivalente all’ottagono ed avente la base di 142 cm.
·
I
seguenti due decagoni regolari hanno i lati, paralleli, lunghi rispettivamente 30
cm e 15 cm. Calcola l’area della parte colorata.
